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Notas de Aula 1

Campo El´etrico, Polariza¸c˜ao e

Deslocamento El´etrico

Prof. Aluisio Neves Fagundes 1 ◦^ semestre de 2006

Notas revistas por:

Profa. M´arcia C. A. Fantini

Prof. Valdir Bindilatti

Vetores Campo El´etrico, Polariza¸c˜ao e

Deslocamento El´etrico

A introduc¸ ˜ao de uma lˆamina de diel´etrico no interior de um capacitor plano isolado, que apresenta uma diferenc¸a de potencial V 0 entre seus terminais, provoca uma redu¸c˜ao da diferenc¸a de potencial de um fator κ, denominado constante diel´etrica, que ´e carac- ter´ıstico do diel´etrico. Como

V =

E · dS = EL (1.1)

onde L e a separac´ ¸ ˜ao entre as armaduras do capacitor, temos que o campo el´etrico no interior do capacitor fica tamb´em reduzido do mesmo fator, ou seja

V =

V 0

κ

⇔ E =

E 0

κ

Com o capacitor isolado, a carga armazenada nas armaduras ´e a mesma (Q 0 ), e a ca- pacitˆancia fica

C =

Q 0

V

Q 0

(V 0 /κ)

= κ

Q 0

V 0

= κ C 0 , (1.2)

ou seja, aumenta pelo mesmo fator κ. Como isto acontece? Com que mecanismos a mat´eria responde `a presenc¸a do campo el´etrico para apresentar tais conseq ¨uˆencias?

1.1 Polariza¸c˜ao num diel´etrico

Vamos olhar a mat´eria a n´ıvel microsc ´opico, procurando as respostas. Numa primeira vis˜ao, vamos olhar para mol´eculas apolares, isto ´e, mol´eculas que, na ausˆencia de cam- pos el´etricos, tˆem os centros das cargas positivas e negativas coincidentes (Fig. 1.1). Quando um campo el´etrico ´e aplicado, a mol´ecula responde a este campo. A forc¸a sobre as cargas positivas ´e na direc¸ ˜ao do campo, enquanto que a forc¸a sobre as cargas negativas tem o sentido oposto. Sob a ac¸ ˜ao dessas forc¸as opostas, a mol´ecula se de- forma ligeiramente adquirindo um momento de dipolo el´etrico. Sejam +q e −q as cargas positivas e negativas totais da mol´ecula e d a distˆancia entre seus centros. O momento de dipolo el´etrico, p, ´e um vetor com m ´odulo qd, direc¸ ˜ao da reta que une os centros das cargas e sentido da carga negativa para a carga positiva:

p = qd. (1.3)

∆QP = σP ∆A

P

ρ = ρ− = −nq

ρ = ρ+ = nq

ρ = ρ− + ρ+ = 0

d

d

− − − − − − − − − − −

• • • • • • • • • • +

Figura 1.2: Distribuic¸ ˜ao de carga numa placa diel´etrica uniformemente polarizada. A distˆancia d foi exagerada para maior clareza.

P, e se denomina polariza¸c˜ao el´etrica. Tomemos um volume dV que seja infinitesimal do ponto de vista macrosc ´opico, mas que contenha um grande n ´umero de dipolos moleculares. A polarizac¸ ˜ao em qualquer ponto r dentro do volume dV e definida de´ tal forma que o produto PdV resulte no momento de dipolo el´etrico total dp contido dentro do volume dV , ou seja:

P(r)dV =

i(dV )

pi = dp. (1.4)

A soma vetorial indicada ´e sobre todos os momentos moleculares pi dentro do volume infinitesimal, resultando no momento de dipolo el´etrico total dentro dele. Para ilustrar, suponha um material diel´etrico formado por n mol´eculas por unidade de volume, uniformemente polarizado. Todas as mol´eculas tˆem o mesmo momento de dipolo, ou seja pi = qd. Assim, o momento total dentro de um volume qualquer dV , dentro do diel´etrico, ´e o n ´umero de mol´eculas no seu interior multiplicado pelo momento de cada uma, ou seja dp = ndV qd. Neste caso vemos que o vetor polarizac¸ ˜ao e´ P(r) = nqd (1.5)

