mecanica aplicada, Notas de estudo de Mecânica Aplicada

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Universidade de Aveiro

Departamento de Engenharia Mecˆanica

Mecˆanica Aplicada I

GEOMETRIA DE MASSAS

Autores

Rui P. R. Cardoso, Robertt A. F. Valente, Ricardo J. A. Sousa

Maio de 2005

´Indice

• 1 Momentos de in´ercia de um ponto material
• 2 Momentos de in´ercia de um corpo
• 3 Produtos de in´ercia de um corpo
• 4 Raio de gira¸c˜ao
• 5 Teorema de Steiner e dos eixos paralelos
  • 5.1 Momentos de In´ercia
  • 5.2 Produtos de In´ercia
• 6 Eixos principais de In´ercia
• 7 Sistemas planos
  • 7.1 Transposi¸c˜ao de eixos de in´ercia
  • 7.2 Eixos principais de in´ercia em sistemas planos
• 8 Referˆencias bibliogr´aficas

como sendo igual `a soma dos momentos de in´ercia produzidos por cada ponto material em separado, ou seja:

IO =

∑^ n

i=

mi · r^2 i

Iaa =

∑^ n

i=

mi · ρ^2 i

Iπ =

∑^ n

i=

mi · z i^2 , (4)

onde n representa o numero total de pontos materiais considerados. Se agora considerarmos um corpo material, podemos dizer que esse corpo ´e constitu´ıdo por um conjunto enorme de pontos materiais, transformando assim o somat´orio da equa¸c˜ao (4) num integral definido da forma:

IO =

M

r^2 · dm

Iaa =

M

ρ^2 · dm

Iπ =

M

z^2 · dm, (5)

onde M representa a massa total do corpo. Os momentos de in´ercia produzidos por um corpo material s˜ao f´aceis de compreender se atendermos `a figura 2. Consideremos ent˜ao um elemento de volume infinitesimal com massa dm. Por defini¸c˜ao dada anteriormente, o momento de in´ercia polar e axial produzido por este elemento de volume infinitesimal ´e:

IO = r^2 · dm

Iaa = ρ^2 · dm. (6)

Claro que se somarmos a contribui¸c˜ao de todos os elementos de volume infinitesimais do corpo com massa M , obtemos o momento de in´ercia total do corpo. Ora, a soma da contribui¸c˜ao para o momento de in´ercia de todos os elementos de volume infinitesimais ´e por defini¸c˜ao igual ao integral definido, pelo que a equa¸c˜ao (5) ´e facilmente obtida. Vamos ent˜ao avaliar com mais detalhe o momento de in´ercia produzido pelo corpo de massa total M em rela¸c˜ao `a recta a − a. Para isso, vamos considerar as equa¸c˜oes (5) e a

dm

a

a

b

b

c

c

M

r

r

x

y

z

d

d

O

P

n

G

Figura 2: Momentos de in´ercia de um corpo em rela¸c˜ao a uma recta.

figura 2. De acordo com a figura 2, a distancia ρ^2 pode ser obtida atrav´es do teorema de Pit´agoras aplicado ao triˆangulo rectˆangulo da figura 2. Assim, temos que:

ρ^2 = ‖−→r ‖^2 − OP

2 , (7)

onde:

−→r = x−→ i + y−→ j + z−→ k

−→n = l−→ i + m−→ j + n−→ k (8)

e o comprimento OP ´e obtido a partir do produto interno do vector −→r com o versor −→n que d´a a direc¸c˜ao da recta a − a, ou seja:

OP = −→r · −→n = lx + my + nz. (9)

3 Produtos de in´ercia de um corpo

Se observarmos com aten¸c˜ao a equa¸c˜ao (12), podemos definir os produtos de in´ercia como sendo constituidos pelos seguintes termos:

Ixy =

M

xydm (16)

Ixz =

M

xzdm (17)

Iyz =

M

yzdm (18)

Ent˜ao, se substituirmos as equa¸c˜oes (13)-(18) na equa¸c˜ao (12) obtemos:

Iaa = l^2 Ixx + m^2 Iyy + n^2 Izz − 2 mnIyz − 2 nlIxz − 2 lmIxy (19)

