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MECÂNICA APLICADA DINÂMICA ISEP 1998 Cinética de uma Parfcula: Forças e Acelerações 13-1. As Leis de Newton do Movimento Muitas das noções anteriores sobre dinâmica foram esclarecidas depois de 1590 quando Galileu realizou experiências para estudar os movimen- tos das partículas e corpos em queda. As conclusões tiradas destas expe- riências geraram uma certa compreensão acerca dos efeitos s das forças que agem Sóbre Corpos vimento. O movimento nto geral de um corpo sujeito dação de forças não foi “conhecido, entretanto, até 1687, quan- do Isaac Newton estabeleceu três leis básicas governando o movimento de uma partícula” Bim palavras Igeirimen te diferentes, as três Jeis de Newton do movimento podem ser enunciadas como se segue: Primeira Lei. Uma partícula originalmente em respouso, ou deslocan- do-se em linha reta com velocidade constante, continuará a permanecer neste estado desde que a partícula não seja submetida a uma força não balanceada. Segunda Lei, Uma partícula sujeita à ação de uma força não balan- ceada F recebe uma aceleração a que tem a mesma direção que a força e um módulo que é diretamente proporcional à força. Terceira Lei, Para cada força agindo sobre a partícula, a partícula exerce uma força de reação igual, oposta e colinear. A primeira e a terceira lei foram largamente utilizadas no desenvolvi mento dos conceitos de estática. Embora estas leis também sejam consi- deradas na Dinâmica, a segunda lei de Newton do movimento forma a base para a mai rte deste estudo, já que esta lei relaciona o movi- mento acelerado de uma | particula às forças que atuam sobre a mesma. À este respeito, medidas de força e aceleração podem ser registradas em um laboratório tais que, de acordo com a segunda lei, se uma força co- fihecida não balanceada F, for aplicada a uma partícula, a aceleração a; da partícula pode ser medida. já que-a força e a aceleração são direta- mente proporcionais, a constante de proporcionalidade m pode ser de- terminada pela razão m = ,/a,. Se as unidades de medida forem con- sistentes, uma força diferente não balanceada F, aplicada à partícula irá criar uma aceleração a,, tal que Fa/a, =m. Em ambos os casos à razão será a mesma e a aceleração e a força, sendo ambas quantidades vetoriais, terão a mesma direção. O escalar m é chamado a massa da partícula. Sendo constante durante qualquer aceleração, m fornece uma medida quantitativa da resistência da partícula a uma variação em sua velocidade. Sistema SI de Unidades. Já que o sistema SI de unidades é um sistema absoluto, a massa do corpo é especificada e O peso deve ser calculado. Portanto, se um corpo tem uma massa de m (xg) e se localiza em um ponto onde a aceleração devido à gravidade é g (m/s?), então, já que F=ma, o peso W é expresso em newtons como W = mg (N), Fig. 13-Ja. Em particular, se um corpo está localizado sobre à Terra ao nível do mar e a uma latitude de 45º (considerada a “localização padrão”), a aceleração devido à gravidade é g = 9,80665 m/s”. Para os cálculos, o valor g = 9,81 m/s” será utilizado, tal que mike) mg(N) (g Imjs) (13-3) 4 = 2 Portanto, por esta equação, um corpo de massa 1 kg tem um peso de am etmis) 9,81 N; um córpo de 2 kg pesa 19,62 N; e assim por diante. y= mg (N) Sistema FPS de Unidades. Já que o sistema de unidades FPS é um siste- ma gravitacional, o peso do corpo é especificado e a massa deve ser cal- (a) culada. Portanto, se um corpo possui um peso de W (lb) e está localiza- do num ponto onde a aceleração devido à gravidade é £ (ft/s?), então, pela equação F'= ma, a massa é expressa em slugs com m = W/g (slug), Fig. 13-1b. Já que a aceleração da gravidade na localização padrão é aproximadamente 32,2 fys" (=9,81 m/s?), a massa do corpo medida em slugs é m == (slug) a=g (ns!) m=* (lug) (g=32,2 fts") (13-4) g Então, um corpo pesando 32,2 lb tem uma massa de 1 slug; um corpo de 64,4 Ib tem uma massa de 2 slugs; e assim por diante. €e» Fig 1301 13-2. A Equação do Movimento Quando mais de uma força age sobre uma partícula, a força resultante Fr é determinada por um vetor somatório de todas as forças, i.e., Fa = EF. Para este caso mais geral, a