Notas De Aula3, Notas de aula de Engenharia Elétrica

Baixe Notas De Aula3 e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Elétrica, somente na Docsity!

Notas de Aula 3

Equa¸c ˜oes de Maxwell na forma diferencial

Prof. Valdir Bindilatti 1 ◦^ semestre de 2006

Notas revistas por:

Prof. Daniel Cornejo Profa. M´arcia Fantini Prof. S´ergio Morelh˜ao

Baseadas nas notas do Prof. Aluisio Neves Fagundes para o 1 ◦^ semestre de 2005.

As equa¸c ˜oes de Maxwell na forma

diferencial

As Leis do Eletromagnetismo podem ser expressas em quatro equac¸ ˜oes, denomina- das Equa¸c˜oes de Maxwell, em homenagem a James C. Maxwell. F´ısico escocˆes nascido em 1831, Maxwell conseguiu unificar as leis do eletromagnetismo, pela introduc¸ ˜ao da “corrente de deslocamento,” que corrige a Lei de Amp`ere. Eis as quatro leis do ele- tromagnetismo na forma integral: A forma integral destas equac¸ ˜oes implica sempre

S

E·dA =

QS Lei de Gauss (3.1) ∮

S

B·dA = 0 Lei de Gauss para o magnetismo (3.2) ∮

c

E·ds = −

∂t

S(c)

B·dA Lei de Faraday (3.3) ∮

c

B·ds = μ 0 Ic + μ 0  0

∂t

S(c)

E·dA Lei de Amp`ere-Maxwell (3.4)

Tabela 3.1: Equac¸ ˜oes de Maxwell na forma integral.

considerar uma superf´ıcie, delimitando um volume; ou uma curva fechada (circuito), delimitando uma superf´ıcie. Na lei de Gauss o fluxo do campo el´etrico atrav´es de uma superf´ıcie fechada e proporcional ´ a carga el´etrica contida dentro do volume delimitado pela superf´ıcie fechada. Na lei de Ampere a circuita¸c˜ao do vetor induc¸ ˜ao magn´etica B ao longo de um circuito fechado ´e proporcional `a corrente total que flui atrav´es de uma superf´ıcie area delimitada pelo circuito´. Esta forma de apresentar as leis do eletromagnetismo, embora de maior trans- parˆencia em seu conte ´udo, mostra-se restritiva, quando tentamos desenvolvˆe-las na soluc¸ ˜ao de um problema pr´atico. Melhor ´e dispor destas equac¸ ˜oes na forma diferencial, quando podem ser aplicadas a um ponto do espac¸o. A transformac¸ ˜ao ´e at´e bastante simples quando dispomos de duas ferramentas matem´aticas poderosas, que s˜ao o Te- orema de Gauss e o Teorema de Stokes. Seria muito simples enunciar e utilizar ambos os teoremas. Entretanto, a pr´atica mostra que o entendimento fica muito dif´ıcil, desta ma-

F

dA

Figura 3.1: Esquerda: Um volume V envolvido pela superf´ıcie S e subdividido em´ volumes menores. Direita: Alguns dos sub-volumes vk, cada um envolvido por uma superf´ıcie sk.

Consideremos ent˜ao uma subdivis˜ao mais ou menos uniforme do volume V. Como ΦS ´e uma soma de N parcelas devemos ter para cada uma delas

Φk ∼

N

ΦS.

Assim, no limite N → ∞, em que cada volume vk se fecha em torno de um ponto rk, os fluxos Φk se anulam. Entretanto, como N ≈ V /vk, temos

Φk ∼

vk V

ΦS ou

Φk vk

ΦS

V

Ou seja, a densidade de fluxo, Φk/vk pode ter um limite n˜ao nulo quando vk → 0. Esta densidade de fluxo ´e a func¸ ˜ao que estamos procurando. Ela ´e denominada divergente (do campo vetorial) e ´e definida como:

div F(r) = lim v→ 0 ,r

v

s(v)

F · dA. (3.6)

Em palavras:

o divergente de um campo vetorial F num ponto r e o fluxo de´ F atrav´es de superf´ıcies fechadas, por unidade de volume envolvido pelas superf´ıcies, no limite de volume tendendo a zero em torno do ponto r.

