Espaços de Hilbert, Notas de estudo de Matemática

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UNIVERSIDADE ESTADUAL DO SUDOESTE DA BAHIA

DEPARTAMENTO DE CIENCIAS EXATASˆ

CURSO DE LICENCIATURA EM MATEM ATICA´

ESPAC¸ OS DE HILBERT

Gislan Silveira Santos

Vit´oria da Conquista, Ba

Julho de 2008

Gislan Silveira Santos

ESPAC¸ OS DE HILBERT

Monografia apresentada ao colegiado do curso de Licenciatura em Matem´atica da Universidade Estadual do Sudoeste da Bahia, como parte dos requisitos para obten¸c˜ao do Grau de Licenciado em Matem´atica.

Orientador: Prof. Antˆonio Augusto O. Lima.

Vit´oria da Conquista, Ba

Julho de 2008

Agradecimentos

Neste momento importante de minha vida, v´arias pessoas merecem os meus verdadeiros agradecimentos. Antes de cit´a-las, pe¸co desculpas por alguns esquecimentos.

• Agrade¸co a Deus por ter me dado for¸cas para alcan¸car os meus objetivos.
• A minha m˜ae, Luzia da Silveira Lopes, que tem contribu´ıdo com tudo durante toda minha vida.
• A minha noiva, Arlana Tha´ıse, a qual tem me apoiado, com muito amor e carinho, em minhas escolhas.
• Aos meus irm˜aos, Darlan e Leticia, pelo apoio incondicional durante esta caminhada.
• Aos meus tios e tias, primos e primas, a todos os meus familiares, obrigado pelo apoio.
• A todos os professores do curso de Matem´atica da UESB respons´aveis pela minha forma¸c˜ao, em especial, aos professores: Benedito Melo Aci´oly e Wallace Juan Teixeira Cunha por estarem sempre dispon´ıveis a me ajudar.
• A todos os colegas do curso, especialmente a Luiz, Adson e Bruno Rafael, ou melhor, “Seu Lunga”, “Um Milh˜ao” e “Carlitos Tevez”, pela amizade e companheirismo.
• A minha amiga, Dani Lˆora, por me ajudar no inglˆes durante a realiza¸c˜ao deste trabalho.
• Aos meus amigos Gleyton, Darlan, Mois´es, Joaquim e Robson, a galera do “sinuca”, que sempre estiveram comigo em todos os momentos.
• A todos os funcion´arios da UESB, em especial aos funcion´arios da Biblioteca, do DCE, do Laborat´orio de Matem´atica e do Colegiado do curso de Matem´atica, pela paciˆencia, gentileza e disposi¸c˜ao.
• Ao meu orientador, Prof. Antˆonio Augusto Oliveira Lima, o maior respons´avel pelos frutos positivos deste trabalho, agrade¸co pela disposi¸c˜ao, paciˆencia e amizade. Uma pessoa excepcional.

Resumo

Iniciamos com uma introdu¸c˜ao b´asica sobre Algebra Linear e Espa¸´ cos M´etricos, para dar suporte no entendimento da defini¸c˜ao de Espa¸cos de Hilbert.

Definimos que um Espa¸co de Hilbert ´e um espa¸co vetorial normado completo, em que a norma prov´em de um produto interno, ou seja, ´e um Espa¸co de Banach proveniente de um produto interno. Provamos que se F ´e um subespa¸co fechado de um espa¸co de Hilbert H, ent˜ao H = F ⊕ F ⊥, ou seja, o espa¸co de Hilbert H pode ser escrito como soma direta de um subespa¸co F com o conjunto de todos os vetores de H ortogonais a F , onde este conjunto ´e denominado por F ⊥^ = {x ∈ H : 〈x, y〉 = 0, ∀y ∈ F }. Al´em disso, mostramos o teorema espectral para operadores auto-adjuntos compactos, em que ´e enunciado da seguinte maneira: seja A um operador auto-adjunto compacto no espa¸co de Hilbert H. Ent˜ao a fam´ılia de auto-espa¸co {Hc}, onde c varia sobre todos os autovalores (incluindo 0), ´e uma decom- posi¸c˜ao ortogonal de H.

