MODELAGEM DE SISTEMAS, Resumos de Design de Sistemas

Baixe MODELAGEM DE SISTEMAS e outras Resumos em PDF para Design de Sistemas, somente na Docsity!

Mecânica Geral

Nesta unidade VI, temos por objetivo estudar as forças distribuídas com grandezas vetoriais, saber caracterizá-las e determinar suas resultantes, através do conceito de sistemas dinamicamente equivalentes. Além disso, deseja-se classificar os tipos de força, apresentar as características de um sistema de forças, com isso estudar sua aplicação no equilíbrio de um corpo sujeito a ação de forças distribuídas paralelas, assunto essencial da Estática, uma das subáreas da Mecânica.

Favor baixar a apostila da unidade, estudá-la e resolver os exercícios de aprofundamento e de sistematização para nota, a fim de verificar o aprendizado do conteúdo da teoria.

O estudo dos textos e materiais disponíveis na bibliografia também é muito importante para que se possa consolidar a compreensão dos conceitos.

Aconselhamos aos alunos que completem seus estudos por meio dos materiais complementares e os exercícios propostos para a realização da unidade.

Forças Distribuídas

Objetivo de Aprendizado

• Teoria Geral de Forças Paralelas
• Características de um Sistema de Forças
• Tipos de Forças
• Introdução

A unidade VI aborda o tema Forças Distribuídas, que é um assunto muito importante para a modelagem matemática de alguns fenômenos físicos envolvendo forças, que são intervenientes nos protótipos realizados pelas engenharias, e que faz parte da área de Mecânica Geral. Esta unidade já está disponível para o acesso. A data para a entrega de exercícios seguirá o mesmo tempo costumeiramente dado à resolução dos outros exercícios. O estudo das Forças Distribuídas divide-se em: propriedades das forças, seus tipos, as características de um sistema de forças, a teoria geral de forças paralelas e as resultantes de forças paralelas distribuídas. Esta unidade tem por objetivo apresentar os conceitos elementares referentes ás Forças Distribuídas que se baseia, principalmente, no princípio da transmissibilidade de forças e na resultante de forças paralelas distribuídas, os quais oferecem, de forma prática, procedimentos para a determinação de sistemas de força dinamicamente equivalentes, simplificando a modelagem matemática dos fenômenos físicos envolvidos na resolução de diversos problemas associados a forças distribuídas.

• Resultante de Forças Paralelas Distribuídas

Como visto nas unidades anteriores, uma força é criada pela interação entre dois corpos. Quando dois corpos interagem, supõe-se que um dos corpos exerce a força e o outro resiste a ela. Por exemplo, a força do campo gravitacional atua sobre os corpos e a Terra, A hipótese adotada é de que a Terra exerce a força sobre o corpo e que este exerce a mesma força sobre a Terra.

A terceira lei de Newton afirma que para toda força (ação), há uma força oposta de mesma magnitude (reação). Considerar uma força sendo uma ação ou uma reação depende do ponto de vista.

Assim, toda força (ação) é acompanhada por uma força de mesma intensidade e oposta (reação).

A força de campo gravitacional geralmente é expressa em termos de uma característica, que é o peso do corpo.

Exemplo resolvido 1 – Força Peso

Qual o peso de um corpo (P) de massa (m) igual a 1 kg?

Dado: aceleração da gravidade g = 9,8 m/s^2.

Solução:

P = m g = 1 x 9,8 = 9,8 N (1)

Entretanto, como já visto, uma força tem como propriedades essenciais sua magnitude, linha de direção, sentido e em algumas situações o ponto de aplicação.

Como visto, as forças podem ser representadas por vetores, que são segmentos de reta orientados para representar forças. Assim, os vetores são abstrações matemáticas, criadas pelo matemático e inventor Simon Stevin (1548-1620), cujas grandezas que se somam como forças foram chamadas de vetores.

As forças da natureza são representadas matematicamente como sendo vetores, que são abstrações matemáticas representadas graficamente por hastes com setas em uma das extremidades.

1. Introdução 2. Tipos de Forças

U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s

• Força Concentrada (força pontual) – são as forças que atuam sobre pontos específicos dos corpos. Essas forças são idealizadas, não existindo no mundo real. Sempre a força está distribuída sobre uma superfície de contato. As forças concentradas, ou pontuais, são aproximações das forças reais. Graficamente as forças concentradas são representadas por vetores unitários (figura 1).

P = 40 kN

Figura 1 – Exemplo de força concentrada.

• Força Distribuída – são as forças reais que são causadas por contato de superfícies ou por causa de fenômenos físicos atuando no volume de corpos. Graficamente as forças distribuídas são representadas por uma série de vetores unitários, simbolizando a distribuição da carga pelo comprimento, pela superfície ou pelo volume (figuras 2a, 2b e 2c).

q = 40 kN/m

L = 5,00m

Figura 2a – Exemplo de força distribuída pelo comprimento.

q = 40 kN/m^2

Figura 2b – Exemplo de força distribuída pela superfície.