equação do movimento pode ser escrita como LF=ma (13-5) Para ilustrar o uso desta equação, considere à partícula P, mostrada na F; Fig. 13-24, que tem uma massa m e está sujeita À ação de duas forças, £ F, e F;. O diagrama de corpo livre, construído na Fig. 13-2b, represen- ——— ta graficamente todas as forças agindo sobre a partícula, ZF=F, +F,, enquanto que o diagrama cinérico considera graficamente o vetor ma, Fig. 13-2b. Conforme mostrado por estes dois diagramas, a partícula acelerada na direção de Fa = F, + Fo, tal que o módulo de a = Fa/m. ta Fig. 3-2 F a ma p 7 Disgrama de Diagrama ! corpa live cinético tb) ta) Fig. 13-3 Em particular, se Fp = £F=0, a aceleração também é zero, caso em que a partícula ou permanecerá em repouso ou se deslocará ao longo de uma trajetória em linha reta com velocidade constante. Tais são as con- dições do equilíbrio estático, a primeira lei de Newton do movimento. Equilíbrio Dinâmico. A equação do movimento pode ser reescrita na forma LE- ma =0 e o resultado ilustrado sobre um diagrama, O qual inclui o “vetor ma” agindo em seu sentido contrário (—ma), Fig. 13-20. Se —ma for considerado da mesma maneira que um “vetor força”, en- tão o estado dê “equilíbrio” criado na Fig. 13-2c é conhecido como equilíbrio dinâmico. Este método de aplicação da equação do movimen- to é conhecido como princípio de D'Alembert, assim chamado por cau- sa do nome do matemático francês Jeam le Rond d'Alembert (1717- 1783). O vetor -ma é conhecido comó o vetor força de inércia. A palavra “inércia” é aqui utilizada, porque a massa m é uma medida quantitativa da inércia ou da resistência de um corpo à uma variação em sua veloci- dade (aceleração). É importante considerar, entretanto, que O vetor força de inércia não é realmente o mesmo que uma força. A inércia de um corpo se manifesta como uma força onde quer que uma força não balanceada atue sobre 0 corpo causando uma aceleração. Por exemplo, considere o passageiro que viaja em um trem que está acelerando, Fig. 13-34. O movimento do trem para a frente cria uma força horizontal F que o banco exerce em suas costas, Fig. 13-3b. Pela equação do movi- mento, é esta força não balanceada que ihe dá uma aceleração para à frente (F =ma). Não existe nenhuma força que empurre o passageiro em direção ao assento (-ma), embora esta é a sensação que ele percebe, Fig. 13-3c. tb) te) Sistema Inercial de Referência Onde quer que a equação do movimen- to seja aplicada, é necessário que as medidas de aceleração sejam feitas a partir de um sistema de referência inercial ou newtoniano. Um tal siste- ma de coordenadas não pode entrar em rotação e ou é fixo ou está em translação em uma dada direção com uma velocidade constante (acele- ração zero). Esta definição garante que à aceleração da partícula medida por observadores em dois sistemas de referência diferentes será sempre a mesma. Ao estudar o movimento dos foguetes e satélites é justificável considerar o sistema inercial de referência como fixo em relação às estrelas, enquanto que os problemas de dinâmica relacionados com € as Esta equação estabelece que a soma das forças externas agindo sobre O sistema de partículas é igual à massa m = Em; de uma única partícula “fictícia” vezes a sua aceleração. Esta partícula fictícia se localiza no centro de massa G de todas as partículas. Já que, na realidade, todas as partículas devem ter tamanho finito para possuírem massa, à Eq. 13-7 justifica a aplicação da equação do movimento a um corpo que é representado como uma única partícula. 13-4. Equações do Movimento para uma Partícula: Coordenadas Retangulares Quando uma partícula está se movendo em relação a um sistema de re- ferência inercial x, ), Z, às forças que atuam sobre a mesma, assim como sua aceleração, podem ser expressas em termos de suas componentes i, jk, Fig. 13-5. Aplicando a equação do movimento, temos LF=ma BRi+ZF,j+ LF k=m(açita,j tah) Fig. 13-5 r Já que as respectivas componentes i, j, & devem ser equivalentes, a solução das equações acima pode ser representada em termos das três equações escalares seguintes: LF, nã LF, =mãy (13-8) LF, -ma, Se todas as forças atuantes sobre esta partícula estiverem no plano