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Notas de Aula 4

Ondas Eletromagn´eticas

Prof. Valdir Bindilatti 1 ◦^ semestre de 2006

Notas revistas por:

Prof. Daniel Cornejo Profa. M´arcia Fantini Prof. S´ergio Morelh˜ao

Baseadas nas notas do Prof. Aluisio Neves Fagundes para o 1 ◦^ semestre de 2005.

Ondas Eletromagn´eticas

A contribuic¸ ˜ao de Maxwell ao Eletromagnetismo registra tamb´em a previs˜ao da existˆencia de ondas eletromagn´eticas. Esta previs˜ao feita por Maxwell em 1860 foi demonstrada Heinrich Hertz em 1887. Inicialmente vamos ver como as equac¸ ˜oes de Maxwell conduzem a uma equa¸c˜ao de onda para o campo eletromagn´etico. Depois vamos estudar uma classe particular de soluc¸ ˜oes desta equac¸ ˜ao, as ondas planas. Este tipo mais simples de soluc¸ ˜ao permite determinar propriedades das ondas eletromagn´eticas que resultam ser gerais, ou seja, que se aplicam a qualquer tipo de onda eletromagn´etica.

4.1 As equa¸c ˜oes de Maxwell no v´acuo e as equa¸c ˜oes de

onda

Vamos reescrever as equac¸ ˜oes de Maxwell, na sua forma diferencial, para o v´acuo, ou seja, uma regi˜ao do espac¸o completamente vazia onde n˜ao h´a cargas (ρ = 0) nem correntes el´etricas (J = 0):

∇·E = 0 (4.1) ∇·B = 0 (4.2)

∇×E = −

∂B

∂t

∇×B = μ 0  0

∂E

∂t

Tomemos o rotacional de ambos os membros da Lei de Faraday (4.3). Invertendo a ordem das derivadas espaciais e temporais, teremos:

∇× (∇×E) = −

∂t

(∇×B).

Podemos eliminar o campo magn´etico B desta equac¸ ˜ao atrav´es da Lei de Amp`ere- Maxwell (4.4), obtendo uma equac¸ ˜ao que envolve apenas o campo el´etrico:

∇× (∇×E) = −μ 0  0

∂^2 E

∂t^2

4.2 Ondas planas

Ondas planas s˜ao func¸ ˜oes que se propagam numa direc¸ ˜ao fixa do espac¸o. Estritamente falando uma onda eletromagn´etica plana s ´o pode ser gerada por uma distribuic¸ ˜ao in- finita de cargas ou correntes com simetria plana. Entretanto, quando consideramos uma pequena regi˜ao do espac¸o bem distante das cargas e correntes, podemos tratar qualquer onda como plana. Por exemplo, a luz proveniente do sol se propaga radial- mente a partir dele. Quando observada numa pequena regi˜ao da terra, entretanto, a divergˆencia angular de um feixe de luz solar ´e completamente desprez´ıvel. Podemos tratar a luz como se propagando numa direc¸ ˜ao fixa.

4.2.1 A equa¸c˜ao de onda em 1 dimens˜ao

Como uma onda plana se propaga numa direc¸ ˜ao fixa, podemos adotar esta direc¸ ˜ao como a direc¸ ˜ao do eixo z. A func¸ ˜ao que descreve esta onda plana s ´o depende da coor- denada z e do tempo t, sendo independente das coordenadas x e y. A forma geral para o campo eletromagn´etico de tal onda ´e

E(r,t) = E(z,t) = ˆexEx(z,t) + ˆeyEy(z,t) + ˆez Ez (z,t) (4.7) B(r,t) = B(z,t) = ˆexBx(z,t) + ˆeyBy(z,t) + ˆez Bz (z,t) (4.8)

Ou seja, num determinado instante, o campo el´etrico (ou magn´etico) ´e o mesmo em qualquer ponto de um plano z = constante. Na realidade estamos tratando de um problema em 1 dimens˜ao. Para um campo eletromagn´etico deste tipo as equac¸ ˜oes de onda assumem a forma

