numeros complexos slides, Slides de Circuitos Elétricos

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Números Complexos

Coordenadas Retangulares

◼ Um ponto P de um plano bidimensional é representado em

coordenadas cartesianas ( retangulares) a partir de suas projeções

sobre o eixo das abscissas (x) e das ordenadas (y);

P

y

O a x

b

P =( a , b )

Coordenadas Polares

◼ Para representar um ponto P em coordenadas polares, é necessário

definir apenas um ponto O ( pólo) e uma semi-reta com origem em

O ( eixo polar).

◼ Desta forma, o ponto P pode ser representado a partir da sua

distância até o pólo ( r ) e do ângulo formado pelo segmento OP e o

eixo polar ( θ ).

P

Eixo polar O

r

θ

P =( r , )

P = r 

Mudanças de Coordenadas

◼ Considerando:

◼ O pólo do sistema polar coincidente com a origem do plano cartesiano;

◼ O eixo-polar do sistemas polar coincidente com o eixo das abscissas do plano

cartesiano;

r

θ

P

y

O a x

b

a = r cos( )

b = r  sen ( )

2 2

r = a + b













=

a

b

 arctg

Exemplos

Os pontos a seguir estão representados em coordenadas

cartesianas ( retangulares). Represente estes mesmos

pontos em coordenadas polares :

◼A = (1,1);

◼B = (2,-2);

◼C = (4, 0);

◼D = (0,-3).

Exemplos

Os pontos a seguir estão representados em coordenadas

polares. Represente estes mesmos pontos em

coordenadas retangulares :

◼A = 1 90º;

◼B = - 2 30º;

◼C = 3 - 60º;

◼D = 7 180º;

◼E = 4 - 135º.

     

Números Complexos

Forma Algébrica

◼ A representação z = a + jb, { a, b} є R é conhecida como

forma algébrica de um número complexo, onde:

o a é a parte real do número complexo, ou seja: a = Re{ z};

o b é a parte imaginária do número complexo, ou seja: b = Im{ z};

Números Complexos

Plano Complexo

r

θ

z = a + jb

Im

Re

O a

b

a = r cos( )

b = r  sen ( )

r = a + b













=

a

b

 arctg

z = a + jb

z = r 

Fórmula de Euler e Forma Exponencial

◼ A identidade de Euler estabelece que:

Desta forma, o número complexo z = a + jb também pode ser

representado da seguinte forma:

◼ Esta representação é conhecida como forma exponencial de um

número complexo.

 



e jsen

j

= 



cos

z = a + jb = r  = r (cos + jsen )

Outras Definições

◼ Número complexo real

z = a + jb, { a, b} є R é real se e somente se b = 0.

◼ Número complexo imaginário puro

z = a + jb, { a, b} є R é imaginário puro se e somente se a = 0 e

b ≠ 0;

◼ Número complexo conjugado

O conjugado de um número complexo z = a + jb, { a, b} є R é

definido como sendo o número complexo

∗

= a – jb

Operações com números complexos

Forma Algébrica

o MULTIPLICAÇÃO

z

1

. z

2

= ( a + jb). ( c + jd) = ac + jad + jbc + j

2

bd ,

mas j

2

= - 1, logo:

z

1

. z

2

= ( ac-bd) + j( ad + bc)

o DIVISÃO

logo:

𝑧

1

𝑧

2

=

𝑧

1

𝑧

2

×

𝑧

2

∗

𝑧

2

∗

=

𝑎 + 𝑗𝑏

𝑐 + 𝑗𝑑

×

𝑐 − 𝑗𝑑

𝑐 − 𝑗𝑑

2 2

2

1

c d

ac bd j bc ad

z

z

Propriedades do Conjugado

𝑧

∗ ∗

= 𝑧

𝑧 × 𝑧

∗

= 𝑧

2

𝑧

∗

= 𝑧

𝑧

1

• 𝑧

2

∗

= 𝑧

1

∗

• 𝑧

2

∗

𝑧

1

× 𝑧

2

∗

= 𝑧

1

∗

× 𝑧

2

∗

Operações com números complexos



Forma Polar



o MULTIPLICAÇÃO

z

1

. z

2

= [ r

1

. (cos θ

1

• j sen θ

1

)]. [ r

2

. (cos θ

2

• j sen θ

2

)]

z

1

. z

2

= ( r

1

. r

2

). [(cos θ

1

. cos θ

2

• sen θ

1

. sen θ

2

)] +

• j ( r

1

. r

2

). [(cos θ

sen θ

2

• sen θ

cos θ

2

)] ,

logo:

z

1

. z

2

= [( r

1

. r

2

) cos (θ

1

• θ

2

)] + j [( r

1

. r

2

) sen (θ

1

• θ

2

)]

Passando este resultado para a forma polar:

z

1

. z

2

= ( r

1

. r

2

) (θ

1

• θ

2

)

o DIVISÃO

z

1

/ z

2

= ( r

1

/ r

2

) (θ

1

• θ

2

)

o POTENCIAÇÃO

z

1

n

= r

1

n

( n. θ

1

)