A express˜ao anterior permite calcular o momento de in´ercia em rela¸c˜ao a uma recta a − a com orienta¸c˜ao arbitr´aria (de cossenos directores l, m e n), a partir dos momentos de in´ercia Ixx, Iyy e Izz e dos produtos de in´ercia Ixy, Ixz e Iyz. E importante referir aqui que enquanto os momentos de in´´ ercia Ixx, Iyy e Izz s˜ao sempre quantidades positivas, pois dependem do quadrado de uma distˆancia, os produtos de in´ercia Ixy, Ixz e Iyz podem tomar valores negativos. Vamos agora observar com aten¸c˜ao a figura 3. Consideremos agora os pontos P 1 e P 2 de massa elementar dm e com coordenadas P 1 = (x, y) e P 2 = (x, −y) no sistema de eixos x, y e z. Se calcularmos o produto de in´ercia Ixy produzido por estes dois pontos do corpo temos: dIxy = (xy − xy)dm = 0 (20)

Da mesma forma, considerando qualquer outro ponto do corpo, haver´a sempre um ponto sim´etrico em rela¸c˜ao ao eixo x de tal forma que a soma do produto de in´ercia produzido por esses dois pontos ser´a igual a zero. Isto acontece porque o eixo x ´e um eixo de simetria do corpo. No entanto, o mesmo j´a n˜ao ´e verdade se considerarmos o sistema de eixos A, B e C representado na figura. Como este sistema de eixos j´a n˜ao ´e um sistema de eixos de simetria, os produtos de in´ercia IAB , IAC e IBC neste sistema de eixos j´a n˜ao s˜ao nulos. Podemos ent˜ao concluir que se o sistema de eixos for de simetria do corpo, ent˜ao os produtos de in´ercia nesse sistema de eixos s˜ao nulos.

X

Y

A

B

P1=(x,y)

P3=(-x,-y) P2=(x,-y)

P4=(-x,y)

Figura 3: Produtos de in´ercia e eixos de simetria.

4 Raio de gira¸c˜ao

Chama-se raio de gira¸c˜ao ao n´umero aritm´etico R definido pela equa¸c˜ao

M R^2 = I (21)

em que M ´e a massa total do sistema e I o momento de in´ercia relativamente a um determinado elemento geom´etrico. A express˜ao do raio de gira¸c˜ao ´e

R = +

I

M

O raio de gira¸c˜ao ´e pois a distˆancia ao elemento geom´etrico de referˆencia (ponto, recta ou plano) de um ponto material onde se sup˜oe concentrada toda a massa do sistema material e tal que esse ponto tenha um momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao elemento geom´etrico em causa igual ao do sistema material dado.

5 Teorema de Steiner e dos eixos paralelos

5.1 Momentos de In´ercia

Vamos considerar a figura 4 onde temos uma placa quadrangular e dois sistemas Carte- sianos de eixos: o sistema X, Y e Z centrado no ponto O e o sistema XG, YG e ZG

Note-se que

M 2 dYGdm^ = 0 pois^

M YGdm^ representa o momento est´atico em rela¸c˜ao ao centro de gravidade do corpo, que ´e zero. Podemos ent˜ao dizer que o momento de in´ercia para um eixo paralelo ao eixo que passa no centro de massa do corpo pode ser obtido a partir do momento de in´ercia em rela¸c˜ao ao pr´oprio eixo que passa no centro de massa mais a massa do corpo multiplicada pelo quadrado da distˆancia entre os dois eixos paralelos, ou seja:

IXX = IXGXG + M d^2 (27)

Este teorema ´e conhecido como teorema de Steiner. Muitas vezes na literatura espe- cializada, a este teorema d´a-se o nome de ”teorema dos eixos paralelos”. No entanto, e em rigor, este ´ultimo ´e mais geral do que o teorema de Steiner introduzido anteriormente. Na sua vers˜ao completa, o teorema dos eixos paralelos relaciona momentos de in´ercia definidos em sistemas de eixos (paralelos) que n˜ao s˜ao necessariamente coincidentes com os eixos baricˆentricos do corpo analisado. Para o caso particular em que um dos referenci- ais ´e baricˆentrico (normalmente utilizado nas tabelas de momentos e produtos de in´ercia na literatura), o teorema dos eixos paralelos reduz-se ao teorema de Steiner.

