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NÚMEROS COMPLEXOS EM
ELETRÔNICA
É uma forma na qual se inclui ângulo de fase e magnitude de uma ou mais grandezas. Uma expressão complexa compreende uma parte real e uma parte imaginária, conforme mostra a figura abaixo.
j é um operador que varia de 0º a 360º, em ângulos de 90º. O ângulo de 90º é de grande importância na análise de circuitos AC.
- 4 indica 4 unidades a 180º
- j 4 indica 4 unidades a 90º
Como j é um operador a 90º, isto significa que em 180º ele é repetido 2 vezes, em 270º é repetido 3 vezes e assim por diante.
RESUMINDO
90º = + j
180º = j^2 = - 1
270º = j
3
= j
2
. j = - 1. j = - j
A expressão complexa deve ser escrita da seguinte forma: parte real ± parte complexa onde j é sempre escrito antes do número. Exemplo:
4 ± j 2
RELAÇÃO DO FASOR COM A FORMA RETANGULAR
3 representa um número real ( neste caso uma resistência de valor igual a 3Ω); o ângulo de 90º ou + j é usado para representar XL (4Ω);
portanto: Z = 3 + j 4
como no caso anterior, 3 representa uma resistência no valor de 3 Ω; o ângulo de - 90º ou - j é usado para representar XC (4Ω);
portanto: Z = 3 - j 4
Podemos então representar circuitos na forma complexa retangular conforme exemplos abaixo:
Z
2
= R
2
+ XL
2
Z = 8 + j 5
Z
2
= R
2
+ XC
2
Z = 10 - j 6
IT
2
= IR
2
+ IC
2
IT = 1 + j 3
IT
2
= IR
2
+ IL
2
IT = 1 - j 3
O operador j indica uma relação de fase diferente de zero entre a parte real e a parte imaginária. Tomemos como exemplo impedâncias:
II - MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE UM NÚMERO
IMAGINÁRIO ( termo j ) POR UM NÚMERO REAL
Basta multiplicar ou dividir, conforme exemplos abaixo:
a) 4. j 3 = j (^12) d) j 12 ÷ 3 = j 4 g) j 3 ÷ 4 = j 0, b) j 5. 6 = j (^30) e) - j 30 ÷-6 = j 5 h) 1,5. j 2 = j 3 c) j 5. -6 = - j (^30) f) j 30 ÷ -6 = - j 5 i) 4. j 0,75 = j 3
III - DIVISÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM NÚMERO
IMAGINÁRIO ( divisão de um termo j por um termo j )
A divisão produzirá um número real ( as partes imaginárias ou os termos j se cancelarão), conforme exemplos abaixo:
a) j 12 ÷ j 3 = 4 c) - j 12 ÷ j 3 = - 4 e) - j 30 ÷ - j 5 = 6 b) j 30 ÷ j 5 = 6 d) j 30 ÷ - j 6 = - 5 f) - j 15 ÷ - j 3 = 5
IV- MULTIPLICAÇÃO DE UM NÚMERO IMAGINÁRIO POR UM
NÚMERO IMAGINÁRIO ( multiplicação de um termo j por um termo
j )
Multiplica-se o número e o operador j. A multiplicação dos termos j produzirá j^2. Veja os exemplos abaixo:
a) j 3. j 4 = j. j = j^2 = j^2 (3. 4) = -1(12) = -
b) j 3. - j 4 = j. - j = - j^2 (3. 4) = -(-1)(12) = 12
V - MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
Basta seguir as regras da álgebra (propriedade distributiva), conforme mostra o exemplo abaixo:
a) (9 + j 5). (3 - j 2)
= 27 + j 15 - j 18 - j^2 10 observe que j^2 = - = 27 - j 3 + 10 = 37 - j 3
VI - DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS
A divisão de um número real por um número complexo não é possível.
Consideremos a expressão: 1 2
j
j
O numerador contém um número real, que é 4 e o denominador é formado por um número complexo: 1 + j 2, tornando impossível a operação. Para concretizar a operação torna-se necessário racionalizá-la, bastando para isso multiplicar o numerador e o denominador pelo conjugado do denominador. O conjugado do denominador é 1 - j 2 (basta trocar o sinal). Teremos então:
j j
j j
2
2
j
j j + j
1 4
j
5
2 - j 9 = 0,4 - j 1,
MAGNITUDE E ÂNGULO DE UM NÚMERO COMPLEXO
“REPRESENTAÇÃO POLAR E RETANGULAR DE UM NÚMERO COMPLEXO
CONVERSÕES RETANGULAR/POLAR - POLAR/RETANGULAR”
Veja a figura abaixo:
Em termos elétricos, uma impedância complexa 4 + j 3 significa 4Ω de resistência elétrica e 3Ω de reatância indutiva. Lembrar que, a impedância 4 + j 3 está escrita na forma retangular.