∂^2 Ex ∂z^2

c^2

∂^2 Ex ∂t^2

∂^2 Bx ∂z^2

c^2

∂^2 Bx ∂t^2 ∂^2 Ey ∂z^2

c^2

∂^2 Ey ∂t^2

∂^2 By ∂z^2

c^2

∂^2 By ∂t^2 ∂^2 Ez ∂z^2

c^2

∂^2 Ez ∂t^2

∂^2 Bz ∂z^2

c^2

∂^2 Bz ∂t^2

Aqui adotamos c^2 = 1/μ 0  0. O parˆametro c tem dimens˜ao de velocidade, e como veremos ´e a velocidade de propagac¸ ˜ao das ondas eletromagn´eticas no v´acuo. Ele ´e uma constante universal denominada velocidade da luz no v´acuo, porque a luz ´e uma onda eletromagn´etica. As equac¸ ˜oes para as trˆes componentes do campos el´etrico e magn´etico s˜ao idˆenticas e tem uma forma que vocˆe j´a deve ter encontrado, por exemplo quando estudou as ondas se propagando numa corda tensionada. Neste caso a equac¸ ˜ao se aplica ao des- locamento lateral da corda. Tomando o comprimento da corda ao longo da direc¸ ˜ao ˆez o deslocamento transversal de um ponto localizado em z, f (z,t) por exemplo, obedece a equac` ¸ ˜ao: ∂^2 f ∂z^2

v^2

∂^2 f ∂t^2

onde a velocidade com que as ondas se propagam na corda v =

T /ρ e determinada´ pela tens˜ao na corda, T e sua densidade linear de massa (massa por unidade de com- primento), ρ.

4.2.2 A fun¸c˜ao de onda plana

A soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao de onda em uma dimens˜ao, (4.9), tem uma forma geral simples. A equac¸ ˜ao de onda ´e satisfeita por qualquer func¸ ˜ao em que as coordenadas espacial e temporal s ´o se apresentam na combinac¸ ˜ao z ± vt. Vamos verificar este resultado. Vamos definir uma vari´avel u = az + bt, com a e b constantes, e tomar a func¸ ˜ao f (z,t) na forma f (z,t) = F (u) = F (az + bt),

onde F (u) e uma func´ ¸ ˜ao cont´ınua e diferenci´avel de uma ´unica vari´avel. Para substituir na equac¸ ˜ao de onda, vamos calcular as derivadas parciais, levando em conta que u = az + bt e que, portanto, ∂u∂z = b e ∂u∂t = a. Derivando em relac¸ ˜ao a z obtemos:

∂F ∂z

dF du

∂u ∂z

= aF ′, e

∂^2 f ∂z^2

∂^2 F

∂z^2

= a

∂z

dF du

= a

d^2 F du^2

∂u ∂z

= a^2 F ′′,

onde adotamos uma notac¸ ˜ao compacta para as derivadas de uma func¸ ˜ao de uma ´unica vari´avel F (u):

F ′^ ≡

dF du

; F ′′^ ≡

d^2 F du^2

Derivando em relac¸ ˜ao a t termos:

∂F ∂t

dF du

∂u ∂t

= bF ′, e

∂^2 f ∂t^2

∂^2 F

∂t^2

= b

∂t

dF du

= b

d^2 F du^2

∂u ∂t

= b^2 F ′′.

Levando as segundas derivadas `a equac¸ ˜ao de onda (4.9), obtemos

∂^2 f ∂z^2

= a^2 F ′′(u) =

v^2

∂^2 f ∂t^2

b^2 v^2

F ′′(u) ⇒

b^2 a^2

= v^2 ⇔

b a

∣ =^ v.

