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Tipologia: Notas de estudo
1 / 62
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Mecânica
Licenciatura em Engenharia Mecânica
Autor:
Joaquim Alexandre O. Carneiro
(Dep. de Física, Universidade do Minho)
Colaboração de
Francisco J. Queirós de Melo, Rui P.R. Cardoso, Ricardo Sousa e Robertt Valente
(Dep de Eng. Mecânica, Universidade de Aveiro)
Mecânica
1.1 – Derivada de um vector em ordem a um escalar
Seja um vector A
r função de um escalar g : (^) A A ( g )
Define-se
g
g
A g g A g
dg
dA g g ∆
r r r r
0 lim 0
lim
Notar que sendo
3
2
1
1 1 2 2 3 3
vem
3 3
2 3 2 2
1 2 1 1
1
Considere-se o caso particular em que o vector (^) A
r é o vector posição r
r de um ponto P que se
se desloca no espaço quando o tempo decorre e em que o escalar (g) é o tempo t.
Mecânica
r
ds
d
r r 1 =
K
Curvatura da linha no
ponto considerado.
ds
d R
r r =
R Raio de curvatura da linha no ponto considerado.
X Por definição é
ds
d K R
r
= =
r acima definido tem módulo 1, i.é, é versor.
r r ⊥
τ
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ
τ τ τ τ τ
r
r r r
r r r
r r r
r r r r r
=
ds
d
ds
d
ds
d
ds
d
ds
d
ds
d
cte
Notar que não foi o facto de o módulo ser 1 que foi relevante, mas sim o facto de o módulo ser
constante!
“ Se um vector depende de um escalar mas tem módulo constante (i.é, se só a sua direcção
varia) a sua derivada em relação ao escalar dá um vector que lhe é perpendicular ”.
C) Velocidade (^) ( v )
r
τ
r
v
= =
A velocidade é um vector dirigido
segundo a direcção tangente à
trajectória.
Mecânica d) Aceleração ( a )
r
{
{ { { η
2
(^1) η
2
η
τ ( τ) τ
τ τ η τ η
( )
a t
t
v a R
t
d v d d v d a v v dt dt dt dt
d d d s v v como a a dt ds dt R R
d v a aceleração tangencial dt
v a aceleração normal ou centrípta R
=
= = =
= = = +
= = ⇒ = +
= →
= →
r
r r r r r
r r r r r r
À aceleração normal também pode chamar-se centrípta porque ela aponta para o centro de
curvatura da trajectória.
P 1 ( t 1 )
P 2 ( t 2 )
1
η
r
2
η
r
C 2
C 1 +
+
R 2
R 1
O “centro de curvatura” por
definição situa-se sobre a
recta normal, a uma
distância da curva, “para
dentro”, igual ao raio de
curvatura.
Mecânica
2º v = cte. (movimento “uniforme” no que respeita à rapidez)
η
a R
v
dt
d v dt
dv v dt
d
dt
dv a
a
r r
r r r
r r = = = + = =
=
=
2
0
O caso R = const. ⎯ movimento circular ⎯ é um caso particular deste caso particular.
1.3 – Lei do movimento
Descrever um movimento é fornecer a lei do movimento, isto é, especificar a
posição do ponto em estudo num dado sistema de referência em todos os instantes de
tempo por meio de uma expressão
qqsistdecoord z z t
y y t
x x t
r r t
r r L
È claro que as equações anteriores são as equações paramétricas da trajectória, sendo
o parâmetro o tempo. As equações cartesianas da trajectória obtêm-se pois por eliminação
do tempo.
datrajectóri a
eqcartesiana datrajectória
eq paramétricas
.
2
.
2 2 2
1.3.1 – Problemas fundamentais da cinemática
)
( ( )
0 nocasogeral
funçãodotempo t t dado
condiçõesiniciais
=
Mecânica ( )
x t
Determinar r t y t lei do movimento
z t
r
È o problema mais frequente. Vejamos o método de resolução no caso particular de o vector
aceleração ser constante.
0 0
0 0
0 0
∫ ∫
t
t
v
v
r
r
∫
∫ ∫
t
t
t
t
r
r
0
0 0
0
r
r
2 0 0
Ex.
x
y
r 0
r
v 0
r
g g j
r r =−
trajectória? (^) : 2 ; ( ); ( ) Dados r 0 j v 0 i j a g cte
r r r r r r r = = + =
eq paramétricas
.