Palavras-chave: Espa¸cos de Hilbert, Bases Ortonormais, Operadores Auto-adjuntos e Teorema Espectral.

Sum´ario

• Introdu¸c˜ao
• 1 Breve Hist´orico de David Hilbert
• 2 T´opicos de ´Algebra Linear
  • 2.1 Espa¸cos Vetoriais
  • 2.2 Subespa¸cos
  • 2.3 Bases e Dimens˜ao
  • 2.4 Transforma¸c˜oes Lineares
• 3 Espa¸cos M´etricos
  • 3.1 Espa¸cos M´etricos
  • 3.2 Espa¸cos Vetoriais Normados
  • 3.3 Espa¸cos Vetoriais com Produto Interno
  • 3.4 Seq¨uˆencias de Cauchy
  • 3.5 Espa¸cos M´etricos Completos
• 4 Espa¸cos de Hilbert
  • 4.1 Defini¸c˜ao e exemplos de Espa¸cos de Hilbert
  • 4.2 Ortogonalidade e Bases Ortonormais
  • 4.3 Propriedades dos Espa¸cos de Hilbert
  • 4.4 Bases Ortonormais em Espa¸cos de Hilbert
  • 4.5 Funcionais e Operadores
  • 4.6 Teorema Espectral
• Considera¸c˜oes Finais

Referˆencias Bibliogr´aficas 42

Cap´ıtulo 1

Breve Hist´orico de David Hilbert

David Hilbert nasceu no dia 23 de Janeiro de 1862, em K¨onigsberg, na Pr´ussia Oriental, (atual Kaliningrado, na R´ussia) cidade em que surgiu o problema das sete pontes, resolvido por Leonhard Euler, em 1736. Hilbert recebeu seu Ph.D. na Universidade de K¨onigsberg em 1885 e lecionou, na mesma, no per´ıodo de 1886 at´e 1894. Em 1895 tornou-se professor da Universidade de G¨ottigen, na Alemanha, onde permaneceu at´e sua aposentadoria em 1930. No dia 14 de Fevereiro de 1943, faleceu na cidade de G¨ottigen.

Hilbert ´e considerado como um dos maiores matem´aticos do s´eculo XX. Realmente, foi um matem´atico talentoso, contribuindo nas diversas ´areas da matem´atica.

Segue abaixo algumas de suas contribui¸c˜oes:

• Teoria dos Invariantes (1885-1892);
• Teoria dos n´umeros alg´ebricos (1893-1899);
• Fundamentos da Geometria (1898-1899);
• Problema de Dirichlet e o c´alculo de varia¸c˜oes (1900-1905);
• Equa¸c˜oes Integrais, incluindo a teoria espectral e o conceito de espa¸co de Hilbert (at´e 1912).

Talvez nenhuma contribui¸c˜ao a um Congresso Internacional seja t˜ao famoso quanto a que Hilbert propˆos, no Congresso Internacional de Matem´atica em Paris no mˆes de agosto do ano de 1900. Consistia numa lista de 23 problemas, dos quais alguns n˜ao foram resolvidos at´e hoje, o que resultou um grande enriquecimento para a matem´atica com o trabalho subseq¨uente de resolvˆe-los.