A impedância é o resultado de: Z = 2 L R 2 + X ou Z^2 = R^2 + X L 2
Z = 4 2 + 32 = 16 + 9 = 25 = 5Ω
O ângulo de fase θ é o arco tangente (arctan) da relação entre XL e R.
Portanto: θ = arctan R
XL
Desta forma, a impedância complexa pode ser escrita da seguinte maneira:
4 + j 3 Ω - forma retangular
- forma polar EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Para a expressão: 0 - j 5, a expressão na forma polar será:
Quando um número complexo é formado por uma parte imaginária igual a zero, como por exemplo: 5 + j 0, a expressão na forma polar será:
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA
POLAR
I - REAL x POLAR
a)
b)
II - POLAR x POLAR
Na multiplicação de números complexos (polar x polar) os ângulos são somados algebricamente, conforme mostra os exemplos abaixo:
a)
b)
c)
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR
I - POLAR ÷÷÷÷ REAL
a)
b)
c)
II - POLAR ÷÷÷÷ POLAR
Na divisão de números complexos na forma polar (polar ÷ polar) os ângulos são subtraídos algebricamente, conforme mostra os exemplos a seguir:
a)
b)
c)
III - REAL ÷÷÷÷ POLAR
a)
b)
EXERCÍCIOS RESOLVIDOS UTILIZANDO NÚMEROS COMPLEXOS
I - Dado o circuito abaixo:
Calcule as correntes I 1 , I 2 e I 3 ; as impedâncias Z 1 ; Z 2 e Z 3 ; a corrente total (IT) e a impedância total (ZT) nas formas retangular e polar. Solução:
- escrevendo cada ramo de impedância na forma retangular, temos:
Z 1 = 50 - j 50 Ω Z 2 = 40 + j 30 Ω Z 3 = 30 + ( j 110 - j 70) = 30 + j 40 Ω
- convertendo cada ramo de impedância na forma polar, temos:
Z 1 = 502 + (-50)^2 = 70,7 θ = arctan 50
Z 2 = 40 2 + 302 = 50 θ = arctan 40
Z 3 = 302 + 402 = 50 θ = arctan 30
Solução:
- Calculando a impedância total na forma retangular:
ZT = 2 + j 4 + 4 - j 12 6 - j 8 Ω
- Convertendo a impedância total na forma polar:
ZT = 62 + (-8)^2 = 10 arctan 6
ZT =
- Calculando a corrente total na forma polar:
IT = VT / IT
- Calculando a tensão em cada componente:
VR1 =
VL =
VC =
VR2 =
OBS: Como o operador j representa o ângulo de 90º, na forma polar a reatância indutiva (XL) assume o ângulo de 90º ; a reatância capacitiva XC assume o ângulo - 90º e a resistência assume o ângulo de 0º.
- Desenhando o fasor do circuito para as tensões e a corrente, onde alguns aspectos devem ser observados:
a) O ângulo de 53º para VR1 e VR2 mostra que as tensões nestes dois componentes estão em fase com a corrente.
b) A tensão nos resistores está adiantada 53º em relação a VT enquanto que a tensão no capacitor está atrasada 37º.
c) A tensão no indutor está adiantada 143º em relação a VT (90º + 53º).
d) A relação de fase entre as tensões no capacitor e indutor é de 180º.
- Comprovando:
OBS: a soma das tensões de cada um dos componentes deverá nos dar a tensão aplicada na entrada.
Convertendo cada tensão para a forma polar:
VR1 = = 2,407 +^ j 3,196V VR2 = = - 6,389 +^ j 4,814V VC = = 19,167 -^ j 14,444V VL = =^ 4,812 +^ j 6,389V Total da VT = 19,997 + j 0,045V Convertendo a tensão 19,997 + j 0,045V para a forma polar:
VT = 19,997 2 + 0,045^2 = 399,882 ≅ 20
θ = arctan - R
C V
V
R
XC
Z = R 2 + XC^2 Z =
T
T I
V
IT =
Z
VT
XC =
C
, onde ω = 2 π f XC = 2 C
π f
f = freqüência em hertz C = capacitância em farads
Fasor representando a impedância total ( Z ) de um circuito RC série.
A defasagem entre R e XC é de 90º.
4 - CIRCUITO RC EM PARALELO
IT = I R 2 + IC^2 IR =
R
VT
IC =
C
T X
V
θ = arctan R
C I
I
IT =
Z
VT
Z =
T
T I
V
5 - CIRCUITO RL EM SÉRIE
VT = VR 2 + VL^2 VR^ = R. IT^ VL^ = XL^. IT
θ = arctan R
L V
V
R
XL
XL = ω L, onde ω = 2 π f XL = 2 π f L
f = freqüência em hertz L = indutância em henry
Fasor representando a impedância total ( Z ) de um circuito RL série.
