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Tipologia: Notas de estudo
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UNIVERSIDADE DE AVEIRO
Departamento de Engenharia Mecânica
Texto de apoio sobre:
Autor: Rui Pedro Ramos Cardoso
As vibrações mecânicas podem ser definidas como sendo um movimento que se repete num
determinado periodo ou intervalo de tempo. Exemplos concretos de sistemas vibratórios
aparecem frequentemente no nosso dia a dia, por exemplo em situações como: o movimento
de um pêndulo, a vibração de uma corda de guitarra, o movimento rotativo de um tambor de
máquinas de lavar roupa, a rotação de uma roda de automóvel descalibrada, etc. Ainda, os
problemas de vibrações podem aparecer por exemplo em máquinas de elevada rotação, na
aviação, na dinâmica das estruturas e sismologia, na concepção de instrumentos de medida,
etc.
As vibrações mecânicas são também descritas como um movimento oscilatório, ou harmónico,
de componentes mecânicos. A análise de vibrações mecânicas é um problema que se pode
encaixar perfeitamente na área da dinâmica e que, normalmente, é estudado e resolvido pelo
Engenheiro Mecânico.
Neste capítulo vamos começar por considerar apenas a análise de vibrações em sistemas com
um grau de liberdade. Estes sistemas são excelentes exemplos para os métodos aplicados à
dinâmica das particulas e permitem também perceber a teoria por trás de sistemas mais
complexos (com um maior número de graus de liberdade), e assim de maior relevância
industrial.
De seguida vai-se dar umas noções muito básicas dos números complexos.
A representação vectorial através do uso de números complexos vai permitir a simplificação do
cálculo matemático em diversos problemas práticos de Engenharia envolvendo a análise de
vibrações mecânicas. Se definirmos:
i = − 1 ,
(1)
podemos definir assim um número complexo z (que representa um vector no espaço dos
números complexos) da seguinte forma:
z = x + ⋅i y, (^) (2)
onde x representa a componente real ( x = Re( z)) e y a componente imaginária
( y = Im( z)) do número complexo z. Assim sendo, o vector z pode representar-se no
espaço complexo de acordo com a Figura 1.
A componente x é representada segundo o eixo dos números reais e a componente y é
representada segundo o eixo dos números imaginários.
Consideremos o movimento harmónico de um ponto P, a descrever um movimento circular
plano, conforme ilustra a Figura 2.
Através da observação da Figura 2, podemos definir a seguinte expressão:
0
0
=
(9)
velocidade angular do ponto
rad w P
s
Figura 2. Movimento harmónico simples.
Conforme se pode verificar na Figura 2, o movimento repete-se em cada 2 π radianos. Desta
forma, podemos escrever a velocidade angular como sendo igual à variação do ângulo θ ao
longo do tempo, ou seja:
rad w f
s t
o que também é por vezes designada por frequência angular do movimento.
Facilmente se pode apreender pela análise da Figura 2 , que a componente vertical do vector
de posição do ponto P é obtida pela seguinte expressão:
y = A sinwt. (13)
Derivando a componente vertical do vector de posição em ordem ao tempo, obtemos a
velocidade, isto é:
y& =wA coswt. (14)
wt
y
2 π
wt
y =A sinwt
x =A coswt
Derivando agora a velocidade em ordem ao tempo, obtemos finalmente a componente vertical
da aceleração:
2
y&& = −w A sinwt. (15)
Se observarmos atentamente as equações (13) e (15) verificamos que:
2
y&& = −w y, (16)
ou seja:
2
y&& + w y= 0. (17)
O mesmo raciocínio poderia ser feito para a componente x do deslocamento, x&^ da velocidade
e x&&^ da aceleração do ponto P:
x = A coswt (18)
x& = −wA sinwt (19)
2
x&& = −w A coswt, (20)
podendo-se, assim, chegar à seguinte equação diferencial do movimento horizontal do ponto P:
2
x&& + w x= 0. (21)
As equações diferenciais (17) e (21) têm o mesmo tipo de solução e representam assim o
designado movimento harmónico simples.