Os 23 problemas de Hilbert s˜ao:

1. Provar a hip´otese do continuum (HC) de Cantor;

2. Demonstrar a consistˆencia dos axiomas da aritm´etica;
3. Pode-se provar que dois tetraedros tˆem o mesmo volume (sob certas condi¸c˜oes)?
4. Construir todos os espa¸cos m´etricos em que as linhas s˜ao geod´esicas;
5. Todo grupo cont´ınuo ´e automaticamente um grupo diferencial?
6. Transformar toda a F´ısica em axiomas;
7. O n´umero αβ^ , onde α ´e alg´ebrico ( 6 = 0 e 6 = 1) e β ´e irracional e alg´ebrico, ´e transcen- dente?
8. A Hip´otese de Riemann e a Conjectura de Goldbach;
9. Achar a lei de reciprocidade mais geral em todo campo de n´umero alg´ebrico;
10. Encontrar um algoritmo que determine se uma equa¸c˜ao diofantina tem solu¸c˜ao;
11. Classificar as formas quadr´aticas a coeficientes nos an´eis alg´ebricos inteiros;
12. Estender o teorema de Kroneker para os corpos n˜ao abelianos;
13. Demonstrar a impossibilidade de resolver equa¸c˜oes de s´etimo grau atrav´es de fun¸c˜oes de somente duas vari´aveis;
14. Provar o car´acter finito de certos sistemas completos de fun¸c˜oes;
15. Desenvolver bases s´olidas para o c´alculo enumerativo de Schubert;
16. Desenvolver uma topologia de curvas e superf´ıcies alg´ebricas;
17. Demonstrar que uma fun¸c˜ao racional positiva pode ser escrita sob a forma de soma de quadrados de fun¸c˜oes racionais;
18. Construir um espa¸co Euclidiano com poliedros congruentes. Qual a maneira mais densa de se empacotarem esferas?
19. Provar que o c´alculo de varia¸c˜oes ´e sempre necessariamente anal´ıtico;
20. Todos os problemas variacionais com certas condi¸c˜oes de contorno tˆem solu¸c˜ao?
21. Prova da existˆencia de equa¸c˜oes diferenciais lineares tendo um determinado grupo monodrˆomico;
22. Uniformizar as curvas anal´ıticas atrav´es de fun¸c˜oes automorfas;
23. Desenvolver um m´etodo geral de resolu¸c˜ao no c´alculo de varia¸c˜oes.

Cap´ıtulo 2

T´opicos de ´Algebra Linear

O objetivo deste cap´ıtulo ´e revisar algumas no¸c˜oes b´asicas da Algebra Linear (espa¸´ cos vetoriais, subespa¸cos, bases, dimens˜ao, tranforma¸c˜oes lineares, etc), que vamos precisar no decorrer deste trabalho.

2.1 Espa¸cos Vetoriais

O corpo R ou o corpo C ser˜ao denotados por K.

2.1.1 Definic¸˜ao. Um conjunto n˜ao-vazio V ´e um espa¸co vetorial sobre o corpo K (deno-

tamos tamb´em como K-espa¸co vetorial) se seus elementos (chamados vetores) podem ser

somados e multiplicados por escalares (elementos do corpo). Ou seja, dizemos que V ´e um

espa¸co vetorial sobre o corpo K se estiverem definidas as seguintes duas opera¸c˜oes:

( + ) : V × V −→ V (u, v) 7 −→ u + v

(. ) : K × V −→ V

(k, v) 7 −→ k.v

tal que ∀u, v, w ∈ V e ∀α, β ∈ K temos as seguintes propriedades:

(A1) u + v = v + u (comutativa)

(A2) (u + v) + w = u + (v + w) (associativa)

(A3) ∃ 0 ∈ V tal que 0 + u = u (vetor nulo)

(A4) ∀u ∈ V, ∃ − u ∈ V tal que u + (−u) = 0 (vetor oposto)

(P5) (α.β).v = α.(β.v) (associativa)

(P6) 1.v = v (1 ´e o elemento identidade de K)

(P7) α.(u + v) = α.u + α.v (distributiva)

(P8) (α + β).v = α.v + β.v (distributiva) Denotaremos u + (−v) simplesmente por u − v.

Vejamos abaixo alguns exemplos de espa¸cos vetoriais.