A defasagem entre R e XL é de 90º.
Z = R 2 + XL^2 Z =
T
T I
V
IT =
Z
VT
6 - CIRCUITO RL EM PARALELO
IT = I R 2 + IL^2 Z =
T
T I
V
IT =
Z
VT
θ = arctan - R
L I
I
Z = R 2 +X^2
onde:
X = XL - XC ou X = XC - XL
O fasor para o circuito acima é mostrado a seguir.
Observe que a defasagem entre as tensões do capacitor e do indutor é de 180º, no entanto, entre estes componentes e o resistor é de 90º.
VL = XL. IT
VC = XC. IT
VR = R. IT
VT = VR 2 +VX^2
onde: VX = VL - VC ou VX = VC - VL
Z =
T
T I
V
IT =
Z
VT
θ = arctan R
L C V
V - V
R
X V
V
( VL > VC )
θ = arctan - R
C L V
V - V
R
X V
V
( VC > VL )
θ = arctan R
X L - XC
( XL > XC ) = arctan R
X
θ = arctan - R
X C - XL
( XC > XL ) = -
R
X
10 - CIRCUITO RLC EM PARALELO
IL =
L
T X
V
IC =
C
T X
V
IR =
R
VT
IT = I (^) R 2 + IX^2 onde:
IX = IL - IC ou
IX = IC - IL
O fasor de um circuito RLC em paralelo é mostrado abaixo, onde prevalecem as correntes IC , IL e IR.
θ = arctan - R
L C I
I - I
R
X I
I
( IL > IC )
θ = arctan R
C L I
I - I
R
X I
I
( IC > IL )
Calculando a impedância em um circuito paralelo:
Z =
x^2 y^2
x.y
onde:
x = X (-X )
X .(-X )
L C
L C
y = R
A impedância de um circuito RLC paralelo pode também ser calculada pela fórmula:
CONCLUSÃO: Em um capacitor ou indutor a potência reativa é igual a
potência aparente.
Q = S VAR = VA P =
12 - FATOR DE POTÊNCIA
Fp = VI
VI. cos θ
Fp = Potênciaaparente
Potência real Fp = S
P
Fp = cosθ θ = arctan P
Q (^) Q = P. tanθ
Fator de potência indutivo: motores de indução, indutores, etc.
Fator de potência capacitivo: motores síncronos, banco de capacitores, etc.
Fator de potência para circuitos paralelos: Fp = arccos T
R I
I
Fator de potência para circuitos série: Fp = arccos Z
R
RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO
AC INDUTIVO
Numa indutância: a) a tensão aplicada está adiantada 90º em relação à corrente; b) a FCEM (força contra-eletromotriz) está atrasada 90º em relação à corrente; c) a tensão aplicada à entrada e a FCEM estão 180º defasadas.
CONCLUSÃO: Qualquer circuito AC que contenha apenas indutância apresenta três variáveis importantes: a) tensão aplicada; b) força contra-eletromotriz induzida e c) corrente do circuito.
FCEM: é a voltagem contrária originada num circuito indutivo pela passagem de uma corrente alternada ou pulsativa.
LEI DE LENZ: uma fem (força eletromotriz) produzida pela indução tende a estabelecer uma corrente cujo sentido opõe-se ao campo primitivo que a produziu.
RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO
AC CAPACITIVO
A corrente através do capacitor está adiantada em relação à tensão aplicada ao capacitor de 90º.
Conforme ilustra a figura abaixo, a corrente através do capacitor está defasada de 90º tanto em relação à tensão aplicada como em relação à contra-tensão. Portanto, a corrente está adiantada de 90º em relação à tensão aplicada e atrasada de 90º em relação à contra-tensão.
EFEITOS DA CONTRA-TENSÃO:
- Quando uma fonte de tensão DC é ligada nos extremos de um capacitor, a corrente é máxima quando a tensão da fonte, senoidalmente, começa a crescer a partir do zero, desde que as placas do capacitor estejam neutras (sem carga) e não apresentem forças eletrostáticas opostas.
- Quando a tensão da fonte cresce, as cargas nas placas do capacitor que resultam do fluxo de corrente, aumentam.
- À medida que a carga no capacitor aumenta, resulta numa tensão que se opõe à tensão aplicada, resultando numa diminuição da corrente.
- Quando a tensão da fonte (tensão aplicada) atinge o valor máximo ou valor de pico, o capacitor estará com a máxima carga e máxima tensão apresentando assim uma oposição à tensão aplicada (cargas eletrostáticas opostas), as quais se anulam, resultando então em uma corrente zero.
- Quando a tensão aplicada nos extremos do capacitor começa a decrescer, a carga eletrostática nas placas do capacitor torna-se maior do que o potencial dos terminais da fonte e o capacitor começa a descarregar-se, repetindo assim o processo, porém no sentido inverso.