Note que a ´unica condic¸ ˜ao necess´aria para que a func¸ ˜ao seja soluc¸ ˜ao da equac¸ ˜ao de onda ´e que a raz˜ao entre os parˆametro a e b, em u = az + bt, tenha o mesmo m ´odulo que v. A func¸ ˜ao F (u) permanece completamente arbitr´aria. H´a duas formas simples e equivalentes de escrever u:

• tomando a = 1, fazemos u = z + bt, ou, como b = ±v, u = z ± vt;
• tomando b = 1, fazemos u = t + az, ou, como a = ± (^1) v , u = t ± z/v.

As opc¸ ˜oes com o sinal negativo, F (u = z − vt) ou F (u = t − z/v) representam uma onda que se propaga no sentido positivo do eixo z com velocidade v, como ilustra a Figura 4.1. O deslocamento espacial da onda vem do fato de que qualquer valor fixo da vari´avel u = u 0 , associado ao valor fixo da func¸ ˜ao F (u 0 ), equivale a um valor diferente da coordenada espacial em cada instante de tempo: z = u 0 + vt, ou z = v(t − u 0 ). Com o sinal positivo, F (u = z +vt) ou F (u = t+z/v) representam uma onda que se propaga no sentido negativo do eixo z, porque, para u = u 0 , z = u 0 − vt ou z = v(u 0 − t).

contidas na equac¸ ˜ao original s˜ao perdidas. Embora as equac¸ ˜oes de onda sejam iden- ticamente satisfeitas por quaisquer seis func¸ ˜oes arbitr´arias, o resultado tem que ser compat´ıvel com as equac¸ ˜oes originais. Neste processo de verificac¸ ˜ao, veremos que h´a relac¸ ˜oes que devem ser satisfeitas entre estas func¸ ˜oes, que v˜ao definir um formato particular para as ondas eletromagn´eticas. Vejamos primeiro a Lei de Gauss (4.1) para o campo el´etrico.

∇·E = 0 ⇒

∂Ex ∂x

∂Ey ∂y

∂Ez ∂z

= E z′ = 0 ⇒ Ez (z − vt) = constante.

Aqui usamos a notac¸ ˜ao F ′(u) = d dFu introduzida anteriormente. Assim, a Lei de Gauss requer que a componente do campo el´etrico paralela a direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao de uma onda plana, z no caso, n˜ao dependa nem da posic¸ ˜ao nem do tempo. Ou seja, s ´o ´e ad- mitida uma componente Ez do campo el´etrico uniforme e est´atica. De forma comple- tamente an´aloga, a Lei Gauss para o campo magn´etico (4.2) exige que Bz seja uniforme e est´atica. Como um campo constante e est´atico n˜ao caracteriza nenhuma propagac¸ ˜ao exclu´ımos estes campos do que chamamos de onda eletromagn´etica fazendo Ez = 0 e Bz = 0. Assim, toda a ac¸ ˜ao ondulat´oria de uma onda eletromagn´etica s ´o envolve as componentes de E e B no plano perpendiculara direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao. Isto ca- racteriza as ondas eletromagn´eticas como ondas transversais. Embora tenhamos obtido o resultado considerando ondas planas, a transversalidade ´e uma propriedade carac- ter´ıstica de qualquer onda eletromagn´etica. Vamos agora utilizar a Lei de Faraday (4.3), utilizando apenas as componentes on- dulat ´orias dos campos Ex, Ey e Bx, By. Lembrando que elas s ´o dependem de z e t, temos

∇×E =

ˆex ˆey ˆez ∂ ∂x

∂ ∂y

∂ ∂z Ex Ey 0

= −ˆex

∂Ey ∂z

• ˆey

∂Ex ∂z

= −ˆexE y′ + ˆeyE′ x.

e

−

∂B

∂t

= −ˆex

∂Bx ∂t

− ˆey

∂By ∂t

= ˆexvB x′ + ˆeyvB′ y.

Igualando as componentes, teremos

∇×E = −

∂B

∂t

vB′ x = −E y′ vB′ y = E′ x.