Exemplo 2.1. O conjunto Kn^ = {(x 1 , x 2 ,... , xn)| xi ∈ K (i = 1, 2 ,... , n)} com as defini¸c˜oes usuais de adi¸c˜ao e multiplica¸c˜ao por escalar ´e um espa¸co vetorial.

Exemplo 2.2. O Rn^ com as opera¸c˜oes:

(x 1 , x 2 ,... , xn) + (y 1 , y 2 ,... , yn) = (x 1 + y 1 , x 2 + y 2 ,... , xn + yn) k.(x 1 , x 2 ,... , xn) = (k.x 1 , k.x 2 ,... , k.xn)

´e um espa¸co vetorial pelo exemplo acima.

Exemplo 2.3. O conjunto das matrizes reais de ordem m × n, com as opera¸c˜oes usuais ´e um espa¸co vetorial, tal que o elemento neutro da adi¸c˜ao ´e a matriz nula.

Exemplo 2.4. O conjunto dos polinˆomios, com coeficientes reais, de grau menor ou igual a n, com as opera¸c˜oes abaixo:

p(x) + q(x) = (ax + bn)xn^ +... + (a 1 + b 1 )x + (a 0 + b 0 ) k.p(x) = kanxn^ +... + ka 1 x + ka 0

´e um espa¸co vetorial, onde p(x) = anxn^ +... + a 1 x + a 0 ´e um elemento deste espa¸co e o

polinˆomio 0xn^ +... + 0x + 0 ´e o elemento neutro da adi¸c˜ao.

Exemplo 2.5. Sejam um conjunto qualquer X 6 = ∅ e F(X, K) o conjunto de todas as fun¸c˜oes f : X −→ K. Defina as seguintes opera¸c˜oes em F(X, K):

• para f, g ∈ F(X, K), defina a fun¸c˜ao f +g : X −→ K dada por (f +g)(x) = f (x)+g(x) para cada x ∈ X.
• para f ∈ F(X, K) e α ∈ K, defina a fun¸c˜ao α.f : X −→ K dada por (α.f )(x) = α.f (x) para cada x ∈ X.

Com estas opera¸c˜oes, o conjunto F(X, K) ´e um espa¸co vetorial sobre K, onde a fun¸c˜ao nula

´e o vetor nulo desse espa¸co. Este conjunto ´e denominado espa¸co de fun¸c˜oes.

v = α 1 .v 1 +... + αn.vn =

∑^ n

i=

αi.vi.

(ii) Seja B um subconjunto de V. Dizemos que B ´e um conjunto gerador de V (ou que B

gera V) se, para todo v ∈ V , existirem (finitos) elementos v 1 ,... , vn ∈ B e escalares α 1 ,... , αn ∈ K tais que v = α 1 .v 1 +... + αn.vn. Denotamos por [B] = V.

2.3.2 Definic¸˜ao. Sejam V um K-espa¸co vetorial e B um subconjunto de V.

(i) Dizemos que B ´e linearmente independente (L.I.) se α 1 .v 1 +... + αn.vn = 0, para vi ∈ B

e αi ∈ K, i = 1,... , n, implica que α 1 =... = αn = 0 ´e a ´unica solu¸c˜ao.

(ii) O conjunto B ´e linearmente dependente (L.D.) se n˜ao for L.I., ou seja, existe αi ∈ K∗,

i = 1,... , n, tal que α 1 .v 1 +... + αn.vn = 0.

2.3.3 Definic¸˜ao. Seja V um K-espa¸co vetorial. Dizemos que um conjunto B ⊂ V ´e uma

base de V se s˜ao v´alidas as condi¸c˜oes seguintes:

(i) B gera V ([B] = V );

(ii) B for L.I.

2.3.4 Definic¸˜ao. Um espa¸co vetorial V ´e de dimens˜ao finita se e somente se V possui uma

base finita. Ou seja, o n´umero n de elementos de uma base finita de V chama-se dimens˜ao

de V, onde denotaremos por dim(V ). Caso contr´ario, dizemos que V tem dimens˜ao infinita.