para qualquer ponto r no interior do diel´etrico. Para entender melhor a situac¸ ˜ao, vamos descrever a distribuic¸ ˜ao de carga corres- pondente a esta polarizac¸ ˜ao uniforme de uma maneira alternativa. Podemos modelar a distribuic¸ ˜ao de carga pela superposic¸ ˜ao de duas distribuic¸ ˜oes de carga uniformes: a das cargas positivas ρ+ = +nq e a das cargas negativas ρ− = −nq. Quando as mol´eculas est˜ao relaxadas (nenhum campo el´etrico atuando sobre elas) a superposic¸ ˜ao das duas distribuic¸ ˜oes de carga se anula identicamente, e a densidade total de carga e nula (tanto dentro quanto fora do diel´´ etrico) como era de se esperar. Quando o diel´etrico est´a polarizado as distribuic¸ ˜oes de carga se encontram deslocadas relati- vamente, da distˆancia d. A distribuic¸ ˜ao de carga resultante est´a esquematizada na Figura 1.2 para um diel´etrico em forma de placa, com a polarizac¸ ˜ao uniforme P per- pendicular `as suas faces. Notamos que a densidade de carga total ´e nula no interior do diel´etrico, mas n˜ao nas duas lˆaminas de espessura d nas duas faces perpendiculares a P. As cargas n˜ao nulas decorrentes da polarizac¸ ˜ao de diel´etricos s˜ao denominadas car- gas de polariza¸c˜ao. No caso de polarizac¸ ˜ao uniforme, cargas de polarizac¸ ˜ao s ´o aparecem na superf´ıcie dos diel´etricos.

Vamos obter a carga de polarizac¸ ˜ao ∆QP dentro do volume delimitado pela su- perf´ıcie tracejada indicada na figura. A superf´ıcie intercepta um volume d×∆A da regi˜ao da face superior do diel´etrico onde a densidade de carga ´e ρ = nq. Assim, a carga de polarizac¸ ˜ao dentro da superf´ıcie fechada ´e

∆QP = ρd∆A = nq∆A = P ∆A.

Vocˆe pode verificar que este resultado ´e completamente equivalente a:

∆QP = −

P · dA, (1.6)

ou seja, a carga de polarizac¸ ˜ao num volume limitado por uma superf´ıcie fechada ´e o ne- gativo do fluxo do vetor polarizac¸ ˜ao atrav´es da superf´ıcie. Esta ´ultima express˜ao ´e geral e vale em qualquer situac¸ ˜ao, n˜ao apenas para o caso de polarizac¸ ˜ao uniforme. Quando a polarizac¸ ˜ao n˜ao ´e uniforme (varia ao longo do volume do diel´etrico) esta express˜ao indica que, al´em de cargas superficiais, pode haver tamb´em cargas de polarizac¸ ˜ao no interior do diel´etrico. Como a distˆancia d e sub-microsc ´´ opica, ´e conveniente tratar as cargas de polarizac¸ ˜ao superficiais utilizando uma densidade superficial de carga, σP definida de forma que dQP = σdA. No exemplo da placa teremos:

σP = ρd = ±nqd = ±np 0 = ±P,

com os sinais positivo e negativo correspondendo as placas superior e inferior, respec- tivamente. A express˜ao acima ´e um caso particular da express˜ao geral para σP que vale para uma orientac¸ ˜ao qualquer da polarizac¸ ˜ao em relac¸ ˜aoa superf´ıcie do diel´etrico, que pode ser obtida da aplicando-se a Eq.(1.6):

σP = P · ˆn. (1.7)

Aqui ˆn ´e o versor perpendicular `a superf´ıcie do diel´etrico apontando para fora. Verifique como, no exemplo da placa, isto resulta em σP = +P na face superior, σP = −P na face inferior, e σP = 0 nas quatro faces laterais do diel´etrico.