A igualdade das derivadas implica que cada par de func¸ ˜oes s ´o podem diferir por uma constante. Aparece novamente, um campo uniforme e est´atico que n˜ao tem car´ater on- dulat ´orio. Suprimindo esta parcela da onda eletromagn´etica, a Lei de Faraday implica:

vBx = −Ey, e vBy = Ex.

Ou seja, das seis func¸ ˜oes iniciais, s ´o restaram duas func¸ ˜oes n˜ao especificadas, porque as Equac¸ ˜oes de Maxwell imp ˜oem uma dependˆencia estreita entre os campos el´etrico e magn´etico da onda eletromagn´etica. Para uma descric¸ ˜ao geom´etrica desta relac¸ ˜ao, vamos escrevˆe-la usando o produto vetorial. Verifique que ela ´e equivalente a

vB = ˆez ×E ou E = vB׈ez ,

cB

E

ˆk

Figura 4.2: Os campos el´etrico e magn´etico de uma onda plana representados num determinado instante de tempo em posic¸ ˜oes ao longo de uma reta paralela `a direc¸ ˜ao

de propagac¸ ˜ao ˆk. A figura ilustra a relac¸ ˜ao cB = ˆk×E que se aplica em cada ponto do espac¸o em qualquer instante.

o que implica que os vetores E e B s˜ao perpendiculares entre si. Anteriormente mostra- mos que a onda eletromagn´etica ´e transversal, ou seja, os campos el´etrico e magn´etico s˜ao ambos perpendiculares `a direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao. Como o m ´odulo do produto ve- torial de dois vetores ortogonais ´e o produto dos m ´odulos, e, por definic¸ ˜ao |ˆez | = 1, temos sempre |cB| = |E|.

Chamemos de ˆk o versor que aponta na direc¸ ˜ao e sentido da propagac¸ ˜ao da onda. O parˆametro v tem m ´odulo c mas pode assumir os valores +c, para uma onda se pro-

pagando no sentido positivo de z (com ˆk = +ˆez ), ou −c, para uma onda se propagando

no sentido oposto, (com ˆk = −ˆez ). Utilizando o versor de propagac¸ ˜ao estas proprie- dades geom´etricas das ondas eletromagn´eticas podem ser resumidas nas express ˜oes seguintes:

ˆk · E = 0; ˆk · B = 0;

E = cB׈k; cB = ˆk×E.

A figura 4.2 ilustra a relac¸ ˜ao entre os trˆes vetores das ondas eletromagn´eticas. Em- bora tenham sido obtidas estudando ondas planas, estas propriedades s˜ao completa- mente gerais e se aplicam a qualquer tipo de onda eletromagn´etica. Note que elas implicam numa estrutura muito simples para as ondas eletromagn´eticas. Em qualquer ponto do espac¸o r em qualquer instante de tempo t, os trˆes vetores est˜ao atados entre si da maneira prescrita. Se tivermos apenas uma onda plana se propagando numa certa direc¸ ˜ao, podemos escolher esta como a direc¸ ˜ao de um eixo coordenado, como fizemos at´e aqui. Mas se tivermos mais de uma onda plana se propagando em diferentes direc¸ ˜oes, entretanto, n˜ao podemos redefinir os eixos de coordenadas para descrever cada onda. A forma

mais geral de uma onda plana se propagando numa direc¸ ˜ao qualquer kˆ, entretanto, ´e bastante simples. Basta notarmos que a coordenada z, que escolhemos na direc¸ ˜ao de

∆x

∆z

z

I

ˆk

E(t+z/c)

B(t+z/c)

ˆk

E(t−z/c)

B(t−z/c)

I

z

y

x

Figura 4.3: Um plano infinito pelo qual flui uma corrente distribu´ıda uniformemente.