Pode-se demonstrar que tal limite existe e que ´e independente da forma do volume utilizado para comput´a-lo. Mais adiante vamos ver como esta func¸ ˜ao se expressa em termos das componentes do campo vetorial. Observe que o divergente de um campo vetorial ´e um campo escalar^1 (uma func¸ ˜ao escalar da posic¸ ˜ao), uma vez que ele repre- senta a densidade de fluxo e o fluxo ´e um escalar.

(^1) Uma grandeza escalar se expressa por um ´unico valor independente do sistema de coordenadas. Uma grandeza vetorial se expressa por trˆes componentes que dependem do sistema de coordenadas.

FAP2292 FAP

3.1.2 Teorema de Gauss

O Teorema de Gauss, ou teorema da divergˆencia, nada mais ´e do que a express˜ao da igual- dade (3.5) em termos da divergˆencia. Para ver isso vamos reescrevˆe-la na forma

ΦS =

∑^ N

k=

Φk =

∑^ N

k=

Φk vk

vk.

Agora tomamos o limite N → ∞ ou vk → 0 : o termo entre parˆenteses de cada parcela se torna o divergente do campo vetorial no ponto rk, div F(rk), e a soma sobre os volumes infinitesimais vk se torna uma integral por todo o volume V :

lim N →∞

∑^ N

k=

Φk vk

vk =

V

(div F) dv.

Ou seja ∮

S

F · dA =

V (S)

(div F) dv. (3.7)

Em palavras:

{ O fluxo de um campo vetorial atrav´es de uma superf´ıcie fechada S

e igual ` ´ a

integral do divergente do campo vetorial sobre o volume V limitado por S.

3.1.3 O divergente em coordenadas cartesianas

A express˜ao do divergente depende do sistema de coordenadas utilizado para escrever as componentes do campo vetorial. Dado o sistema de coordenadas escolhemos a forma mais conveniente para o volume infinitesimal atrav´es de cuja superf´ıcie vamos computar o fluxo. Suponha conhecidas as componentes cartesianas do campo vetorial F(r): F(x,y,z) = Fx(x,y,z)ˆex + Fy(x,y,z)ˆey + Fz (x,y,z)ˆez.

Como elemento de volume escolhemos um paralelep´ıpedo de arestas δx, δy e δz, pa- ralelas, respectivamente, aos eixos x, y e z, centrado num ponto r = (x,y,z). O sistema est´a esquematizado na Figura 3.2. As arestas s˜ao infinitesimais, de forma que podemos desconsiderar as variac¸ ˜oes na extens˜ao de cada face e atribuir a F o valor que assume no centro de cada uma. O fluxo de F atrav´es da superf´ıcie do paralelep´ıpedo pode, ent˜ao, ser escrito como:

δΦ ≈ [Fx(x + δx/ 2 ,y,z) − Fx(x − δx/ 2 ,y,z)] δyδz

• [Fy(x,y + δy/ 2 ,z) − Fy(x,y − δy/ 2 ,z)] δxδz
• [Fz (x,y,z + δz/2) − Fz (x,y,z − δz/2)] δxδy.

Cada linha desta express˜ao representa a contribuic¸ ˜ao de duas faces opostas e parale- las. O sinal de menos vem das orientac¸ ˜oes opostas do vetor de ´area dA para fora do

6 FAP

S

C

Ak

ck

F

ds

Figura 3.3: A superf´ıcie S apoiada no circuito C e subdividida em pedac´ ¸os menores, cada um com ´area Ak envolvido pelo circuito ck.

Com esta definic¸ ˜ao a express˜ao (3.8) pode ser vista como o produto escalar dos vetores ∇ e F, e utilizamos a notac¸ ˜ao

∇·F ≡ div F.