1.2 Campos el´etricos num capacitor com diel´etrico

At´e aqui vimos como conhecendo P, a polarizac¸ ˜ao de um diel´etrico, podemos obter a distribuic¸ ˜ao das cargas de polarizac¸ ˜ao. O que falta ´e, assim, poder prever qual ser´a a polarizac¸ ˜ao de um diel´etrico. O que caracteriza um material diel´etrico ´e o fato de que os momentos de dipolo moleculares induzidos e, portanto, a pr ´opria polarizac¸ ˜ao P s˜ao proporcionais ao campo el´etrico sobre as mol´eculas. Isto pode ser expresso em termos da relac¸ ˜ao P(r) = χe 0 E(r), (1.8)

onde χe, a susceptibilidade el´etrica, ´e um parˆametro adimensional que ´e caracter´ıstico do material. Em eletrost´atica χe e uma constante para cada material.´ (Sob campos

E = E 0 + EP

E 0 EP

+Q 0

−Q 0 − − − − − − − − − − − − − − − −

+ + + + + + + + + + + + + + + +−QP

+ + + + + + + + + + + +QP

− − − − − − − − − − −

Figura 1.3: Cargas e campos num capacitor com diel´etrico. As cargas livres ±Q 0 nos eletrodos s˜ao a fonte do campo E 0. As cargas de polariza¸c˜ao ±QP na superf´ıcie do diel´etrico s˜ao a fonte do campo EP. E e o campo resultante no interior do capacitor que determina a polarizac´ ¸ ˜ao P do diel´etrico.

A constante diel´etrica

O problema est´a resolvido e o resultado mostra que, para uma dada carga livre Q 0 nas placas, o campo el´etrico no interior do capacitor com diel´etrico ´e reduzido em relac¸ ˜ao ao campo do capacitor em v´acuo devido `a polarizac¸ ˜ao do diel´etrico. O fator de reduc¸ ˜ao

κ = 1 + χe

e a ´ constante diel´etrica do material. Tendo obtido o campo resultante, a polarizac¸ ˜ao segue da Eq. (1.8)

P = χe 0 E =

χe κ

σ 0 ˆz,

que resulta para as cargas de polarizac¸ ˜ao (com χe = κ − 1 )

σP = P =

κ − 1 κ

σ 0 , ou QP =

κ − 1 κ

Q 0.

1.3 Vetor deslocamento el´etrico

Os resultados anteriores foram obtidos no caso particular do capacitor de placas pa- ralelas. Em capacitores com outra geometria, as relac¸ ˜oes entre os campos el´etricos e as cargas livres ou de polarizac¸ ˜ao ser˜ao diferentes. Em qualquer outra geometria que n˜ao esta, os campos el´etricos e as polarizac¸ ˜oes, n˜ao ser˜ao uniformes, mas ter˜ao uma dependˆencia espacial ditada pela configurac¸ ˜ao das placas do capacitor. Entretanto, se o espac¸o entre as placas de um capacitor qualquer estiver completamente preenchido com um ´unico diel´etrico de constante κ, o resultado ser´a o mesmo, ou seja: para uma

 0 E P D^ =^  0 E 0 +^ P

+Q 0

−Q 0 − − − − − − − − − − − − − − − −

+ + + + + + + + + + + + + + + +−QP

+ + + + + + + + + + + +QP

− − − − − − − − − − −

ds

c

dA S

Figura 1.4: Lei de Gauss na presenc¸a de diel´etrico polarizado.

dada carga livre nas placas do capacitor, o campo el´etrico resultante entre elas ser´a E(r) = (^) κ^1 E 0 (r). Vamos ver porque isto acontece. Vamos aplicar a lei de Gauss a uma superf´ıcie que contenha em seu interior tanto cargas livres quanto cargas de polarizac¸ ˜ao, como a superf´ıcie S indicada pela linha tracejada da Figura 1.3: ∮

S

E · dA =

QS =

(Qlivre + Qpol).

O campo el´etrico E e o campo resultante em cada ponto da superf´´ ıcie S e a carga QS e a carga total dentro da superf´ ´ ıcie que envolve tanto as cargas livres quanto as cargas de polarizac¸ ˜ao. No caso da superf´ıcie na placa superior do capacitor da Figura 1.3: QS = −Q 0 + QP. Para qualquer caso em que haja um diel´etrico polarizado, a carga de polarizac¸ ˜ao dentro de uma superf´ıcie qualquer ´e determina pela polarizac¸ ˜ao do diel´etrico P, atrav´es pela Eq. (1.6)

Qpol = −

P · dA.

Podemos, ent˜ao, reescrever a Lei da Gauss na forma

S

E · dA = Qlivre −

P · dA,

ou (^) ∮

( 0 E + P) · dA = Qlivre.