Vamos começar por investigar um modelo mecânico simples que contém os elementos mais
importantes de um problema de vibrações mecânicas. Vamos observar a Figura 3. a) e
considerar uma massa “ m ” que tem apenas um grau de liberdade, ou seja, a sua posição em
qualquer instante de tempo é especificada por uma única coordenada, neste caso pela
coordenada “ x ”. A massa está ligada a uma mola de rigidez “ k ” e está também sujeita a uma
força F t( ), cuja intensidade varia ao longo do tempo.
a) b)
Figura 3. a) modelo mecânico de um grau de liberdade, b) diagrama de corpo livre.
m F t( )
x
k
m F t( )
d
s
W =mg
Figura 4. Montagem utilizada para isolamento de vibrações mecânicas.
Vamos considerar, a título de exemplo, um disco em rotação, conforme ilustrado na Figura 4. O
esquema representa uma montagem que é muito utilizada para isolamento de vibrações
mecânicas de máquinas com componentes em rotação. O disco de massa “ m ” roda em torno
do centro “ O ” com velocidade angular “ w ”. O centro de massa do disco está localizado a uma
distância “ r ” do centro de rotação “ O ”. O sistema é montado numa massa maior “ M ”, que
pode mover-se apenas segundo a direcção vertical. A massa “ M ” está apoiada numa mola,
com constante elástica “ k ”, e num amortecedor com coeficiente viscoso de amortecimento
“ c ”. Se assumirmos que o movimento do corpo de massa “ M ” é pequeno, quando comparado
com o movimento do corpo de massa “ m ”, então podemos dizer que o movimento de “ m ” é
circular e a sua aceleração é representada pela sua componente normal apenas, ou seja,
2
rw.
Neste caso, vai existir uma força de intensidade
2
mrw , a actuar na massa maior “ M ”,
segundo a direcção radial do disco. A componente dessa força na direcção “ y ” é
2
mrw sin θ.
Assumindo que o disco roda com velocidade angular constante, temos então o seguinte valor
para a força de excitação aplicada ao sistema da Figura 4:
( )
2
F t = mrw sinwt. (25)
Uma vez que, inevitavelmente, vamos ter pequenas quantidades de forças de excitação deste
género em variados mecanismos com elementos rotativos, podemos dizer que forças de
excitação com variação sinusoidal ao longo do tempo revestem-se de especial importância no
estudo das vibrações mecânicas. Outra razão importante para o uso de forças de excitação de
carácter sinusoidal deve-se ao facto de qualquer força periódica puder ser representada
analiticamente através de uma expansão em série de Fourier. Assim, o comportamento do
sistema pode, teoricamente, ser determinado a partir da excitação e combinação de várias
forças periódicas.
k^ c
r
m
θ
w
x
y
Considerando então um sistema com um grau de liberdade de massa “ m ” e substituindo na
equação (22) as forças da mola s
F = − kx, do amortecimento d
F = −cx &^ e de excitação (na
sua forma sinusoidal ( ) 0
F t = F sinwt), obtemos a seguinte equação de equilíbrio:
0
F sinwt − kx − cx& =mx&&. (^) (26)
Fazendo um arranjo matemático à equação (26), podemos escrevê-la numa forma mais
normalizada, ou seja:
(^2 )
2 sin
x nx p x wt
m
onde:
2
e 2
k c
p n
m m
O termo 2 n chama-se factor de amortecimento.
Um sistema descrito desta forma designa-se por um oscilador harmónico com um grau de
liberdade e amortecimento viscoso.
De seguida, vamos analisar a solução da equação do oscilador harmónico e assim perceber a
sua importância física.