U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s

F

F

F

Figura 4 – Exemplo de um sistema de forças colineares.

• Forças Coplanares – são duas ou mais forças que estão no mesmo plano, representando sistemas de força planos. Duas forças concorrentes sempre são coplanares, pois sempre estão em um plano comum. Três ou mais forças concorrentes não são necessariamente coplanares. Todos os sistemas de forças colineares são coplanares. Também, forças coplanares não são necessariamente concorrentes (figuras 5a e 5b). As forças não-coplanares representam sistemas de forças tridimensionais (figura 5c).

F F

F

X

Y

Figura 5a – Exemplo de sistema de forças coplanares concorrentes ou sistema de forças plano concorrentes.

F F

F

X

Y

Figura 5b – Exemplo de sistema de forças coplanares não concorrentes ou sistema de forças plano não concorrentes.

F F

F X

Y

Z

Figura 5c – Exemplo de sistema de forças não-coplanares ou sistema de forças tridimensionais.

Como visto nas outras unidades, corpo rígido é um corpo que não se deforma sob a ação de forças, isto é ele não muda de tamanho ou de forma quando forças são nele aplicadas. Um corpo rígido é uma idealização de um corpo real. Portanto, um corpo rígido não existe, pois todos os corpos deformam sob a ação de forças, mas seu conceito é útil para estudos físicos.

O Princípio da Transmissibilidade enuncia que o equilíbrio, ou o movimento, de um corpo rígido não é alterado se o ponto de aplicação de qualquer força que age no corpo for deslocado ao longo da linha de ação da força (figura 6).

F P

- F

F P

F Q

P

= (^) = F Q

Figura 6 – Exemplo do princípio da transmissibilidade.

Observação: o princípio da transmissibilidade não se aplica a um corpo para o qual as forças internas ou as deformações devem ser determinadas (figura 7).

4. Teoria Geral de Forças Paralelas

F F

- F

Y

Z

X

O

y

x

P (x, y)

Q (x, 0)

- F

F

Figura 9 - Exemplo do deslocamento lateral de uma força para o ponto O.

• Composição de Forças Paralelas - Sendo corpo rígido submetido à ação de várias forças paralelas, as quais podem ser transferidas para um ponto qualquer, através da adição de conjugados compensadores. Assim, as forças podem ser combinadas em uma única força resultante R, e como todas as forças têm a mesma direção, sua soma vetorial se reduz a uma soma algébrica.

R = ∑ F (^) i (2)

Se o ponto de transferência for o ponto O, origem do sistema cartesiano e as forças forem paralelas ao eixo z, além da força F na origem O, surgem dois momentos compensatórios M (^) x e M (^) y, que estão nos plano yz e xz respectivamente. Os momentos compensatórios são a somatória de todos os momentos de todas as forças originais em relação aos eixos x e y.

M (^) x = + ∑ yi F (^) i e M (^) y = - ∑ xi F (^) i (3)

• Eixo Resultante de um Sistema de Forças Paralelas - Como visto anteriormente, várias forças paralelas podem ser compostas em um sistema dinamicamente equivalente com uma única força resultante na origem e dois momentos compensatórios. Como visto podemos, também, deslocar esta força resultante da origem para um ponto qualquer (a, b) no plano xy. Se a resultante não for nula podemos escolher o ponto (a, b) de forma que os momentos compensatórios M (^) x e My sejam cancelados. Este ponto é o local onde a resultante das forças R exerce os mesmos momentos em relação aos eixos x e y que as forças originais. A linha de ação da resultante neste ponto é denominada de “eixo resultante do sistema de forças”.

U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s

Assim, se várias forças paralelas que atuam sobre um corpo rígido são paralelas ao eixo z, e se sua soma vetorial não é nula, as forças dadas são dinamicamente equivalentes a uma única força, desde que esta resultante esteja localizada de maneira que produza os mesmos momentos em relação aos eixos x e y que todas as forças originais. Desta maneira, esta força resultante estará sobre o eixo resultante do sistema de forças.

Exemplo resolvido 2

Para a placa rígida plana carregada com as forças paralelas não-coplanares, perpendiculares à superfície da placa (figura 10), determinar:

a) A força resultante equivalente no ponto O da origem do sistema cartesiano e os dois momentos compensatórios.

b) A posição da linha de ação da resultante que é dinamicamente equivalente às forças que agem sobre a placa dada.

Solução:

Para os momentos utilizar a regra da mão direita (positivo quando o produto vetorial, “o dedão da mão direita”, coincidir com o sentido crescente positivo dos eixos X ou Y).

F2 = 30 kN^ F3 = 10 kN

Y (m)

Z

X (m)

O

F4 = 20 kN

F1 = 50 kN

Figura 10 - Placa rígida plana carregada com as forças paralelas não-coplanares.