direc¸ ˜ao −ˆez do lado esquerdo. Os campos el´etrico e magn´etico em cada ponto e em cada instante tˆem as caracter´ısticas determinadas para qualquer onda eletromagn´etica, como indicado na figura 4.3. A direc¸ ˜ao do campo magn´etico foi determinada pela Lei de Amp`ere. Como indicado na figura, escolhemos escrever a dependˆencia dos campos na forma u = t − z/v. Levando em conta as relac¸ ˜oes que devem ser obedecidas para os campos de uma onda e explicitando as componentes tomamos:

para z > 0 ,

B(r,t) = B 0 (t − z/c)ˆex E(r,t) = −^1 c B 0 (t − z/c)ˆey

e para z < 0 ,

B(r,t) = −B 0 (t + z/c)ˆex E(r,t) = −^1 c B 0 (t + z/c)ˆey

onde a func¸ ˜ao B 0 (u), que por simetria deve ser a mesma para os dois lados do plano, ainda est´a indeterminada. Para determin´a-la vamos aplicar a Lei de Amp`ere-Maxwell na sua forma integral (^) ∮

B·ds = μ 0 I + μ 0  0

∂t

E·dA,

ao circuito esquematizado do lado direito da figura 4.3. Para a circuitac¸ ˜ao do campo magn´etico temos

∮ B · ds = [B 0 (t − (∆z/2)/c) + B 0 (t + (−∆z/2)/c)] ∆x = 2B 0 (t − (∆z/2)/c)∆x.

Do lado direito da Equac¸ ˜ao de Amp`ere-Maxwell temos a corrente que atravessa o cir- cuito, I = I(t)∆x,

e a derivada temporal do fluxo do campo el´etrico, que ainda n˜ao conhecemos. Para resolver o problema fazemos o circuito se fechar no plano, fazendo a sua lar- gura ∆z→ 0. Como a ´area do circuito ∆x∆z vai a zero, o fluxo do campo el´etrico e sua

derivada tamb´em se anulam. Assim, temos:

B 0 (t) =

μ 0 2

I(t),

o que determina a func¸ ˜ao que faltava. Substituindo esta func¸ ˜ao nas express ˜oes (4.10) e (4.11), temos finalmente

para z > 0 ,

B(r,t) = μ 20 I(t − z/c)ˆex E(r,t) = −cμ 2 0 I(t − z/c)ˆey

e para z < 0 ,

B(r,t) = −μ 20 I(t + z/c)ˆex E(r,t) = −cμ 20 I(t + z/c)ˆey

O que isto significa ´e que, num ponto qualquer do espac¸o num instante t, o campo magn´etico ´e determinado, n˜ao pela corrente que flui no instante t, mas pela corrente que flu´ıa no plano num instante anterior t′^ = t − |z|/c. Ou seja, a informa¸c˜ao de que pelo plano flui uma determinada corrente se propaga no espac¸o com a velocidade da luz, c. Vamos ver o que acontece num caso espec´ıfico. A densidade de corrente no plano ´e nula at´e o instante t = 0, em que passa a ter um valor constante I 0. Num instante pos- terior t 0 a corrente ´e desligada e volta a ser nula. A func¸ ˜ao que descreve esta densidade de corrente em func¸ ˜ao do tempo ´e

I(t) =

0 , para t < 0 , I 0 , para 0 ≤ t ≤ t 0 , 0 , para t > 0.

Basta substituir esta func¸ ˜ao nas express ˜oes (4.12) e (4.13) para obtemos os campos em func¸ ˜ao da posic¸ ˜ao e do tempo. Nestas express ˜oes o argumento da func¸ ˜ao I e um´ instante de tempo anterior que pode ser expresso como t′^ = t − |z|/c. Vamos primeiro considerar um instante de tempo em que a corrente est´a ligada, ou seja um instante t tal que 0 ≤ t ≤ t 0. H´a duas situac¸ ˜oes dependentes de z.

• Para pontos no espac¸o tais que |z| > ct, t′^ < 0 e I(t′) = 0; em toda esta regi˜ao o campo eletromagn´etico ainda ´e nulo.
• para pontos no espac¸o tais que |z| < ct, t′^ > 0 e I(t′) = I 0 , e o campo eletro- magn´etico j´a se estabeleceu.