As express ˜oes para o divergente em coordenadas cil´ındricas e esf´ericas s˜ao dadas no Apˆendice A. L´a vocˆe pode observar que as express ˜oes n˜ao cartesianas s˜ao mais com- plicadas e n˜ao podem ser traduzidas como o produto escalar de um operador pelo campo vetorial. Apesar disso a notac¸ ˜ao ´e mantida pela sua simplicidade. Outro fato aparente na notac¸ ˜ao ´e o car´ater escalar do divergente, j´a que ele ´e representado por um produto escalar de dois vetores.

3.2 O rotacional e o teorema de Stokes

O rotacional ´e uma func¸ ˜ao associada com a circuitac¸ ˜ao de um campo vetorial em torno de um ponto. Considere um campo vetorial F(r). Seja ΛC circuitac¸ ˜ao do F ao longo do circuito C num determinado sentido, como indicado na figura 3.3:

ΛC =

C

F·ds.

Se diminuirmos o circuito C, fazendo-o se fechar em torno de um ponto r, a circuitac¸ ˜ao ΛC se anula. Entretanto, veremos que a circuitac¸ ˜ao por unidade de ´area envolvida pelo circuito pode ter um limite n˜ao nulo.

3.2.1 Defini¸c˜ao do rotacional

Para ver como isso ocorre, fechamos o circuito C com uma superf´ıcie S. A superf´ıcie deve ser limitada pelo circuito C (apoiada sobre C), mas sua forma e extens˜ao s˜ao com- pletamente arbitr´arias (veja a figura 3.3). Agora podemos dividir a superf´ıcie S em um n ´umero N arbitr´ario de pedac¸os menores que numeramos pelo ´ındice k = 1, 2 ,... N. Consideramos agora Λk, a circuitac¸ ˜ao de F ao longo do circuito ck, envolvendo cada

8 FAP

pedac¸o de ´area Ak, no mesmo sentido da circuitac¸ ˜ao original:

Λk =

ck

F·ds.

E claro que, para qualquer subdivis˜^ ´ ao da superf´ıcie S, vale a identidade

ΛC =

∑^ N

k=

Λk. (3.10)

Isto resulta do fato de que qualquer aresta comum a duas superf´ıcies adjacentes ´e per- corrida em sentidos opostos nas circuitac¸ ˜oes em torno de cada superf´ıcie, como indi- cado na figura 3.3. Estas duas contribuic¸ ˜oes se cancelam identicamente e o resultado l´ıquido da soma ´e, assim, apenas a contribuic¸ ˜ao das arestas externas, que coincide com a circuitac¸ ˜ao ao longo do circuito externo C. Tomando uma divis˜ao mais ou menos uniforme da superf´ıcie S de ´area AS , teremos Ak ∼ AS /N. Assim para cada parcela Λk temos

Λk ∼

ΛC

N

∼ Ak

ΛC

AS

ou

Λk Ak

ΛC

AS

Ou seja, no limite N → ∞, ou Ak → 0 , as circuitac¸ ˜oes Λk se anulam proporcionalmente a ´area Ak. A densidade, circuitac¸ ˜ao por unidade de ´area, entretanto, pode ter um limite n˜ao nulo quando fazemos o circuito ck se fechar em torno do ponto rk. O limite da circuitac¸ ˜ao por unidade de ´area, entretanto, n˜ao depende apenas do ponto em torno do qual fechamos o circuito. Ele depende tamb´em da orientac¸ ˜ao espa- cial do circuito e do sentido em que ´e percorrido. Para especificar a orientac¸ ˜ao, fecha- mos o circuito com uma superf´ıcie com a m´ınima ´area poss´ıvel e tomamos a direc¸ ˜ao perpendicular. Para especificar o sentido da circuitac¸ ˜ao escolhemos o sentido associ- adoa normal a superf´ıcie atrav´es da regra da m˜ao direita: envolvendo o circuito com a m˜ao direita, com os dedos apontando no sentido da circuitac¸ ˜ao, o polegar indica o sentido da normal. O resultado est´a indicado na figura 3.3, onde ´e indicado o vetor de area´ Ak associadoa superf´ıcie sk apoiada no circuito ck. O vetor de ´area ´e Ak = Ak nˆk, sendo ˆnk o versor normal `a superf´ıcie sk. Pode-se demonstrar que este limite da circuitac¸ ˜ao por unidade de ´area em torno de um ponto se comporta como um vetor. Este vetor ´e denominado o rotacional do campo vetorial, rot F. Isto significa que podemos prever o limite para qualquer orientac¸ ˜ao do circuito conhecendo o resultado de apenas trˆes orientac¸ ˜oes independentes. Assim, quando escolhemos uma orientac¸ ˜ao do circuito, caracterizada pela normal nˆ, e com- putamos o limite da circuitac¸ ˜ao por unidade de ´area obtemos a componente do vetor rotacional na direc¸ ˜ao de nˆ, ou seja (rot F)nˆ = rot F · ˆn. Assim, definimos

