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Números complexos
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Texto de Elon Lages Lima
Um número complexo tem a forma a+ib, ou a+bi, onde a e b são números reais e a
“unidade imaginária” i é um novo número, tal que i2 = 1. Por isso às vezes se escreve i =
1
.
Os números complexos surgiram a fim de tornar possível a raiz quadrada de um numero
negativo. Por exemplo:
9
= 3i. Consequentemente, toda equação do segundo grau passou
a ter raízes. Por exemplo: x2 – 2x + 5 = 0 possui raízes complexas 1+2i e 1- 2i.
Mais notável (e inesperado) é que, quando se acrescentou aos números reais o
número i, de modo que passassem a existir as raízes i da equação x2 + 1= 0, não foi mais
necessário inventar novos números para que tivessem raízes todas as demais equações
algébricas, sejam quais fossem seu graus. Com efeito, o chamado “Teorema Fundamental da
Álgebra”, cuja demonstração se deve inicialmente a Euler e d’Alembert e posteriormente, a
Gauss, diz que, dado qualquer polinômio
01
( ) ... n
n
p z a a z a z
, existem números
complexos
12
, ,..., n
r r r
tais que
0 1 2
( ) ( )( )...( )
n
p z a z r z r z r
Segue-se daí que
12
( ) 0, ( ),..., ( ) 0
n
p r p r p r
, isto é, os números complexos
12
, ,..., n
r r r
são as raízes da equação algébrica
( ) 0pz
.
Assim, os números complexos, introduzidos em Matemática para que tivessem raízes
algébricas do segundo grau, são suficientes para dotarem de raízes as equações do terceiro,
quarto, quinto, e todos os demais graus.
Este fato somente já é responsável, em boa parte, pela relevância dos números
complexos, indispensáveis em Álgebra Linear, Equações Diferenciais e em várias situações
nas quais, mesmo que se desejem estudar apenas questões relativas a números reais, é
indispensável considerar números complexos para se obter a solução real desejada.
Um exemplo do fenômeno acima mencionado, aliás, já havia ocorrido na Renascença,
nos trabalhos dos algebristas italianos Ferro, Tartaglia, Cardano e Ferrari, que culminaram com
a descoberta das fórmulas de resolução das equações de terceiro e quarto grau.
A fórmula da equação do terceiro grau envolve raízes quadradas e cúbicas. Cardano
notou que algumas equações do terceiro grau tem as 3 raízes reais, mas na fórmula que as
fornece ocorrem raízes quadradas de números negativos. Assim, para chegar a essas raízes, é
preciso primeiro passar pelos números complexos. Hoje em dia, já se sabe (é um teorema) que
se os coeficientes de uma equação do terceiro grau são números inteiros e as 3 raízes são
números reais irracionais, então é impossível exprimir essas raízes por meio de fórmulas nas
quais os coeficientes são submetidos a operações algébricas e radicais, sem que em lugar
apareça a raiz quadrada de um número negativo.
Não se julgue, entretanto, que a importância dos números complexos resulta apenas
do Teorema Fundamental da Álgebra. Eles se fazem presentes em praticamente todos os
grandes ramos da Matemática como Álgebra, Teoria dos Números, Topologia, Geometria
(Analítica, Diferencial ou Algébrica), Análise, Equações Diferenciais e em aplicações como
Física Matemática, Dinâmica dos Fluidos, Eletromagnetismo, etc. A Teoria das Funções de
Variável Complexa é uma área nobre, de grande tradição matemática e, ao mesmo tempo, com
notável vitalidade, refletida na intensa atividade de pesquisa que se desenvolve nos dias
atuais.
LIMA, Elon Lages. Meu Professor de Matemática e outras histórias. Sociedade Brasileira de
Matemática.1991.