Exemplo 2.6. Em R^2 , B = {(1, 0) , (0, 1)} ´e uma base de R^2 , tamb´em chamada de base

canˆonica do espa¸co R^2. Como esta base possui dois elementos, ent˜ao dim(R^2 ) = 2.

Em geral, dim(Rn) = n. Uma base para o Rn^ pode ser a base canˆonica B = {e 1 , e 2 ,... , en},

onde e 1 = (1, 0 , 0 ,... , 0), e 2 = (0, 1 , 0 ,... , 0),... , en = (0, 0 , 0 ,... , 1).

Exemplo 2.7. Exemplos de dimens˜ao:

(a) dim(Kn) = n (Kn^ ´e um K-espa¸co vetorial).

(b) dim(Cn) = n, quando Cn^ ´e um C-espa¸co e dim(Cn) = 2n, quando for um R-espa¸co.

(c) dim(Mm×n(C)) = m.n, quando Mm×n(C) ´e um C-espa¸co e dim(Mm×n(C)) = 2.m.n,

quando for um R-espa¸co.

(d) dim(Pm(K)) = m + 1 (Pm(K) ´e um K-espa¸co vetorial).

2.3.5 Proposic¸˜ao. Sejam V um espa¸co vetorial e U e W dois subespa¸cos vetoriais de V, ambos de dimens˜ao finita. Ent˜ao

dim(U + W ) = dim U + dim W − dim(U ∩ W ).

Demonstra¸c˜ao: A demonstra¸c˜ao pode ser encontrada em [4]. 

2.4 Transforma¸c˜oes Lineares

2.4.1 Definic¸˜ao. Sejam U e V K-espa¸cos vetoriais. Uma aplica¸c˜ao T : U −→ V ´e uma transforma¸c˜ao linear se s˜ao v´alidas as condi¸c˜oes:

(i) T (u 1 + u 2 ) = T (u 1 ) + T (u 2 ), ∀u 1 , u 2 ∈ U ;

(ii) T (λ.u) = λ.T (u), ∀λ ∈ K e ∀u ∈ U.

2.4.2 Proposic¸˜ao. Sejam U e V K-espa¸cos vetoriais. Ent˜ao uma aplica¸c˜ao T : U −→ V

´e uma transforma¸c˜ao linear se e somente se

T (λ.u 1 + u 2 ) = λ.T (u 1 ) + T (u 2 ), ∀u 1 , u 2 ∈ U, ∀λ ∈ K.

Demonstra¸c˜ao: Deixada a cargo do leitor. 

Observa¸c˜ao 2.1. Sejam U e V K-espa¸cos vetoriais. Seja T : U −→ V uma transforma¸c˜ao linear.

1. Se W ´e um subespa¸co vetorial de U , ent˜ao a imagem de W por T ´e um subespa¸co de V ;
2. Se U = V ent˜ao T ´e chamado de operador linear;
3. Se V = K ent˜ao T ´e chamado de funcional linear;
4. Se T for uma bije¸c˜ao, dizemos que T ´e um isomorfismo e que os espa¸cos U e V s˜ao isomorfos;
5. Se T ´e bijetiva e U = V ent˜ao T ´e chamado de automorfismo.

Cap´ıtulo 3

Espa¸cos M´etricos

O objetivo deste cap´ıtulo ´e apresentar as defini¸c˜oes de espa¸cos m´etricos, espa¸cos vetoriais normados, espa¸cos vetoriais com produto interno e espa¸cos m´etricos completos, para ser utilizados no pr´oximo cap´ıtulo, com o intuito de definir e mostrar alguns exemplos de Espa¸cos de Hilbert.