Das três forças definidas anteriormente, ou seja, a força da mola s
F = −kx , do amortecimento
d
F = −cx &^ e de excitação ( ) 0
F t = F sinwt, apenas a força da mola é necessária para
estarmos na presença de um problema de vibrações mecânicas. Poderão existir casos em que
a energia de dissipação (no amortecedor viscoso) é tão pequena que as forças de dissipação
no amortecedor podem ser desprezadas. Da mesma forma, o movimento do sistema mecânico
poderá ser devido à presença de deslocamentos ou velocidades iniciais ao invés de forças de
excitação. Desta forma, vamos então analisar o modelo mais simples de vibrações mecânicas
que consiste em desprezar as forças de dissipação e as forças de excitação do sistema.
Nestas condições, a equação de equilíbrio do sistema é a seguinte:
k
x x
m
ou então:
2
0 n
x&& + w ⋅ x=. (30)
Se compararmos a equação (30) com a equação (21) verificámos que são semelhantes, o que
implica que o sistema “massa-mola” da Figura 3 representa um movimento harmónico simples,
que oscila com uma frequência natural n
w , dada pela seguinte expressão:
De acordo com o diagrama de corpo livre da Figura 6, a equação de equilíbrio para as forças
segundo x é dada pela seguinte expressão:
− kx − F = mx&& ⇒ F = −kx −mx&&. (^) (33)
Por sua vez, a equação de equilíbrio para o somatório dos momentos segundo o eixo z é a
seguinte:
C
. (34)
Substituindo a força de atrito F da equação (33) na equação (34), obtemos a seguinte
equação do movimento relativa ao grau de liberdade x :
( ) 2
C
C
x J
r kx mx J m x kx
r r
Podemos escrever a equação (35) considerando uma massa equivalente, eq
m , para o termo
da aceleração x&& , ou seja:
eq
m x&& + kx= , (^) (36)
onde:
2
C
eq
m m
r
. (^) (37)
Assim sendo, a frequência natural de vibração do sistema é facilmente deduzida da seguinte
forma:
2
n
eq C
k k
w
m J
m
r
.
(38)
substituição das equações cinemáticas da equação (32) na equação do movimento (35):
2 2
C C
m x kx m r kr
r r
ou seja:
2
C
eq
m k m k
r
. (^) (40)
A frequência natural de vibração para o sistema da equação (40) é exactamente igual à
frequência natural de vibração obtida através da equação (38), o que significa que a frequência
natural de vibração é independente do grau de liberdade escolhido para a representação da
equação do movimento do sistema. Ora, isto significa que a frequência natural de vibração é
uma propriedade intrínseca do sistema mecânico, dependendo apenas da massa, rigidez e da
geometria do sistema.
3.1. Influência da Posição de Equilíbrio Estático (PEE) na frequência natural de vibração
No sistema “mass-mola”, temos definido o ponto de referência, ou o ponto do início dos
deslocamentos, como sendo a Posição de Equilíbrio Estático (PEE) do sistema. Isto é,
considerámos que a mola tem um deslocamento inicial e dizemos assim que o movimento
oscilatório do sistema é analisado a partir desse ponto. Vamos verificar agora se esse
deslocamento inicial da mola, que nos leva ao PEE, tem alguma influência na frequência
natural de vibração do sistema. Para esse efeito, vamos considerar em primeiro lugar o
esquema representado na Figura 7.
Figura 7. Deslocamento para a posição de equilíbrio estático.
Sem a presença da massa m , a mola encontrar-se-ia na posição inicial, correspondente a
assim a posição de equilíbrio estático, ou seja x = 0. Uma observação atenta do esquema
representado na Figura 7, permite-nos concluir o seguinte:
O diagrama de corpo livre (estático) para o sistema na posição de equilíbrio estático, está
representado esquematicamente na Figura 8.
Figura 8. Diagrama de corpo livre para a PEE.
De acordo com o diagrama de corpo livre da Figura 8, a equação de equilíbrio para as forças,
segundo a direcção do grau de liberdade y , é a seguinte:
m
x
y
k
mg
Figura 10. Movimento harmónico simples a partir da PEE.
Verificámos assim que a PEE não infuência a frequência natural de vibração do sistema
mecânico.