rot F(r) · nˆ = lim A→ 0 ,r

A

c(A)

F · ds. (3.11)

Em palavras:

FAP2292 FAP

δA=δxδyez

(x, y, z)

F(x−δx/ 2 , y, z) F(x+δx/ 2 , y, z)

δy δx

z

y

x

Figura 3.4: Esquema para computar a componente z do rotacional em coordenadas cartesianas. O retˆangulo infinitesimal de lados δx e δy e centrado no ponto´ (x,y,z). O campo vetorial F est´a indicado em dois lados opostos do retˆangulo.

tomamos para F o seu valor no ponto m´edio de cada lado. A circuitac¸ ˜ao de F ao longo do retˆangulo se escreve

δΛ ≈ [Fy(x + δx/ 2 ,y,z) − Fy(x − δx/ 2 ,y,z)] δy

• [Fx(x,y − δy/ 2 ,z) − Fx(x,y + δy/ 2 ,z)] δx,

onde cada linha representa a contribuic¸ ˜ao de dois lados opostos do retˆangulo. Divi- dindo pela ´area do circuito, δA = δxδy, e invertendo a ordem dos termos na segunda linha, obtemos

δΛ δA

Fy(x + δx/ 2 ,y,z) − Fy(x − δx/ 2 ,y,z) δx −

Fx(x,y + δy/ 2 ,z) − Fx(x,y − δy/ 2 ,z) δy

ou seja

(rot F)z =

∂Fy ∂x

∂Fx ∂y

As outras componentes podem ser obtidas desta atrav´es das permutac¸ ˜oes c´ıclicas dos ´ındices x, y e z {x → y, y → z, z → x}. Vocˆe deve verificar que as trˆes componentes do rotacional em coordenadas cartesianas podem ser obtidas da operac¸ ˜ao indicada pelo determinante

rot F =

ˆex ˆey ˆez ∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z Fx Fy Fz

que ´e equivalente ao produto vetorial do operador vetorial ∇ pelo campo vetorial F. Por isso utilizamos a notac¸ ˜ao ∇×F ≡ rot F

para o rotacional de um campo vetorial. O Apˆendice A d´a as express ˜oes para o rotaci- onal nos trˆes sistemas de coordenadas mais utilizados. Observe que o produto vetorial s ´o se traduz na express˜ao para o rotacional em coordenadas cartesianas. Esta notac¸ ˜ao utilizada para indicar o rotacional lembra o fato de que o rotacional ´e um campo vetorial.

FAP2292 FAP

3.3 As equa¸c ˜oes de Maxwell na forma diferencial

Nesta sec¸ ˜ao, vamos aplicar as noc¸ ˜oes de divergente e rotacional, juntamente com os teoremas de Gauss e Stokes para reescrever as equac¸ ˜oes de Maxwell.

3.3.1 Lei de Gauss

Na forma integral a Lei de Gauss para o campo el´etrico se escreve, (3.1):

∮

S

E·dA =

QS.