x-Y, a partícula somente terá movimento neste plano. Portanto, LF,=ma, não é aplicável, somente as duas primeiras das Eqs. 13-8 podendo ser usadas para especificar o movimento. MÉTODO PARA ANÁLISE O seguinte método em três etapas deveria ser aplicado ao resolver problemas de cinética da partícula utilizando as equações do movi- mento. Etapa !: Estabeleça o sistema de coordenadas inerciais x, ), Z, & dese- nhe o diagrama cinético e de corpo livre da partícula. Conforme expli- cado anteriormente, O diagrama de corpo livre é uma representação grá- fica de todas as forças (L F) que agem sobre a partícula; enquanto que o diagrama cinético considera graficamente ma, Fig. 13-25. Etapa 2: Aplique as equações do movimento. Na maioria dos proble- mas estas equações podem ser aplicadas em sua forma de componentes escalares, desde que as componentes vetoriais das forças e ma possam ser decompostas diretamente a partir dos diagramas de corpo livre e cinético. Se a geometria do problema aparenta ser complicada, o que ocorre frequentemente em três dimensões, a análise vetorial cartesiana deverá ser usada para a solução. Se a partícula está em contato com uma superfície áspera, pode ser necessário utilizar a equação do atrito, que relaciona o coeficiente de atrito cinético up às forças de atrito e normal F, e N atuantes na super- ficie de contato”, Le, F=upN. Se a partícula está ligada a um fio elástico de massa desprezível, o módulo da força do fio F, pode ser relacionado à compressão x do fio pela equação F, = kx, onde k é a constante elástica do fio, medida em unidades de força por unidade de comprimento. Etapa 3: Utilize as equações da cinemática se uma solução completa não puder ser obtida apenas pela equação do movimento. Em particular, se a velocidade ou a posição da partícula devem ser achadas, será neces- sário aplicar as equações cinemáticas próprias, uma vez que a aceleração da partícula a é determinada por LF = ma. Se a aceleração é uma função do tempo, utilize a = dv/dt e v =ds/dt, as quais, quando integradas, cormduzem à-velocidade e à posição da par- tícula, respectivamente. Se a aceleração é uma função do deslocamento, integre a ds = v dv para obter a velocidade em função do deslocamento. Se a aceleração é constante, utilize v=v, +acts=5; tottiar, ou v? =vj + 2a.(s - 51) para determinar a posição ou velocidade da partícula. 13-5. Equações do Movimento para uma Partícula: Coordenadas Cilíndricas Quando todas as forças atuantes sobre uma partícula são decompostas err suas componentes ao longo das direções dos vetores unitários U,, Lg, eu,, Fig. 13-11, a equação do movimento pode ser expressa como £F=ma Lr,u, + LFou, + EF,u,=ma-u, +maçug mau, * Uma revisão da Seç. 8-1, sobre atrito, de Mecânica para Engenheiros: Estáti- ca é sugorida antes de resolver os problemas. (0) Tangente Fig. 13-124b) gulo, sempre medido no sentido anti-horário, ou no sentido positivo de 8, é determinado pela equação* dr tv (13-10) A aplicação desta fórmula é ilustrada numericamente no Exemplo 13-8. MÉTODO PARA ANÁLISE O método básico em três etapas delineado na Seç. 13-4 deverá ser utilizado ao se aplicarem as Egs. 13-9, Para problemas envolvendo coor- denadas cilíndricas, estas etapas procedem conforme segue: Etapa 1: Estabeleça o sistema de coordenadas inerciais 7, À, z € desenhe os diagramas de corpo livre e cinético da partícula. Ao desenhar o dia- grama cinético suponha sempre que OS vetores ma,, mag e ma, atuam no sentido positivo de 7,0 e Z. Etapa 2: Aplique as equações do movimento, Egs. 13-9. Etapa 3: Utilize os métodos da Seç. 12-7 para determinar r e as deriva- das em relação ao tempo ?, 7, ô, à e 2, e avalie as componentes da acele- ração, a, =F — rô,ag = rô + 270,e0, =Z. Se qualquer uma destas três componentes são calculadas como quantidades negativas, isso indica que elas agem nos sentidos negativos de suas direções coordenadas. 