Vamos analisar mais um exemplo de aplicação prática para a obtenção da frequência natural
de vibração do sistema.
Exemplo demonstrativo nº 2
Vamos considerar um disco interno de raio r , inserido num disco externo de raio 4 r. O disco
interno está a suportar uma massa m. Vamos considerar que o disco interno e o disco externo
juntos possuem um momento polar de inércia 0
J. A Figura 11 representa esquematicamente o
exemplo demonstrativo que vamos analisar.
Figura 11. Exemplo de aplicação nº 2.
O objectivo deste exercício é o de determinar a equação do movimento em termos do grau de
liberdade x e também a frequência natural de vibração do sistema.
t
x = 0
y
0
1
k
2
k
1
y
2
y
x
m
r
4 r
o
Para resolver este problema vamos considerar as seguintes simplificações: vamos ignorar a
acção da gravidade e vamos também considerar que estámos na presença de pequenos
ângulos de rotação.
O diagrama de corpo livre do disco está representado esquematicamente na Figura 12.
Figura 12. Diagrama de corpo livre do disco.
Aplicando a equação de equilíbrio para o somatório dos momentos em torno do ponto o , ou
seja o o
∑
, obtemos:
1 1 2 2 0
. (50)
Considerando então pequenas rotações, podemos utilizar as seguintes simplificações:
1 1
2 2
sin
sin
4 sin 4 4
x x x r r
r r
y r r y x
y r r y x
(51)
Substituindo as simplificações da equação (51) na equação (50) chega-se à seguinte
conclusão:
0 1 2
x
J r T r k x r k x
r
, (52)
ou seja:
( ) 0 2 1 2
x
J T k k x
r
. (53)
Para determinarmos a tensão no cabo T que suporta a massa m , precisamos do diagrama de
corpo livre da Figura 13.
o
x
o
y
o
1 1
k y
2 2
k y
( )
2 2
0
r t
n
e r w
⋅
⋅ + =. (61)
Pela lei do anulamento do produto, poderiamos considerar a seguinte solução trivial:
= 0 ⇒ x t ( )= 0 , (62)
que conduziria a uma solução sem significado. Assim, para evitar a solução trivial, resta-nos a
solução:
2 2
0 n
r + w = , (63)
cujas raízes são respectivamente:
1,2 n
r = ± ⋅i w. (^) (64)
Podemos então organizar as duas soluções da equação do movimento, para um sistema em
vibração livre, da seguinte forma:
( ) ( )
1 2
1 1 2 2
r t r t
x t e x t e
⋅ ⋅
= ⋅ = ⋅. (^) (65)
A solução geral surge da combinação das soluções particulares (^) ( ) 1
x t e (^) ( ) 2
x t , ou seja:
( ) ( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
1 2 1 2
1 2
1 2 1 2
cos sin cos sin
cos sin
n n
i w t i w t
n n n n
n n
x t x t x t e e
w t i w t w t i w t
w t i w t
⋅ ⋅ − ⋅ ⋅
= + = ⋅ + ⋅ =
(66)
Podemos simplificar um pouco a expressão anterior e escrever:
( ) cos^ sin n n
x t = A ⋅ w t + B ⋅ w t, (^) (67)
onde:
( )
1 2
1 2
B i
(68)
A e B são constantes que devem ser determinadas a partir das condições de fronteira do
problema. Quando t = 0 , ou seja, no início da análise, vamos supor que o deslocamento inicial
é 0
x e a velocidade inicial é 0
x&^. Nestas condições, temos:
( ) 0
x 0 = x = A (69)
e:
( ) ( )
0
0 0
0 sin cos n n n n n t
n
x
x x w A w t w B w t w B B
w
=
(70)
Substituindo as constantes obtidas a partir das condições de fronteira na solução da equação
do movimento x t( ), obtemos:
( )
0
0
cos sin n n
n
x
x t x w t w t
w
. (^) (71)
Vamos verificar a aplicação da solução da equação do movimento para sistemas não
amortecidos com o próximo exemplo demonstrativo.