Substituindo o campo el´etrico E(r) pelo campo vetorial F no teorema de Gauss (3.7), o membro esquerdo desta equac¸ ˜ao pode ser escrito como

∮

S

E · dA =

V

(div E) dv.

O membro direito envolve QS , a carga contida dentro do volume V limitado pela su- perf´ıcie S. Podemos expressar QS como uma integral no volume atrav´es da densidade de carga ρ(r):

QS =

V (S)

ρdv.

Assim, a Lei de Gauss implica que

∫

V

(div E) dv =

V (S)

ρdv.

Para que as duas integrais sejam idˆenticas sobre qualquer volume arbitr´ario, ´e ne- cess´ario que os integrandos sejam idˆenticos em cada ponto. Portanto em qualquer ponto do espac¸o r:

div E =

ρ. (3.13)

Esta ´e a forma puntual da Lei de Gauss. Quando o divergente ´e expresso num deter- minado sistema de coordenadas esta express˜ao resulta numa equac¸ ˜ao diferencial.

3.3.2 Lei de Gauss para o magnetismo

De forma an´aloga, o teorema de Gauss aplicado `a equac¸ ˜ao (3.2) conduz a

div B = 0, (3.14)

uma vez que o fluxo de B atrav´es de qualquer superf´ıcie fechada ´e sempre nulo.

12 FAP

3.3.5 As Equa¸c ˜oes de Maxwell

No Tabela 3.2 abaixo, resumimos as leis do eletromagnetismo nas suas forma integral e diferencial. Nestas equac¸ ˜oes,

QS =

V (S)

ρdv

e a carga total contida dentro do volume ´ V dentro da superf´ıcie fechada S e ρ(r) a densidade de carga associada a cada ponto do espac¸o.

Ic =

S(c)

J · dA

e a corrente total que atravessa a superf´ ´ ıcie S apoiada no circuito fechado c na direc¸ ˜ao determinada pela regra da m˜ao direita, e J(r) a densidade de corrente associada a cada ponto do espac¸o. Na presenc¸a da mat´eria a carga QS e a carga total, ou seja, a carga livre mais a carga´ de polarizac¸ ˜ao. Uma variac¸ ˜ao temporal da carga de polarizac¸ ˜ao implica a existˆencia de uma corrente. Esta corrente de polarizac¸ ˜ao tamb´em deve ser inclu´ıda na corrente total Ic, adicionada as correntes de conduc¸ ˜ao eas correntes de magnetizac¸ ˜ao. A ´unica lei que deve ser adicionada a estas ´e a express˜ao da forc¸a de Lorentz, que define o significado dos campos E e B atrav´es da forc¸a sobre uma carga puntiforme q que se encontra num ponto r se movendo com velocidade v:

F = q (E + v × B).

A equac¸ ˜ao da continuidade,

∮

S(V )

J · dA +

∂QV

∂t

= 0 ⇔ div J +

∂ρ ∂t

que expressa a lei da conserva¸c˜ao da carga, est´a contida nas quatro Equac¸oes de Maxwell.

S

E·dA =

QS div E =

ρ ∮

S

B·dA = 0 div B = 0 ∮

c

E·ds = −

∂t

S(c)

B·dA rot E = −

∂B

∂t ∮

c

B·ds = μ 0 Ic + μ 0  0

∂t

S(c)

E·dA rot B = μ 0 J + μ 0  0

∂E

∂t

Tabela 3.2: As leis de Maxwell do Eletromagnetismo nas suas formas integral (a es- querda) e diferencial (a direita).

14 FAP

Exerc´ıcios de aplica¸c˜ao

1. Mostre que a integral do vetor de ´area sobre uma superf´ıcie fechada S e nulo, ou´ seja (^) ∮

S

dA = 0.