O resultado est´a indicado no topo da figura 4.4. Toda a regi˜ao entre z = −ct e z = +ct cont´em campos el´etricos e magn´eticos uniformes nas direc¸ ˜oes indicadas cujos m ´odulos s˜ao, B = μ 0 I 0 / 2 e E = cμ 0 I 0 / 2. Al´em da distˆancia ct do plano, o campo eletro- magn´etico permanece nulo. As fronteiras que limitam a regi˜ao de campo n˜ao nulo avanc¸a com velocidade c. Consideremos agora um instante posterior ao desligamento da corrente t > t 0. H´a trˆes situac¸ ˜oes a considerar:

• Para pontos no espac¸o tais que |z| > ct, t′^ < 0 e I(t′) = 0; em toda esta regi˜ao o campo eletromagn´etico ainda continua nulo. Nesta regi˜ao ainda n˜ao se sabe que a corrente foi ligada em t = 0.

4.4 Ondas senoidais, ou monocrom´aticas

Vale lembrar que as soluc¸ ˜oes expressas pelas equac¸ ˜oes (4.12) e (4.13) valem qualquer que seja a forma da func¸ ˜ao I(t). Tudo o que temos que fazer ´e tomar, para cada ponto do espac¸o, a corrente no instante anterior t′^ = t − |z|/c. Se tiv´essemos uma corrente oscilando senoidalmente com uma freq ¨uˆencia angular ω, por exemplo,

I(t) = I 0 cos(ωt − φ 0 ),

ter´ıamos I(t′) = I 0 cos(ωt′^ − φ 0 ) = I 0 cos(ω|z|/c − ωt + φ 0 ).

Assim os campos el´etrico e magn´etico num ponto do espac¸o exibiriam o mesmo car´ater oscilat ´orio da corrente fonte. Este tipo de onda ´e muito importante porque as ondas eletromagn´eticas s˜ao pro- duzidas, geralmente, por cargas ou correntes oscilantes. Vamos, ent˜ao, rever algumas propriedades deste tipo de onda. Vamos escrever a forma geral de uma onda plana senoidal se propagando numa direc¸ ˜ao arbitr´aria do espac¸o definida pelo versor de propagac¸ ˜ao kˆ. Com I(t′) dado

acima e substituindo |z| pela forma mais geral ˆk · r temos, para os campos el´etrico e magn´etico de uma onda plana a forma

E(r,t) = E 0 cos

(ω c

kˆ · r − ωt + φ 0

B(r,t) = B 0 cos

(ω c

ˆk · r − ωt + φ 0

onde os vetores constantes E 0 , B 0 e kˆ, como para qualquer onda eletromagn´etica, s˜ao

ortogonais dois a dois e obedecem `a relac¸ ˜ao E 0 = cB 0 × kˆ. A grandeza ω/c tem di- mens˜ao de inverso de comprimento. A partir dela podemos definir uma grandeza vetorial denominada vetor de onda como

k =

ω c

ˆk.

Com esta definic¸ ˜ao as func¸ ˜oes de onda s˜ao escritas de maneira mais compacta,

E(r,t) = E 0 cos (k · r − ωt + φ 0 ) (4.14) B(r,t) = B 0 cos (k · r − ωt + φ 0 ) , (4.15)

com a condic¸ ˜ao ω = kc. (4.16)

Esta equac¸ ˜ao entre o m ´odulo do vetor de onda, k = |k|, e a freq ¨uˆencia angular ω e deno-´ minada rela¸c˜ao de dispers˜ao. Esta ´e a forma que ela assume para ondas eletromagn´eticas se propagando no v´acuo. Existem duas periodicidades associadas a ondas senoidais. O per´ıodo temporal, dado por