5.2 Produtos de In´ercia

Para os produtos de in´ercia o racioc´ınio ´e semelhante. Para isso, consideremos agora a figura 5. Podemos ent˜ao definir o produto de in´ercia elementar produzido pela part´ıcula

X

Y

XG

YG

d

YG

G

O

c XG dm

Figura 5: Referenciais para o teorema de Steiner para produtos de in´ercia

de massa dm em rela¸c˜ao ao sistema de eixos que passa pelo centro de massa do corpo

como sendo: dIXGYG = XGYGdm. (28)

Integrando em toda a massa do corpo obtemos o produto de in´ercia total:

IXGYG =

M

XGYGdm. (29)

Considerando agora o sistema de eixos X, Y e Z, centrado no ponto O, o produto de in´ercia escreve-se:

IXY =

M

(c + XG) (d + YG) dm

M

XGYG dm ︸ ︷︷ ︸ IXGYG

M

dc dm +

M

cYG dm ︸ ︷︷ ︸ 0

M

dXG dm ︸ ︷︷ ︸ 0

O teorema dos eixos paralelos aplica-se ent˜ao aos produtos de in´ercia da seguinte forma:

IXY = IXGYG + M cd (31)

Em resumo, o teorema de Steiner permite que sejam definidos os momentos de in´ercia de uma ´area plana em rela¸c˜ao a um sistema de eixos quaisquer (X′, Y ′, Z′) em fun¸c˜ao dos momentos de in´ercia relativamente a um sistema baricˆentrico (XG, YG, ZG), pass´ıveis de serem calculados por integra¸c˜ao ou atrav´es da consulta de tabelas. No entanto, h´a limita¸c˜oes para a utiliza¸c˜ao do teorema de Steiner. Ele n˜ao permite, por exemplo, que sejam relacionados momentos de in´ercia calculados em dois referenciais n˜ao baricˆentricos. Para tanto, devemos usar a express˜ao geral do teorema dos eixos paralelos na sua forma mais geral. Admitamos que conhecemos o momento de in´ercia (IH ) de um corpo com massa (M ) (figura 6), calculado em rela¸c˜ao a um eixo (H − H) que est´a posicionado a uma distˆancia (DH ) do eixo baricˆentrico (G − G). O c´alculo do momento de in´ercia (IF ), em rela¸c˜ao a um segundo eixo (F − F ), posicionado a uma distˆancia (DF ) do eixo (H − H), pode ser dado por

IF = IH + M · D^2 F + 2 · M · DH · DF (32)

Para o caso particular em que o eixo (H − H) coincide, no espa¸co, com o eixo baricˆentrico (G − G), temos que a distˆancia (DH = 0), e o teorema dos eixos paralelos em (32) reduz-se ao teorema de Steiner para momentos de in´ercia apresentado na equa¸c˜ao (27).

onde J 1 , J 2 e J 3 s˜ao os invariantes dos momentos de in´ercia e s˜ao dados pelas seguintes express˜oes:

J 1 = IXX + IY Y + IZZ

J 2 = IXX IY Y + IY Y IZZ + IXX IZZ − I XY^2 − I^2 Y Z − I XZ^2

J 3 = IXX IY Y IZZ − IXX I^2 Y Z − IY Y I XZ^2 − IZZ I XY^2 − 2 IXY IXZ IY Z. (36)

Podemos ent˜ao concluir que no sistema principal de in´ercia os produtos de in´ercia anulam- se, pelo que o tensor de segunda ordem que representa a matriz de in´ercia, ´e formado apenas com os momentos principais de in´ercia na sua diagonal (que s˜ao os referidos valores pr´oprios), sendo os restantes termos nulos, isto ´e: ⎡

