UNIVERSIDADE DE LISBOA
I
Faculdade de Ciências DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
12 ANO
o
Números Complexos
Armando Machado
2004
REANIMAT
Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Guias e Dicas
Prepare-se para as provas
Estude fácil! Tem muito documento disponível na Docsity
Encontrar documentos
Prepare-se para as provas com trabalhos de outros alunos como você, aqui na Docsity
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Encontra documentos específicos para os exames da tua universidade
Videoaulas
Prepare-se com as videoaulas e exercícios resolvidos criados a partir da grade da sua Universidade
Quiz
Responda perguntas de provas passadas e avalie sua preparação.
Ganhe pontos para baixar
Ganhe pontos ajudando outros esrudantes ou compre um plano Premium
Números complexos, Notas de estudo de Matemática
Números complexos em descrição básica e intermediária
Tipologia: Notas de estudo
2013
1 / 33
Esta página não é visível na pré-visualização
Não perca as partes importantes!
Documentos relacionados
Pré-visualização parcial do texto
Baixe Números complexos e outras Notas de estudo em PDF para Matemática, somente na Docsity!
UNIVERSIDADE DE LISBOA
I
Faculdade de Ciências DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA
12 oANO
Números Complexos
Armando Machado
REANIMAT
Projecto Gulbenkian de Reanimação Científica da Matemática no Ensino Secundário
1. Como apareceram os números complexos.
Recordemos que uma equação de segundo grau na incógnita Bé uma equação que se pode escrever na forma
+B #^ ,B - œ !,
com + ,, e - números reais e + Á !, e que as soluções, quando existirem, de uma tal equação são dadas pela fórmula resolvente
B œ
È
De facto, a fórmula resolvente não só nos indica quais as soluções, quando elas existem, como nos permite reconhecer se essas soluções existem ou não: Se , # %+- !, não existem soluções, uma vez que os números negativos não têm raíz quadrada; se , # %+- œ !, a equação tem uma única solução; se , # %+- !, a equação tem duas soluções. No século XVI a resolução das equações do segundo grau era já bem conhecida e procurava-se uma fórmula que permitisse resolver as equações do terceiro grau, isto é, as equações que se podem escrever na forma
+B $^ ,B #^ -B . œ !,
com + , -, , e. números reais e + Á !. O facto de se estar em presença de um problema claramente mais complicado que o levantado pelas equações do segundo grau levou os matemáticos dessa época a procurar simplificar a equação antes de a tentar resolver: Em primeiro lugar, dividindo ambos os membros da equação pelo coeficiente + do termo com B$, eram conduzidos a uma equação equivalente com um tal coeficiente igual a ". Bastava-lhes assim procurar resolver as equações do tipo
B $^ ,B #^ -B . œ !.
Em segundo lugar, tomando C œ B ,$^ ou seja, fazendo uma substituição B œ C ,$, foram
conduzidos à equação na variável C
ÐC Ñ ,ÐC Ñ -ÐC Ñ . œ!
$ #
que, depois de desenvolvida e simplificada, se escrevia na forma equivalente
C $^ :C ; œ !,
onde : œ ,$^ - e ; œ #,#(^ ,-$ .(o objectivo era precisamente anular o coeficiente do termo
$
com C #). As soluções da equação de partida podiam então ser obtidas subtraindo^ ,$às soluções da “equação incompleta” na variável C.
Exercício 1. Desenvolva e simplifique o primeiro membro da equação
ÐC Ñ ,ÐC Ñ -ÐC Ñ . œ!
$ #
obtemos um gráfico como o da figura 2.
1
1
1
1
Figura 1 Figura 2
Do exame do gráfico somos levados a concluir que a equação tem apenas uma solução, que parece ser #. Por substituição na equação, concluímos que #é efectivamente a solução. É claro que, não havendo neste caso outra solução, a fórmula de Cardano deve conduzir à solução #. Ora, aplicando-a, obtemos as seguintes expressões para a solução:
Ë Ê^ Ë Ê
Ë Ê^ Ë Ê
Ë È Ë È
Ë Ë
È È
$ $
$ $
$ $
$ $
# % # % œ
œ # # œ
œ # # œ
œ # #
Apesar de todas as tentativas de simplificação, não parece existir nenhum processo simples directo de verificar que a expressão anterior é igual a #. No entanto, ela é igual a #, visto que sabemos que a expressão fornece uma raíz e que #é a única raíz!
Exercício 4. a) Utilize a sua calculadora para determinar o valor aproximado da expressão
É$^ # "!^ *^ È $^ É$# "!^ *È$^ e repare que a resposta é simplesmente #.
b) Será que o valor obtido na calculadora pode ser considerado como uma prova de que a expressão na alínea a) é exactamente igual a #?
c) Calcule e simplifique o cubo das expressões " e " e utilize os resultados obtidos
È (^) $ È$ $ $ para simplificar a expressão na alínea a). 3
Examinemos enfim uma última dificuldade levantada pela fórmula de Cardano e que acabou por revelar-se de grande utilidade por ter originado o aparecimento de um novo instrumento matemático de grande importância, que estudaremos em breve, a teoria dos números complexos.