2 2
2 0 0
Mecânica 1.3.2.2 – Movimento circular
Neste caso é preferível utilizar a representação polar:
x
y
R
O
r r u ≡
u ρ
r
⎩
⎨
⎧
≡−
≡
ρ
θ r r
r r
u
u
ds
Velocidade / aceleração:
θ ρ
ρ
θ θ
η
θ θ
τ η
θ
θ θ
τ τ
a R u R u
Então
u
dt
d
dt
d s
dt
dv
v
dt
dv a
R R cte dt
d ds Rd v R dt
ds v
v dt
ds v
r &
r &&
r
r r
r r r
r r r
2
2
2
2
Define-se: Mecânica
θ−ângulo de rotação [rad]
ω−velocidade angular [rad/s]
α− aceleração angular [rad/s 2 ] ⎪
Aceleração angular dt
d
dt
d
Velocidadeangular dt
d
2
2
Vector velocidade angular, ou Vector rotação
Define-se vector velocidade angular como um vector tal que
ω
1º ω ω
2º ω
v R
Notar
r R
trajectória
r r^ r
r (^) r r r
r
Existe uma dualidade entre os movimentos de
rotação e os de translação, que pode ser
expressa pelas correspondências:
θ
ω α
θ
θ ω
x y y x
z x x z
y z z y
z
y
x
z
y
x
z
y
x
r r
r r
r r
r
r
r
v
v
v
z
x
y
ω
r
R
r
O
A
Mecânica
x
z
y o
V (^) esfera/Carro v (^) carro
Vesfera/carro - Velocidade da esfera em relação ao carro
Vesfera/solo- Velocidade do carro + Velocidade da esfera em
relação ao carro
2.1 - Movimento Relativo de translacção
x (^) o
zo
y (^) o
x (^1)
z 1
y (^1)
rA
r
A
B
rB
r
rB/ A
r
Referencial fixo
Referencial móvel solidário com A
Na figura seguinte estão representados a posição de duas partículas onde os vectores r (^) A e r (^) B
são as posições absolutas dessas partículas. A posição relativa entre as duas partículas é
definida pelo vector r (^) B/A , e representa a posição da partícula B em relação à partícula A.
Trajectória da partícula A
rA
r
rB
r
partícula A e ao eixo móvel.
rB/A
r
Mecânica
¾ Posição :A posição da partícula B é definida como a soma vectorial da posição
absoluta da partícula A e a posição relativa da partícula B em relação à partícula A
rA
r
r B
r
rB/ A
r
rB rA rB / A
r r r = +
¾ Velocidade :A velocidade da partícula B é determinada a partir das derivadas
dos vectores posição em ordem ao tempo.
v (^) B vA vB / A
r r r = +
sãomedidosapartirdoreferencial fixo.
sãovelociadesabsolutas,porque dt
dr e v dt
dr Onde v
B B
A A
r r
r r = =
/ A velocidade relativa (^) / é observada a partir do referencial móvel B A B A
dr v dt
=
r r
v B
r
v A
r
vB/ A
r
¾ Aceleração :Através da derivada no tempo da velocidade é obtido aceleração
absoluta e relativa, cuja relação é semelhante à obtida com os vectores posição.
aB aA aB / A
r r r = +
a A
r a B
r
aB/ A
r
1 1 1
B/A B/A
solidáriocomoeixomóvelx,y,z
éaaceleraçãoBqueobservamosquandoseestácolocadoemAe dt
dv Ondea
r r =
Mecânica 2.2 – Sistemas em movimento relativo de rotação
Considerem-se dois sistemas de referência centrados em O, um OXYZ fixo e outro
rotativo em torno do eixo fixo OA ; seja Ω a velocidade angular do sistema Oxyz num
dado instante (ver figura). Considere-se agora uma função vectorial Q (t) representada
pelo vector Q aplicado em O; como o tempo t varia, tanto o módulo como a direcção de
Q variam. Como a variação de Q vista por um observador que usa o sistema OXYZ
como referência é diferente da variação de Q vista por um que usa o sistema Oxyz, deve-
se esperar que a derivada de Q dependa do sistema que for tomado como referência.
portanto, devemos designar por ( Q &^ ) OXYZ a derivada de Q em relação ao sistema fixo OXYZ
e por ( Q^ &^ ) Oxyz a derivada em relação ao sistema rotativo Oxyz. Propomo-nos determinar a
relação entre estas duas derivadas.