Isto mostra que o fluxo da combinac¸ ˜ao vetorial  0 E + P sobre uma superf´ıcie qualquer e determinado apenas pelas´ cargas livres internas `a superf´ıcie. A este vetor obtido da combinac¸ ˜ao de campo el´etrico com polarizac¸ ˜ao el´etrica se d´a o nome de deslocamento el´etrico: D =  0 E + P. (1.9)

1.4 Resumo

(1.6) Qpol = −

S

P · dA (1.7) σpol = P · ˆn

S

E · dA = Qlivre + Qpol

(1.9) D =  0 E + P = E (1.10)

S

D · dA = Qlivre

(1.8) P = χe 0 E (1.11) D = E

 = (1 + χe) 0 = κ 0

1.5 Exemplo

Um capacitor de placas paralelas de ´area A e preenchido com dois diel´´ etricos de constantes κ 1 e κ 2 com espessuras d 1 e d 2 , respectivamente, como mostra a figura ao lado, de forma que a separac¸ ˜ao entre as pla- cas ´e d = d 1 + d 2. Qual ´e a capacitˆancia do sistema?

A

κ 1 d 1

κ 2 d 2

Figura 1.5: Capacitor plano com dois diel´etricos.

Para determinar a capacitˆancia, supomos cargas livres ±Q 0 nos eletrodos, como es- quematizado na Fig. 1.6. Por simetria, estas cargas se distribuem uniformemente nas superf´ıcies internas dos eletrodos. Assim, o vetor deslocamento el´etrico ´e uniforme no interior do capacitor apontando na direc¸ ˜ao da placa com +Q 0 para a placa com −Q 0. Nesta geometria, a lei de Gauss para o vetor D aplicada `as superf´ıcies S 1 ou S 2 indica- das na figura, resulta que o vetor deslocamento el´etrico ´e o mesmo nos dois diel´etricos.

+Q 0

−Q 0 −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

S 2

S 1

σ = +Q 0 /A

σ = −Q 0 /A

D

d 1

d 2

Figura 1.6: Vetor deslocamento el´etrico D no capacitor plano com dois diel´etricos. Nesta geometria, D e determinado apenas´ pelas cargas livres Q 0.

E 1 = (^) ^11 D

+Q′ 1

−Q′ 1

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

− E 2 = (^) ^12 D +Q

′ 2 −Q′ 2

−

−

−

−

−

−

−

−

+Q 0 −

−Q 0 −

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

−

S 2

S 1

Figura 1.7: Campo el´etrico no capaci- tor plano com dois diel´etricos. As car- gas de polarizac¸ ˜ao Q′^ nas superf´ıcies dos diel´etricos tamb´em est˜ao indicadas.

Explicitamente:

D 1 = D 2 = D =

Q 0

A

= σ 0.

Na Fig. 1.6 o vetor D est´a representado por linhas de forc¸a. Como D = E = κ 0 E, o campo el´etrico ´e diferente em cada diel´etrico, ou seja

E =

E 1 =

D

κ 1

Q 0

 0 A

, no diel´etrico 1

E 2 =

D

κ 2

Q 0

 0 A

, no diel´etrico 2.

• O campo el´etrico, de D = E, resulta

E 1 =

κ 1

D

= 2, 88 × 106 V/m, no poliestireno e

E 2 =

κ 2

D

= 1, 12 × 106 V/m, no neopreno.

Para comparac¸ ˜ao, os valores da rigidez diel´etrica dos dois materiais s˜ao 24 × 106 V/m e 12 × 106 V/m, respectivamente. Se o capacitor tivesse ar entre suas placas, com C 0 = 17,7 pF, a tens˜ao necess´aria para obter a mesma carga livre Q 0 = 6,63 nC seria V 0 = Q 0 /C 0 = 374 V. O campo el´etrico entre as placas seria seria E 0 = D/ 0 = V 0 /d = 7, 49 × 106 V/m, acima da rigidez diel´etrica do ar que ´e de 3 × 106 V/m, e o capacitor n˜ao suportaria a tens˜ao aplicada. Com uma tens˜ao V = 100 V o campo el´etrico seria E = V /d = 2 , 00 × 106 V/m, com uma carga livre de apenas Q 0 = C 0 V = 1,77 nC.