(^3) Assim até parece fácil simplificar a expressão… No entanto não havia razões para advinhar quais os candidatos a raíz cúbica.
Pensemos na equação do terceiro grau
B $ (B ' œ!
e vejamos qual a solução desta equação que é proposta pela fórmula de Cardano. Obtemos então para a solução a expressão
Ë Ê^ Ë Ê
Ë Ê^ Ë Ê
$ $
$ $
$ * $ * œ
œ $ $
Mas isto é muito estranho! Os números negativos não têm raíz quadrada e portanto a expressão anterior não tem significado. Ela não define assim nenhuma solução da equação! Podíamos pensar que estávamos em presença de uma situação análoga à da equação do segundo grau, em que o aparecimento da raíz quadrada de um número negativo na fórmula resolvente indicava a inexistência de solução. Mas não, nós sabemos que, no caso das equações do terceiro grau, existe sempre solução. Utilizando, como antes, a calculadora gráfica para tentar prever o que poderão ser as soluções desta equação, obtemos um gráfico como o da figura 3.
1
1
Figura 3
Do exame do gráfico somos levados a conjecturar a existência de três soluções, aproximadamente $ , " e #. Substituindo na equação concluímos que, efectivamente $ , " e #são as soluções da equação. No entanto, neste caso, a fórmula de Cardano não fornece nenhuma das três soluções, uma vez que envolve a raíz quadrada de um número negativo.^4 Os matemáticos italianos do século XVI recusaram-se a aceitar que a fórmula de resolução da equação do terceiro grau, obtida com tanta dificuldade, pudesse falhar desta maneira. A forma que encontraram de tornear o problema foi a de imaginar que, para além dos números reais que todos conhecemos, deviam existir uma espécie de “fantasmas” que ninguém via mas com os quais era possível trabalhar, usando, em particular, as mesmas operações que se usavam no quadro dos números reais. Os números reais negativos passariam a ter raízes quadradas, que seriam
(^4) Ironicamente, pode verificar-se que é exactamente no caso em que a equação tem mais soluções que a fórmula de Cardano não fornece nenhuma delas.
convenções de dispensa de parênteses e de omissão do sinal ‚ que são habituais no contexto dos números reais. Por exemplo, D ‚ A A w^ significa ÐD ‚ AÑ A w^ , e não D ‚ ÐA A Ñw , e DAé o mesmo que D ‚ A.
Axioma 3. O número real !continua a ser um elemento neutro da adição e um elemento absorvente da multiplicação em ‚. O número real "continua a ser um elemento neutro da multiplicação em ‚.
O axioma precedente afirma que, para os números complexos D, continuam a ser válidas as identidades
D ! œ D ,! ‚ D œ! , "‚ D œ D.
As potências de expoente natural de um número complexo Ddefinem-se do mesmo modo que no contexto dos números reais: D "^ œ D , D #^ œ D ‚ D e, em geral, D 8 designa o produto de 8 factores iguais a D. Vamos agora verificar que, tal como o que acontece no quadro dos números reais, é possível definir o simétrico dum número complexo e a diferença de dois números complexos. Repare-se que, para isso, não necessitamos de nenhum axioma novo. Começamos com duas definições:
Se D − ‚, chamamos simétrico de D ao número complexo, que notamos D, definido por D œ Ð"Ñ ‚ D.
Se Dß A − ‚, define-se a diferença A Dpela fórmula A D œ A ÐDÑ.
É claro que, quando os números complexos em questão forem reais, o simétrico de D e a diferença A Ddefinidos atrás coincidem com os correspondentes conceitos já conhecidos nesse caso (as nossas definições estendem as já conhecidas). Convirá também verificar que as definições anteriores são equivalentes às definições usuais de simétrico (como único elemento que somado com o dado dá !) e de diferença A D (como único elemento que somado com D dá A). Destaquemos esses resultados, que, em rigor, teriam que ser provados:
Se D − ‚, o seu simétrico D é o único número complexo que somado com D dá !. Se Dß A − ‚, A D é o único número complexo que somado com D dá A.