T =

2 π ω

f

e o m´´ ınimo intervalo de tempo em que se repetem os valores dos campos num mesmo ponto do espa¸co. O inverso deste per´ıodo, f = ω/ 2 π e a´ freq ¨uˆencia da onda. Para um ins- tante fixo de tempo, a onda ´e peri ´odica tamb´em espacialmente. Os valores dos campos se repetem quando se caminha na direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao, dada por k. O per´ıodo espa- cial ´e denominado comprimento de onda e ´e dado por

λ =

2 π k

Note que k desempenha para o espac¸o o mesmo papel que ω desempenha para o tempo. Como o espac¸o ´e tri-dimensional, entretanto, o vetor de onda k tamb´em in- forma sobre a direc¸ ˜ao e sentido de propagac¸ ˜ao da onda. Em termos da freq ¨uˆencia e do comprimento de onda a relac¸ ˜ao de dispers˜ao se expressa na forma

λf = c.

O denominado espectro eletromagn´etico (ver, por exemplo a sec¸ ˜ao 24.7 do livro texto) nada mais ´e do que uma atribuic¸ ˜ao de nomes a diferentes faixas de freq ¨uˆencia (ou comprimento de onda). Esta classificac¸ ˜ao leva em conta, de um lado, que a resposta da mat´eria sob a ac¸ ˜ao dos campos el´etrico e magn´etico de uma onda dependem da sua freq ¨uˆencia de oscilac¸ ˜ao. Outro aspecto envolvido ´e que diferentes tipos de fontes geram ondas eletromagn´eticas com diferentes faixas de freq ¨uˆencia. Uma regi˜ao especial do espectro ´e a faixa do vis´ıvel, em que ocorre o que chamamos de luz. Ela cont´em as freq ¨uˆencias na faixa aproximada de 4 × 1014 Hz at´e 8 × 1014 Hz, que correspondem a comprimentos de onda na faixa 0 , 4 μm < λ < 0 , 8 μm. N˜ao existe nada especial neste tipo de radiac¸ ˜ao eletromagn´etica, a n˜ao ser o fato de que o olho humano e capaz de detect´´ a-la, donde o termo vis´ıvel. As diferentes freq ¨uˆencias da luz nesta faixa s˜ao traduzidas pelo nosso c´erebro como cores diferentes. Os extremos s˜ao o vermelho, de freq ¨uˆencia mais baixa e, portanto, com o maior comprimentos de onda, e o violeta, de freq ¨uˆencia mais alta e menor comprimento de onda. Assim, uma radiac¸ ˜ao com uma unica freq ¨´ uˆencia se traduz numa cor ´unica. Da´ı a denominac¸ ˜ao de monocrom´atica (do grego chroma=cor) para uma onda senoinal pura. Esta denominac¸ ˜ao, embora derivada da luz vis´ıvel, pode ser utilizada qualquer que seja a faixa do espectro, vis´ıvel ou n˜ao.^3

(^3) Note que neste par´agrafo utilizamos diversos termos para significar a mesma coisa: onda eletro- magn´etica, luz, radiac¸ ˜ao eletromagn´etica. Vocˆe vai encontrar termos como luz vis´ıvel (soa redundante), luz ultravioleta, luz infravermelha (parece contracenso, porque s˜ao invis´ıveis). Em todos os casos a palavra luz pode ser substitu´ıda por radia¸c˜ao, ou onda.

Ou seja, derivar uma tal func¸ ˜ao em relac¸ ˜ao ao tempo se resumo em multiplic´a-la por −iω, e em relac¸ ˜ao a uma coordenada se resume a multiplic´a-la for ikj , onde kj e a´ componente do vetor de onda k na direc¸ ˜ao correspondente. Estes resultados pode ser representados atrav´es das associac¸ ˜oes:

∂ ∂t

≡ −iω e ∇ ≡ ik.

para as derivadas de func¸ ˜oes do tipo representado pelas equac¸ ˜oes (4.17) ou (4.18). As operac¸ ˜oes divergente e rotacional de um campo vetorial senoidal F se traduzem em

∇·F = ik · F e ∇×F = ik × F.