3.1 Espa¸cos M´etricos

3.1.1 Definic¸˜ao. Uma m´etrica num conjunto M ´e uma fun¸c˜ao d : M × M −→ R, que

associa a cada par de elementos x, y ∈ M um n´umero real d(x, y), chamado a distˆancia de x

a y, tal que ∀x, y, z ∈ M , as seguintes condi¸c˜oes s˜ao satisfeitas:

(D1) d(x, y) = 0 ⇐⇒ y = x

(D2) d(x, y) > 0 se x 6 = y

(D3) d(x, y) = d(y, x)

(D4) d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) (desigualdade triangular)

3.1.2 Definic¸˜ao. Um par (M, d) diz-se um espa¸co m´etrico, se d for uma m´etrica (tamb´em

conhecida como fun¸c˜ao distˆancia) em M , onde M ´e um conjunto.

Vejamos abaixo alguns exemplos de espa¸cos m´etricos.

Exemplo 3.1. O conjunto R dos n´umeros reais, com a m´etrica definida por d(x, y) = | x − y |

para x, y ∈ R, ´e um espa¸co m´etrico. Esta m´etrica tamb´em ´e chamada de m´etrica usual da

reta.

Exemplo 3.2. Em Rn, dados x = (x 1 ,... , xn) e y = (y 1 ,... , yn), h´a trˆes maneiras naturais

de se definir a distˆancia de x a y neste espa¸co. Para x, y ∈ Rn, escreveremos:

d 1 (x, y) =

(x 1 − y 1 )^2 +... + (xn − yn)^2 =

[ (^) n ∑ i=

(xi − yi)^2

] 1 / 2

d 2 (x, y) = | x 1 − y 1 | +... + | xn − yn | =

∑^ n

i=

| xi − yi |

d 3 (x, y) = max {| x 1 − y 1 | ,... , | xn − yn |} = max 1 ≤i≤n

| xi − yi |

As fun¸c˜oes d 1 , d 2 , d 3 : Rn^ × Rn^ −→ R s˜ao m´etricas. Com isto o Rn^ ´e um espa¸co m´etrico.

Exemplo 3.3. A m´etrica “zero-um”, definida por d : M × M −→ R pondo

d(x, y) =

0 , se x = y 1 , se x 6 = y

O espa¸co m´etrico (M, d) que se obt´em desta maneira ´e ´util para contra-exemplos. Este

espa¸co ´e tamb´em chamado de espa¸co m´etrico discreto.

3.2 Espa¸cos Vetoriais Normados

3.2.1 Definic¸˜ao. Seja E um K-espa¸co vetorial. Uma norma em E ´e uma aplica¸c˜ao

‖ ‖ : E −→ K x 7 −→ ‖ x ‖

chamado a norma de x, tal que ∀x, y ∈ E e ∀λ ∈ K, satisfaz as seguintes condi¸c˜oes:

(N1) ‖ x ‖ ≥ 0 e ‖ x ‖ = 0 ⇐⇒ x = 0

(N2) ‖ λ.x ‖ = | λ |. ‖ x ‖

(N3) ‖ x + y ‖ ≤ ‖ x ‖ + ‖ y ‖ (desigualdade triangular)

3.2.2 Definic¸˜ao. Um espa¸co vetorial normado ´e um par (E, ‖ ‖), onde E ´e um K-espa¸co

vetorial e ‖ ‖ ´e uma norma em E.

Em vez de usarmos (E, ‖ ‖) para designar espa¸co vetorial normado, usaremos apenas E, deixando a norma subtendida.

3.2.3 Proposic¸˜ao. Todo espa¸co vetorial normado ´e m´etrico.

Demonstra¸c˜ao: De fato, todo espa¸co vetorial normado E possui uma m´etrica natural,

definida a partir da norma, dada por d(x, y) = ‖ x − y ‖. Com isso, verifica-se facilmente as

condi¸c˜oes (D1), (D2), (D3) e (D4) de espa¸cos m´etricos.