13-6. Equação do Movimento para uma Partícuta: Coordenadas Normal e Tangencial Quando uma partícula se desloca sobre uma trajetória curva que é co- nhecida, a equação do movimento para a partícula pode ser expressa em termos de suas componentes normal e tangencial. Substituindo a Eq. 12-52 na Eq. 13-5, temos LF = ma SFu, + LF,u= matma, 10 Fig 13-16 Aqui LF, e LF representam as somas de todas as componentes de for- ça atuantes sobre à partícula nas direções normal e tangencial, respecti- vamente, Fig. 13-16. Já que as componentes respectivas U, € Ur, devem ser equivalentes, à solução da equação acima pode ser representada em termos das duas equações escalares seguintes: (13-11) A primeira destas equações indica que a variação no módulo da velo- cidade (a, = dv/dt) é causada pela soma das componentes tangenciais da força atuante sobre à partícula. Portanto, Se à resultante LF, atua no sentido do movimento, à velocidade é crescente; enquanto que se atua no sentido oposto, à partícula está diminuindo de velocidade. A segunda das Egs. 13-11 indica que a variação na direção da veloci- dade (a, = v?/p) é causada pela resultante das componentes normais da força atuante sobre à partícula. Esta resultante, SF,, sempre agirá em direção ao centro de curvatura, O, da trajetória, Fig. 13-16, no mesmo sentido de an. Em particular, quando a partícula é obrigada por algum dispositivo a se deslocar ao longo de uma trajetória circular com veloci- dade constante, existe uma força normal exercida sobre a partícula pelo dispositivo. Esta força é chamada força centripeta. À força igual, porém oposta, exercida pela partícula sobre o dispositivo é chamada força cen- trifuga. MÉTODO PARA ANÁLISE O método em três etapas dado na Seç. 13-4 pode ser estabelecido como se segue quando aplicado a problemas envolvendo coordenadas net: Etapa |: Estabeleça o sistema de coordenadas inercial n-t na partícula e desenhe o diagrama de corpo livre e cinético da partícula. Etapa 2: Aplique as equações do movimento, Egs. 13-11. Etapa 3: Formule as componentes da aceleração normal € tangencia utilizando as Eqs. 12-53 e 12-54; 1.e., a, = dvfdt ou a; = vdufds € aj = v2fp. Se à trajetória é definida como » = f(x), o raio da curvaturi pode ser obtido a partir da Eq. 12-56, 3 saber p = If! + (dyjax)' PP (EP y jd Na maioria dos problemas, os passos 2 € 3 podem ser combinado para a análise. Uia |, Fotos f Fcosb ds (14.2) Se à componente que realiza trabalho, F cos 8, é colocada num gráfico versus s, Fig. 14-2b, a integral representada nesta equação pode ser in- terpretada como a rea sob a curva entre 05 pontoss, €$2+ Trabalho de uma Força Constante Deslocando-se ao Longo de uma Li- nha Reta. Se a força Fç atuante sobre a partícula P tem módulo e dire- ção constante e a força atua em um ângulo com a sua trajetória em li- nha reta, Fig. 14-3, então a componente de F. na direção do movi- mento é F, cos 0. Portanto, o trabalho realizado por F, quando a mesma se desloca de 5, à s, é determinada pela Eq. 14-2, caso em que temos Uia -[ Fe cds=F, caso ds ou (14-3) Aqui o trabalho de F, representa a área do retângulo na Fig. 14-36. Frosê Fo | Fe cos ! 91 Ma E Focosg 2 — em Fig. 14-3 TT | Plano de referência ta) Fig. 14.4 Trabalho de um Peso. Considere uma partícula (ou bloco) P que se des- loca 20 longo da trajetória mostrada na Fig. 14-44 desde uma elevação inicial y, até uma elevação final Y,, onde ambas as elevações são medi- das positivamente para cima a partir de um plano de referência horizon- tal fixo*. À medida que a partícula desce ao longo da trajetória atra- vés de um deslocamento ds, a componente desse deslocamento na dire- ção de Wé —dy, Fig. 14-40. Portanto, pela Fig, 14-45, temos dy =ds cos 8, tal que aplicando a Eq. 14-2, considerando que W é constante, obtemos n » Via f edy== nf dy » » ou (14-4) Assim, o trabalho realizado é igual ao módulo de W vezes a diferença em altura que define o degocamento vertical da partícula**, Neste caso, o trabalho total é positivo, já que We o deslocamento vertical (ya — 41) são ambos para baixo, isto é, no mesmo sentido. Se a partícula se deslo- ca para cima, desde y, até y3, O trabalho do peso é negativo. Por quê? Posição indeformada, x = 0 tar RSNRANNNN NE to to “Aqui o peso (força) é admitido ser constante, o que é válido para pequenas diferenças de altura 4, — y,). Entretanto, se a variação de altura for significativa, a variação de peso com a aitura deve ser levada em consideração. +&Observe que a