O X
Y
Z (^) z
x
y
i
j
k
A
Ω
Q
Em primeiro lugar iremos decompor o vector Q em componentes segundo os eixos x, y e z do
sistema rotativo. Designando por i, j e k os versores correspondentes, escrevemos
Q Qxi Qyj Qz k
r (^) r r r = + +
Derivando a expressão anterior em ordem ao tempo, e considerando os versores i, j e k como
fixos (pois para um observador em Oxyz são fixos), obtemos a derivada de Q em relação ao
sistema rotativo Oxyz.
Q (^) Oxyz Qxi Qyj Qz k
r &
r &
r &
r = + +
⋅
Mecânica
Para obter a derivada de Q em relação ao sistema fixo OXYZ, devemos considerar os
versores i,j e k como varáveis (móveis) quando derivamos Q
dt
dk Q dt
dj Q dt
di Q Qi Q j Qk Q
dt
dk Qk Q dt
dj Q j Q dt
di Q Qi Q
Qi Q j Qk dt
d Q
x y z
Q
OXYZ x y z
OXYZ x x y y z z
OXYZ x y z
Oxyz
r r^ r
r &
r &
r &
r
r r &
r r &
r r &
r
r r r r
r
⋅
⋅
⋅
se o vector Q estivesse fixo dentro do sistema Oxyz , uma vez que
Observamos que a derivada de ( Q^ &^ ) OXYZ se reduziria aos três últimos termos da expressão anterior
( Q ) Oxyz & (^) seria então nulo.
Mas, neste caso, ( Q &^ ) OXYZ representaria a velocidade de um ponto material localizado na ponta
de Q e pertencente a um corpo rigidamente ligado ao sistema Oxyz. Então os três últimos
termos da referida expressão representam a velocidade desse ponto material; como o sistema
Oxyz tem uma velocidade angular Ω em relação a OXYZ, no instante considerado, escrevemos
dt
dk Q dt
dj Q dt
di Q
k dt
dk
j dt
dj
i dt
di
x y z
r^ r
r r r
r r
r
r r
r
r r
r
Sendo assim, obtemos a relação fundamental :
⋅
Mecânica
A aceleração absoluta a (^) P do ponto material é definida como a derivada de vP em relação ao
sistema fixo OXYZ. Calculando as derivadas em relação a OXYZ dos termos da relação
fundamental, escrevemos
onde todas as derivadas estão definidas em relação a OXYZ, excepto onde for indicado de outro
modo. Relembrando a relação fundamental, observamos que o último termo da expressão
anterior pode ser expresso como:
Por outro lado, (^) r &
r representa a velocidade v (^) P e pode ser substituído pelo membro do lado direito
da expressão representativa da velocidade absoluta vP apresentada anteriormente. Assim, ficará
P Oxyz Oxyz
P Oxyz Oxyz Oxyz
O primeiro termo desta última relação representa a aceleração relativa aP/M do ponto P em
relação ao sistema rotativo. A aceleração de transporte será a que existir quando a velocidade
relativa (e portanto também a aceleração relativa) for nula e corresponde à soma do 2º e terceiro
termo da expressão anterior e está associada à aceleração a (^) P’ do ponto P’ do sistema móvel que
coincide com P no instante considerado. Ao termo que “sobra” chama-se “ aceleração
complementar ou de Coriolis ” em homenagem ao matemático francês De Coriolis (1792 – 1843).
Note-se que a aceleração de Coriolis só existe se existirem simultâneamente :
P M
to
to
mov relativo v
mov detransporte
r
r
e se além disso, não for vPM
r (^) r Ω //
Mecânica
Exemplo de aplicação: Considere-se um ponto P materializado por uma cursor que se
move em translação (parâmetro s ) com velocidade constante u ao longo de uma barra OB ,
que por sua vez gira com velocidade angular constante ω em torno de O e no plano vertical.
Determinar a aceleração do ponto P.
s
P
B
u = s &
O
ω
2
x
y
c P M
PM
p
a v
a poisuéconst
a OP OP
r r r
r r
r r &
r r
→ →
=
′
0
Ficará:
= =
2
2
'
u
a
u
a S u
S u
a
P
P
a a
P
P c
r
r
r
r r