Vamos reescrever as Equac¸ ˜oes de Maxwell no v´acuo para este tipo de onda. As leis de Gauss (4.1) e (4.2) ficam

k · E = 0, (4.19) k · B = 0, (4.20)

de onde segue que tanto E quanto B s˜ao perpendiculares a direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao, que e a mesma do vetor de onda´ k. As leis de Faraday (4.3) e Ampere-Maxwell (4.4) ficam (suprimindo o fator comum i que aparece nos dois membros das equac¸ ˜oes):

k × E = ωB (4.21) k × B = −

ω c^2

E, (4.22)

que mostram que E e B s˜ao perpendiculares entre si. Tomemos o produto vetorial por k dos dois membros da lei de Faraday:

k × (k × E) = ωk × B

Lembrando a identidade A×(B×C) = B(A·C) − C(A·B),

k × (k × E) = k(k · E) − E(k · k) = −k^2 E,

e usando k × B como dado pela lei de de Amp`ere-Maxwell, obtemos

k^2 E =

ω^2 c^2

E,

o que implica na relac¸ ˜ao de dispers˜ao

ω = kc,

como hav´ıamos obtido anteriormente (4.16). Levada `as equac¸ ˜oes (4.21) ou (4.22), isto conduz a |E| = c|B|,

a relac¸ ˜ao entre os m ´odulos dos campos el´etrico e magn´etico de qualquer onda eletro- magn´etica.

4.5 Energia e momento linear das ondas eletromagn´eticas

Todo campo eletromagn´etico est´a associado a uma energia. Como sabemos, esta ener- gia a pode ser representada como armazenada nos pr ´oprios campos el´etrico e magn´etico, distribu´ıda continuamente no espac¸o com densidade volum´etrica dada por

u =

E^2 +

2 μ 0

B^2. (4.23)

Como uma onda eletromagn´etica se constitui de um campo eletromagn´etico se pro- pagando no espac¸o, ela transporta, tamb´em energia. Como, no v´acuo, E = cB e μ 0  0 = 1/c^2 temos que

uE =

E^2 =

2 μ 0

B^2 = uB.

Ou seja, as densidades de energia el´etrica e magn´etica s˜ao idˆenticas numa onda eletro- magn´etica.

4.5.1 O vetor de Poynting

O movimento da energia associada ao campo eletromagn´etico pode ser representado de maneira detalhada atrav´es de uma densidade de corrente de energia (an´aloga `a densi- dade de corrente el´etrica). O vetor que a representa ´e denominado vetor de Poynting e e definido como´

S =

μ 0

E × B. (4.24)

A sua definic¸ ˜ao se aplica a qualquer campo eletromagn´etico, mas o seu significado ´e mais facilmente compreendido para as ondas eletromagn´eticas. Vamos computar S para uma onda eletromagn´etica. Segue das propriedades dessas ondas que o produto

vetorial E × B aponta na direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao ˆk. Como os dois vetores s˜ao perpen- diculares o modulo do produto ´e simplesmente o produto dos m ´odulos, e temos

S =

μ 0

EBˆk.

Como E = cB podemos reescrever o m ´odulo de S nas formas

S = c 0 E^2 = c

μ 0

B^2 =

E^2 +

2 μ 0

B^2

c = uc.

Definindo o vetor velocidade c = cˆk, temos

S = uc.

O vetor de Poynting para uma onda eletromagn´etica ´e a densidade de energia multi- plicada pela velocidade de propagac¸ ˜ao. Note a similaridade entre a forma de S e a da densidade de corrente el´etrica associada a uma densidade de carga ρ se movendo com velocidade v, J = ρv. Assim, o vetor de Poynting representa a energia que atravessa uma ´area unit´aria, perpendicular `a direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao, por unidade de tempo. Ou seja, o fluxo de potˆencia por unidade de ´area na direc¸ ˜ao de propagac¸ ˜ao.