localização do plano de referência é arbitrária, já que os resul- tados indicam que o trabalho realizado depende somente da diferença de altura 13 14-2. Princípio do Trabalho e Energia Considere uma partícula P localizada em dado instante a uma distância s de uma das extremidades de sua trajetória, conforme mostrado na Fig. 14-7. O vetor r localiza a posição de P relativamente ao sistema inercial de referência x, », Z. No instante considerado, ? tem uma velocidade instantânea v e está submetida a um sistema de forças externas, repre- sentado pela resultante Fx = EF. Se Fa, Ou todas as forças externas, forem decompostas em suas componentes tangenciais e normais, então durante um deslocamento infinitesimal ds, as componentes normais LF, = LF sen O não realizam trabalho, já que elas não se deslocam na direção normal; em vez disso, somente as componentes tangenciais de força, EF, = EF cos O, realizam trabalho. Em consegiência, 2 equação do movimento para à partícula na direção tangencial será escrita como EF cos8 = ma, Durante o deslocamento ds, a, = v du/ds (Eq. 12-7). Portanto LF cos8 ds=mu dv Integrando ambos os lados, e supondo que inicialmente a partícula tem uma posição s =s, e uma velocidade v = v,, e depoiss =s,,0 =v2, Fig. 14.7, temos sf Pesa a=f mu dy na Fig. 14-7 ou sa t :f Fcos6 ds= Emvl — my? s 1 Utilizando a Eq. 14-2, o resultado final pode ser escrito como DU a = mo — my) (14-6) Esta equação descreve o princípio do trabalho e energia para a partícu- la. O termo escalar à esquerda representa a soma do trabalho realizado por todas as forças atuantes sobre a partícula, à medida que a parti- cula se desloca do ponto 1 para o ponto 2. Os dois termos do lado direi- to, que estão na forma T=;mov?, definem a energia cinética final e inicial da partícula, respectivamente, Estes termos são quantidades posi- tivas escalares, já que eles não dependem da direção da velocidade da partícula. Como a Eg. 14-6 é dimensionalmente homogênea, a energia cinética tem as mesmas unidades que o trabalho, e.g., joules (J). Conforme pode ser observado pela dedução, o princípio do trabalho e energia representa uma forma integrada da equação LF, = ma,, obtida pela utilização da equação cinemática a, = v dv/ds. Portanto, se a veloci- dade inicial da partícula é conhecida, e o trabalho de todas as forças atuantes sobre a partícula pode ser calculado, então a Eq. 14-6 fornece um meio direto de obter a velocidade final v, de uma partícula depois da mesma ter sido submetida a um dado deslocamento. Observe que se vz for determinada através da equação do movimento, será necessário um método em duas etapas; i.e., aplicar LF, = ma, para obtera,, e en- tão integrar q, = v dv/ds para obter v,. Ao aplicar 4 Eg. 14-6 é conveniente reescrevê-la na forma T4+EU 4 =T; (14.7) a qual estabelece que a encrgia cinética inicial da partícula 71, mais o trabalho realizado por todas as forças atuantes sobre a partícula, ZU, .,, à medida que a partícula se move de sua posição inicial à sua posição final, é igual à energia cinética final da partícula, T,. Deve- se observar que a Eq. 14-7 é uma equação escalar; e portanto somente uma incógnita pode ser obtida utilizando esta equação quando ela é aplicada sobre uma única partícula. O princípio do trabalho e energia não pode ser usado, por exemplo, para determinar forças dirigidas se- gundo a normal à trajetória do movimento já que estas forças não reali- zam trabalho sobre a partícula. Para trajetórias curvas, entretanto, o módulo da força normal é uma função da velocidade. Portanto, é geral- mente mais fácil obter a velocidade utilizando o princípio do trabalho e energia, e então substituir esta quantidade na equação do movimento £F, =mu?fp para obter a força normal. (8 Se o tempo Ar > dt, e consequentemente AU — dU, então a potência instantânea é definida como (14-10) Se o trabalho dU se expressa por dU = escrever «ds, então é também possível dy Fods do dr P Gaat Portanto, a potência é um escalar, onde na fórmula, v representa a velo- cidade instantânea do objeto que está submetido à ação da força não balanceada F. A unidade básica usada para medir a potência É o watt (W), que é equivalente a 1 