Solu¸c˜ao : Seja b um campo vetorial uniforme, o que implica div b = 0. Aplicando o teorema de Gauss `a express˜ao do fluxo do campo b atrav´es da superf´ıcie S, teremos (^) ∮

S

b · dA =

V (S)

(div b) dv = 0,

Mas o fluxo do vetor b atrav´es da superf´ıcie S pode ser escrito como ∮

S

b · dA = b ·

[∮

S

dA

]

porque sendo b constante, pode ser tirado da integral. Assim, como

b ·

[∮

S

dA

]

S

dA = 0.

2. Demonstrar a igualdade vetorial

rot (grad φ) = 0,

ou seja, que ´e nulo o rotacional do gradiente de qualquer campo escalar. Solu¸c˜ao : Como, por definic¸ ˜ao,

∇φ · ds = dφ,

a integral de linha de ∇φ entre dois pontos r 1 e r 2 atrav´es de um caminho qual- quer ´e (^) ∫ r 2

r 1

∇φ(r) · ds = φ(r 2 ) − φ(r 1 ).

Assim, a circuitac¸ ˜ao (integral de linha ao longo de um circuito fechado) do gra- diente ´e sempre nula. Como o rotacional ´e a circuitac¸ ˜ao por unidade de ´area, ele ser´a identicamente nulo para o gradiente de qualquer func¸ ˜ao.

4. Mostre que as equac¸ ˜oes de Maxwell conduzem a equac¸ ˜ao da continuidade. **Solu¸c˜ao** : Tomemos o divergente dos dois membros da Lei de Ampere-Maxwell:

div (rot B) = μ 0 div

J +  0

∂E

∂t

O membro esquerdo ´e nulo devido ao resultado do exerc´ıcio anterior. Assim, devemos ter div J +  0

∂div E ∂t

Mas pela Lei de Gauss,  0 div E = ρ, ou seja

div J +

∂ρ ∂t

Esta ´e a equac¸ ˜ao da continuidade, que como vemos segue das Equac¸ ˜oes de Maxwell. Para melhor entender o seu significado vamos integrar esta equac¸ ˜ao sobre um volume V , limitado por uma superf´ıcie fechada S. ∫

V

div Jdv +

∂t

V

ρdv = 0.

Aplicamos o teorema da divergˆencia sobre o termo em div J, obtendo ∫

V

div Jdv =

S(V )

J · dA.

Este ´e o fluxo da densidade de corrente atrav´es da superf´ıcie S, ou seja a corrente que atravessa a superf´ıcie S para fora do volume V. Reconhecemos a integral em ρ como a carga contida dentro do volume V , e podemos ent˜ao escrever

∂QV ∂t

S(V )

J · dA.

Esta equac¸ ˜ao representa a lei da conservac¸ ˜ao da carga de forma dinˆamica. A derivada temporal da carga dentro de um volume ´e igual ao negativo da corrente que sai do volume atrav´es de sua superf´ıcie. Ou seja, se a carga dentro de um volume varia no tempo ´e porque cargas el´etricas est˜ao se movendo atrav´es de sua superf´ıcie.

FAP2292 FAP

• 3 As equa¸c ˜oes de Maxwell na forma diferencial
  • 3.1 O divergente e o teorema de Gauss
    • 3.1.1 Definic¸ ˜ao do divergente.
    • 3.1.2 Teorema de Gauss
    • 3.1.3 O divergente em coordenadas cartesianas
  • 3.2 O rotacional e o teorema de Stokes
    • 3.2.1 Definic¸ ˜ao do rotacional
    • 3.2.2 Teorema de Stokes
    • 3.2.3 O rotacional em coordenadas cartesianas
  • 3.3 As equac¸ ˜oes de Maxwell na forma diferencial
    • 3.3.1 Lei de Gauss
    • 3.3.2 Lei de Gauss para o magnetismo
    • 3.3.3 A Lei de Faraday
    • 3.3.4 A Lei de Amp`ere-Maxwell
    • 3.3.5 As Equac¸ ˜oes de Maxwell
• 4 Exerc´ıcios de aplica¸c˜ao
• A Outros sistemas de coordenadas
• 2 FAP
• 18 FAP