⎣

I 1 0 0

0 I 2 0

0 0 I 3

7 Sistemas planos

7.1 Transposi¸c˜ao de eixos de in´ercia

O teorema de Steiner permite relacionar os momentos e produtos de in´ercia relativos a dois eixos paralelos. Vamos ver agora como podemos relacionar os momentos e produtos de in´ercia em dois sistemas de eixos ortogonais que fazem um ˆangulo (α) no plano, conforme ilustrado na figura 7. Estamos a considerar, por simplicidade, que os dois sistemas de eixos tˆem a mesma origem. Caso tenham origens diferentes, a rela¸c˜ao entre os momentos e produtos de in´ercia nos dois sistemas de eixos tem de ser feita juntamente com a com- bina¸c˜ao com o teorema dos eixos paralelos. Vamos ent˜ao admitir que conhecemos IXX , IY Y e IXY. Pretendemos agora determinar IX′X′^ , IY ′Y ′^ e IX′Y ′^ , fazendo os eixos (OX′Y ′) um ˆangulo (α) com (OXY ). As rela¸c˜oes que vamos estabelecer s˜ao v´alidas para sistemas planos ou para corpos a trˆes dimens˜oes em que os eixos (OZ) e (OZ′) s˜ao coincidentes. Consideremos ent˜ao o corpo descrito na figura 7. Conhecendo o ˆangulo plano entre os dois sistemas de eixos, ´e poss´ıvel estabelecer compara¸c˜oes entre as coordenadas do ponto (P ) relativamente a cada um dos referenciais, na forma

x′^ = x cos α + y sin α (38)

y′^ = y cos α − x sin α (39)

considerando que (α) ´e positivo no sentido anti-hor´ario. A partir das defini¸c˜oes gerais para o momento de in´ercia – equa¸c˜oes (13), (14), (15) – e produtos de in´ercia – equa¸c˜oes

O

a

a

X

X’

Y’ Y

P

x’ y’

x

y

Figura 7: Rota¸c˜ao dos eixos de in´ercia

(16), (17), (18) – e particularizando para o caso particular da figura 7, temos que

IX′X′^ =

M

(y cos α − x sin α)^2 dm

= IXX cos^2 α + IY Y sin^2 α − 2 IXY sin α cos α,

IY ′Y ′^ =

M

(x cos α + y sin α)^2 dm

= IXX sin^2 α + IY Y cos^2 α + 2IXY sin α cos α

e

IX′Y ′ =

M

(x cos α + y sin α) (y cos α − x sin α) dm

= (IXX − IY Y ) sin α cos α + IXY

cos^2 α − sin^2 α

Atrav´es das rela¸c˜oes trigonom´etricas de base

sin (2α) = 2 sin α cos α (43)

cos (2α) = cos^2 α − sin^2 α = 2 cos^2 α − 1 = 1 − 2 sin^2 α (44)

8 Referˆencias bibliogr´aficas

• Mecˆanica Vectorial para Engenheiros - Vol. 1 (Est´atica), Vol. 2 (Dinˆamica), Fer- dinand P. Beer e E. Russell Johnston Jr., Editora McGraw-Hill (1998);
• Dinˆamica, Arthur P. Boresi e Richard J. Schmidt, Editora Thomson (2001).

Resolução:

a) Fazendo uso das tabelas para momentos de Inércia:

4 3

R x y π = =

A geometria do exercício pode ser obtida a partir da composição de dois quartos de círculos semelhantes aos que podem ser encontrados nas tabelas:

x

y

z

Para o sólido com espessura (t) constante representado na figura, calcule:

a) As coordenadas do centro geométrico,

ponto “C” ( x , y )

b) O momento de inércia em relação ao eixo CC '

Nota: considere que 3 1 2 4 R = R

C

C’

C

x

y

R

R

R

R

Tendo em conta que o eixo CC’ é paralelo ao eixo xx, o Teorema dos eixos paralelos (ou de Steiner) pode ser aplicado de modo a obter o momento de Inercia em relação a CC’. Então:

2 I (^) xx = ICC (^) '+ md onde 2 2 2 2 d = x + y =0.627 R 2

Deste modo,

22 ' (^22 ) 2 ' 2

0.78 0.

CC CC

mR I m R I mR

= +