joule de trabalho realizado por segundo, ie, IW=1Jjs=1Nem/s. Q temo “potência” fornece uma base útil para determinar o tipo de motor ou máquina necessário para realizar um certo tipo de trabalho em um dado tempo. Por exemplo, 2 bombas podem cada uma ser capa- zes de encher um reservatório se lhe dermos um tempo suficiente; entre- tanto, a bomba que tiver a maior potência irá completar o serviço mais depressa ou Eficiência. A eficiência mecânica de uma máquina é definida como a razão entre a potência de saída útil gerada pela máquina e a potência de entrada fornecida à máquina. Portanto, potência gerada 14.12) potência fornecida é Se o trabalho está sendo realizado pela máquina a uma taxa constante, então a eficiência pode ser expressa em termos da razão entre a energia erada e a energia fornecida, i.e., energia gerada E EI (14-13) energia fornecida Já que a máquina consiste de uma série de partes móveis, sempre se desenvolverão forças de atrito dentro da mesma, e, como resultado, um trabalho ou potência extra será necessário para superar estas forças. Consequentemente, a eficiência de uma máquina é sempre menor do que 1. Em todas as máquinas a transformação da energia mecânica em energia térmica devido a forças de atrito é inevitável; entretanto, em al- gumas situações isto é desejável. Por exemplo, a energia cinética de um automóvel em movimento é dissipada em energia térmica utilizando as forças de atrito desenvolvidas pelos freios. MÉTODO PARA ANÁLISE Ao calcular à potência fornecida a um corpo, deve-se primeiro deter- minar a força externa não balanceada F atuante sobre o corpo que cau- sa o movimento. Esta força é usualmente desenvolvida por uma máqui- na ou motor situado dentro ou externamente ao corpo. Se o corpo está acelerando, pode ser necessário desenhar os diagramas de corpo livre e cinético apropriados e aplicar a equação do movimento (LF =ma) para determinar F. Desde que F tenha sido calculada, a potência é determi- nada multiplicando o módulo da força pela velocidade instantânea à qual F está se deslocando ao longo de sua linha de ação, ie, P= Fev = Fe cos0. Em alguns problemas a potência pode também ser avaliada calculan- do-se 9 trabalho realizado na unidade de tempo (Pes = AU/At, ou P = dUjdt). Dependendo do problema, este trabalho é realizado tanto pela força externa como interna de uma máquina ou motor, pelo peso do corpo, ou pela força de uma mola elástica agindo sobre o corpo. 14-5. Forças Conservativas e Energia Potencial Força Conservativa. Um tipo particularmente simples de força atuante sobre uma partícula é a que depende somente da posição da partícula e é independente da velocidade e aceleração da partícula. Mais ainda, se o trabalho realizado por esta força ao mover a partícula de um ponto a outro é independente da trajetória percorrida pela partícula, esta força é chamada força conservativa. O peso de uma partícula e a força de uma mola elástica são dois exemplos de forças conservativas frequentemente encontradas em Mecânica. Peso. Q trabalho realizado pelo peso W de uma partícula quando a par- tícula se desloca para baixo ao longo de uma trajetória arbitrária é cal. culado pela Eq. 14-4. Uia =W02 1) Esta equação é independente da trajetória, dependendo somente do des- locamento vertical da partícula Mola Elástica. O trabalho realizado pela força de uma mola F, atuante sobre uma partícula é definido pela Eq. 14-5, Aqui x, é a posição inicia] da mola, à partir da qual a mola é distendida ou comprimida até uma posição posterior xa, |xa| > |x,|. Observe que o trabalho depende somente dos comprimentos final e inicial x, e x, da mola. Tanto se a mola for distendida como comprimida, o trabalho da força da mola atuante sobre a partícula é negativo, já que a força é sem- pre oposta em sentido ao deslocamento da partícula. Atrito. Em contraste com uma força conservativa, considere a força de atrito exercida sobre um objeto móvel por uma superficie fixa. O traba- lho realizado pela força de atrito depende da trajetória — quanto mais longa a trajetória, maior o trabalho. Consequentemente, as forças de atrito são não conservativas. O trabalho é dissipado do corpo sob a for- ma de calor. 