Exemplo demonstrativo nº 3
Consideremos uma casca semi-circular de raio R , conforme mostra a Figura 14 a).
a) b)
Figura 14. Casca semi-circular.
, respectivamente. Para
uma configuração genérica, conforme ilustrado na Figura 14 b), a aceleração do centro de
massa c , é dada pela seguinte expressão:
C A (^ c ) c
a = a + θ × θ × R + θ ×R
Onde a aceleração no ponto de contacto “A” tem apenas componente segundo o eixo “y”, ou
seja:
2
A
O vector c
R tem as seguintes componentes:
sin (^) ( cos ) c c c
Substituindo na equação para a aceleração do centro de massa, temos:
( ) ( )
2 2
sin cos cos sin C c c c c
a = − θ r θ + θ r θ − θR ⋅ +i θ r θ + θ r θ ⋅j
As equações de equilíbrio para o diagrama de corpo livre da Figura 14 b) são as seguintes:
c
r
c
c
x x
y
y
c
Figura 15. Elemento “massa-mola-amortecedor”.
O amortecedor viscoso com coeficiente de amortecimento, c , é o responsável por dissipar a
energia do sistema mecânico. O diagrama de corpo livre do elemento “massa-mola-
amortecedor” da Figura 15, está representado esquematicamente na Figura 16.
Figura 16. Elemento “massa-mola-amortecedor”. Diagrama de corpo livre.
Contabilizando o somatório de todas as forças, incluindo a força de inércia, obtemos a seguinte
equação de equilíbrio:
− kx − cx&^ =mx&&, (72)
ou, reorganizando:
mx&& + kx + cx& = 0. (73)
Vamos considerar então uma solução para a equação do movimento (73) do tipo:
( )
r t
x t e
⋅
= ⋅. (^) (74)
Substituindo x t( )na equação do movimento (73), obtemos:
2
0
r t r t r t
m r e k e c re
⋅ ⋅ ⋅
⋅ + ⋅ + ⋅ = ,
(75)
ou seja:
( )
2
0
r t
e m r k c r
⋅
⋅ ⋅ + + ⋅ =. (^) (76)
Obviamente, 0
r t
e
⋅
, para qualquer valor de r , t. Assim, de modo a não obtermos a solução
trivial, resta-nos a hipótese ≠ 0.
m
k
c
x
k ⋅ x c x⋅^ &
m x⋅ &&
A solução da equação (76) implica então:
2
m r⋅ + k + c r⋅ = 0 ,
(77)
cujas raízes são:
2 2
1,
c c mk c c k
r
m m m m
. (78)
Vamos definir agora a constante crítica de amortecimento, cr
c , de tal forma que:
2
cr
c k k
c m
m m m
, (79)
ou seja, podemos dizer que a constante crítica de amortecimento tem o seguinte valor:
cr n
c = m w⋅ = mk. (80)
Se introduzirmos aqui a razão de amortecimento, ξ , como sendo o quociente entre a
constante de amortecimento do sistema e a constante crítica de amortecimento, isto é:
cr
c c
c (^) mk
(81)
obtemos a seguinte expressão para as raízes da equação (78):
2
1,
n n
r = − ξ ⋅ w ± w ⋅ ξ −. (82)
A resposta do sistema amortecido vai depender da relação
2
2
2
2
Vamos analisar de seguida as respostas do sistema mecânico amortecido, para os diferentes
valores da razão de amortecimento ξ.
5.1. Sistema sem amortecimento ( ξ = 0 )
Neste caso, as raízes da equação (78) são imaginárias puras, o que significa:
1,
n n
r = ± w ⋅ − = ± ⋅i w (83)
A solução para a equação do movimento é a seguinte:
( )
r t
x t e
⋅
= ⋅. (^) (84)
Substituindo as duas raízes e combinando as soluções particulares (^) ( ) 1
x t e (^) ( ) 2
x t , obtemos:
