números complexos circuitos, Slides de Circuitos Elétricos

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Números Complexos

Coordenadas Retangulares

 Um ponto P de um plano bidimensional é representado em

coordenadas cartesianas (retangulares) a partir de suas projeções

sobre o eixo das abscissas (x) e das ordenadas (y);

P

y

O a x

b P^ =(^ a , b )

Coordenadas Polares

 Para representar um ponto P em coordenadas polares, é necessário

definir apenas um ponto O (pólo) e uma semi-reta com origem em O (eixo polar).

 Desta forma, o ponto P pode ser representado a partir da sua

distância até o pólo ( r ) e do ângulo formado pelo segmento OP e o eixo polar ( θ ). P

O^ Eixo polar

r

θ

P =( r , θ )

P = r ∠ θ

Mudanças de Coordenadas

 Considerando:

 Opólo do sistema polar coincidente com aorigem do plano cartesiano;  Oeixo-polar do sistemas polar coincidente com oeixo das abscissas do plano cartesiano;

r

θ

P

y

O a x

b

a = r ×cos( θ )

b = r × sen ( θ )

r = a^2 + b^2

 

  

=  a

b θ arctg

Exemplos

Os pontos a seguir estão representados em coordenadas

cartesianas (retangulares). Represente estes mesmos

pontos em coordenadas polares:

A = (1,1);

B = (2,-2);

C = (4, 0);

D = (0,-3).

Exemplos

Os pontos a seguir estão representados em coordenadas

polares. Represente estes mesmos pontos em

coordenadas retangulares:

A = 1 90º;

B = -2 30º;

C = 3 -60º;

D = 7 180º;

E = 4 -135º.

∠ ∠ ∠ ∠ ∠ ∠

Números Complexos

Forma Algébrica

 A representação z = a + jb, {a,b} є R é conhecida como form a algébrica de um número complexo, onde:

o a é a parte real do número complexo, ou seja: a = Re{z}; o b é a parte imaginária do número complexo, ou seja: b = Im{z};

Números Complexos

Plano Complexo

r

θ

z = a + jb

Im

O a Re

b

a = r ×cos( θ )

b = r × sen ( θ )

r = a^2 + b^2

 

  

=  a

b θ arctg

z = a + jb z = r ∠ θ

Fórmula de Euler e Forma Exponencial

 A identidade de Euler estabelece que:

Desta forma, o número complexo z = a + jb também pode ser

representado da seguinte forma:

 Esta representação é conhecida como form a ex ponencial de um núm ero com plex o.

e ±^ j θ^^ =cosθ ± jsen θ

z = a + jb = r ∠θ = r ×(cosθ + jsen θ )

Outras Definições

 Número complexo real

z = a + jb, {a,b} є R é real se e somente se b = 0.

 Número complexo imaginário puro

z = a + jb, {a,b} є R é imaginário puro se e somente se a = 0 e b ≠ 0;

 Número complexo conjugado

O conjugado de um número complexo z = a + jb, {a,b} є R é definido como sendo o número complexo (^) z = a + jb

Operações com números complexos

Forma Algébrica

o MULTIPLICAÇÃO

z 1. z 2 = (a + jb). (c +jd) = ac + jad + jbc + j^2 bd ,

mas j^2 = - 1, logo:

z 1. z 2 = (ac-bd) + j(ad + bc)

o DIVISÃO

logo:

( ) ( )

( ) ( c jd )

c jd c jd

a jb z

z z

z z

z 2

2 2

1 2

1 −

× −

= × = +

2 2 2

1 c d

ac bd j bc ad z

z

Propriedades do Conjugado

z = z

2 z × z = z

z = z

z 1 + z 2 = z 1 + z 2

z 1 × z 2 = z 1 × z 2

Operações com números complexos

∠

Forma Polar

∠

o MULTIPLICAÇÃO z 1 .z 2 = [r 1. (cos θ 1 +j sen θ 1 )]. [r 2. (cos θ 2 +j sen θ 2 )]

z 1 .z 2 = (r 1 .r 2 ). [(cos θ 1. cos θ 2 - sen θ 1. sen θ 2 )] + +j (r 1 .r 2 ). [(cos θ 1. sen θ 2 + sen θ 1. cos θ 2 )] , logo: z 1 .z 2 = [(r 1 .r 2 ) cos (θ 1 + θ 2 )] +j [(r 1 .r 2 ) sen (θ 1 + θ 2 )] Passando este resultado para a forma polar: z 1 .z 2 = (r 1 .r 2 ) (θ 1 + θ 2 )

o DIVISÃO z 1 /z 2 = (r 1 /r 2 ) (θ 1 - θ 2 )

o POTENCIAÇÃO z 1 n^ =r 1 n^ ∠( n. θ 1 )