U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s

MY = - a ∑ FZ ; a = - (-300/50) = 6,00 m (8)

Portanto, o eixo resultante é perpendicular ao plano da chapa e passa pelo ponto P (6, 2).

• Equilíbrio do Corpo Rígido sob a Ação de Forças Paralelas - um corpo rígido submetido a forças paralelas está em equilíbrio somente se a soma algébrica das forças for nula e as somas dos momentos das forças em relação a um dos eixos quaisquer que se interceptem e são perpendiculares às forças forem nulos.

Para um corpo rígido submetido a forças que agem paralelamente ao eixo Z, elas podem ser expressas unicamente em termos de seu sentido e de sua magnitude. As equações para equilíbrio do corpo são:

∑ FZ = 0 (9)

∑MX =∑(+ yi Fi) = 0 (10)

∑MY = ∑(-y (^) i Fi) = 0 (11)

A resultante e a linha de ação de uma força distribuída em uma linha podem ser encontradas por analogia no centroide de uma área plana. O mesmo acontece para a resultante e a linha de ação de uma força distribuída sobre uma área plana, que podem ser encontradas por analogia no centroide de um volume.

Em algumas situações os efeitos de uma força distribuída podem ser determinados pela substituição desta pela sua resultante. No caso dos corpos rígidos, a resultante tem o mesmo efeito no equilíbrio que a força distribuída. No caso de corpos deformáveis, a força distribuída produz deformações diferentes daqueles que seriam produzidos pela força resultante.

• Forças distribuídas em um segmento de reta - um segmento de reta pode representar uma barra de um sistema. A resultante de forças paralelas pode ser determinada pela teoria geral de forças paralelas vista na seção anterior.

Seja uma força distribuída q(x) agindo na barra retilínea AB. Considerando um elemento infinitesimal de comprimento dx da carga a uma distância x de A. A resultante da força distribuída é dada por:

= (^) ∫

L R q x dx 0

( ) (12)

5. Resultante de Forças Paralelas Distribuídas

Para determinar a linha de ação da força resultante R faz-se o momento da força distribuída em relação ao ponto A:

= (^) ∫

L M xq x dx 0

( ) (13)

O momento M é dinamicamente equivalente ao momento da resultante R em relação ao ponto A. Portanto, a linha de ação de R, localizada em X, é determinada pela expressão:

R

M X (^) CG = (14)

Y

A (^) X B

q(x) dx q(x)

A B

XCG R

X dX

Figura 12 – Forças distribuídas em um segmento de reta.

A resultante R, também, é chamada de carga concentrada equivalente. Assim, o módulo da resultante do carregamento é igual à área sob a curva da força distribuída, e a linha de ação da resultante passa pelo centroide da referida área. Exemplos:

• Força uniformemente distribuída (carregamento retangular)

Força equivalente: R = área do retângulo = q L (15)

Distância da linha de ação da força equivalente até o ponto A: X = L/2 (16)

Solução:

Através do princípio da superposição de esforços o sistema de forças original é substituído por um sistema de forças com uma força uniformemente distribuída na forma de um triângulo, com a maior força no ponto B de valor 60 kN/m, superposta a uma força uniformemente distribuída na forma de um retângulo de valor 20 kN/m.

Sistema de Forças Original

20 kN/m

6,00 m

A B

60 kN/m

20 kN/m =

6,00 m

A B

80 kN/m

Sistema de Forças Dinamicamente Equivalente

Figura 15 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes por superposição.

O sistema de forças dinamicamente equivalente pode ser analisado separadamente e ser recomposto posteriormente.

20 kN/m

6,00 m

A (^) B

60 kN/m

Sistema de Forças Dinamicamente Equivalente

20 kN/m

6,00 m

A B

60 kN/m

6,00m

A B

Figura 16 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes.

Fazendo a análise da força uniforme retangular:

120 kN

3,00m

A B

3,00m

20 kN/m

6,00 m

A B

Sistema de Forças Original Sistema de Forças Dinamicamente Equivalente

Figura 17 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – força distribuída retangular.

U n i d a d e : F o r ç a s D i s t r i b u í d a s

Fazendo a análise da força uniforme triangular:

180 kN

4,00m

B

2,00m

A

Sistema de Forças Original Sistema de Forças

Dinamicamente Equivalente

60 kN/m

6,00m

A (^) B (^) =

Figura 18 – Sistemas de força dinamicamente equivalentes – força distribuída triangular.

Assim, o sistema de forças dinamicamente equivalente composto é:

120 kN

180 kN

4,00m

B

2,00m

A

3,00m

6,00m

3,00m

Figura 19 – Forças dinamicamente equivalentes ao sistema de força original.

a)

A magnitude da resultante é: R = 120 + 180 = 300 kN (19)

A linha de ação da resultante é:

m

x x R

M X (^) CG 3 , 60 300

120 3 , 00 180 4 , 00

= = (20)