Tendo em vista o estudante mais interessado, vejamos como as afirmações que acabamos de destacar podem ser justificadas. Mostremos que A D é o único número complexo que somado com D dá A. Para isso, começamos por mostrar que A Dverifica essa condição: Ora, podemos escrever ÐA DÑ D œ A ÐDÑ D œ A Ð"Ñ ‚ D " ‚ D œ œ A ÐÐ"Ñ "Ñ ‚ D œ A ! ‚ D œ A ! œ A, que é exactamente o que pretendíamos. Falta-nos ainda verificar que não há mais nenhum número complexo, além de A D, que verifica a propriedade referida. Para isso, supomos que ?era um número complexo tal que ? D œ A e tentamos provar que? tem que ser igual a A D. Ora, partindo de? D œ A , podemos somarD a ambos os membros e obtemos sucessivamente ? D ÐDÑ œ A ÐDÑ ? " ‚ D Ð"Ñ ‚ D œ A D ? Ð" Ð"ÑÑ ‚ D œ A D ? ! ‚ D œ A D
,
? ! œ A D ? œ A D, como queríamos. Como caso particular do que acabamos de provar, obtemos a caracterização do simétrico: D œ! ÐDÑ œ! D é o único número complexo que somado com D dá !. Exercício 5. Examine com atenção as demonstrações anteriores, de modo a descobrir quais os axiomas que foram sendo aplicados.
Exercício 6. Demonstre a seguinte lei do corte para a adição de números complexos: Se A D œ A Dw^ , então A œ Aw.
Exercício 7. Demonstre a seguinte propriedade distributiva da multiplicação relativamente à subtracção:
D ‚ ÐA A Ñ œ D ‚ A D ‚ Aw^ w.
Até agora os axiomas que apresentámos apenas afirmavam que os números complexos são semelhantes aos números reais; em rigor até podia acontecer que não existissem números complexos para além dos reais. O próximo axioma é o que vai garantir a existência de números complexos que não são reais, de facto aqueles que estiveram na origem do aparecimento dos novos números.
Axioma 4. Existe um número complexo, que notaremos , para o qual se tem 3
3 #^ œ 3 ‚ 3 œ ".
Repare-se que o número complexo 3 não é real , uma vez que nós sabemos que não existe nenhum número real cujo quadrado seja negativo. Recordemos a demonstração de que não existe nenhum número real cujo quadrado seja menor que !, para verificar por que razão essa demonstração não se aplica no contexto dos números complexos (se se aplicasse, o axioma 4 seria contraditório com os anteriores). Se B é um número real arbitrário, sabemos que, ou B! ou B Ÿ !. No primeiro caso a propriedade que relaciona a multiplicação com a relação de ordem implica que B #^ œ B ‚ B B ‚! œ !; no segundo caso essa mesma propriedade implica que B #^ œ B ‚ B B ‚! œ!. Em qualquer dos casos tem-se assim B #^! , ou seja, B# nunca é negativo. A razão por que esta demonstração não se aplica no quadro dos números complexos está em que, no contexto destes, não está definido o conceito de “ser maior que”: Não dizemos o que é um número complexo ser maior que outro, nem o que é um número complexo ser maior que !, salvo quando os números complexos envolvidos forem números reais. De facto, a demonstração atrás mostra que não é possível definir uma conceito de “ser maior que” no contexto dos números complexos, de modo que se continuem a verificar as propriedades usuais de compatibilidade com a multiplicação.
Exercício 8. a) Verifique que 3, tal como 3 , é uma raíz quadrada de 1 (a defini ção de raíz quadrada é análoga à que conhece no contexto dos números reais) b) Determine um número complexo que seja raíz quadrada de *. Generalizando o que acaba de fazer, mostre que, no quadro dos números complexos, todos os números reais têm raíz quadrada.^6
(^6) Verificaremos em breve que, mais geralmente, todos os números complexos têm raíz quadrada.
Exercício 11. Determine as raízes quadradas do número complexo "# (^) #$ 3 , isto é, os números
È
complexos D œ B C3 , com Bß C − ‘, tais que D #^ œ"# (^) #$ 3. Não se assuste com o sistema de
È
duas equações do segundo grau nas incógnitas B e C, que vai obter.
Vamos agora examinar, no contexto dos números complexos, o problema da divisão, como operação inversa da multiplicação. Tal como já acontecia no contexto dos números reais, a divisão só vai estar definida no caso em que o divisor é diferente de !. Do mesmo modo que, para tratarmos do problema da subtração, começámos por definir o simétrico dum número complexo, vamos agora examinar o que vai ser o inverso de um número complexo não nulo. Como passo auxiliar começamos por definir o conjugado de um número complexo.
Se D − ‚, definimos o seu conjugado Dcomo sendo o número complexo que tem a mesma parte real e coeficiente da parte imaginária simétrico. Por outras palavras, se D œ + ,3, com +ß , − ‘, tem-se D œ + ,3.
Repare-se que o número complexo D é real se, e só se, D œ D. Uma das razões da importância do complexo conjugado está no facto de a soma e o produto de um número complexo com o seu conjugado serem ambos números reais. Mais precisamente, sendo D œ + ,3 , com +ß , −‘, tem-se
D D œ + ,3 + ,3 œ #+ D ‚ D œ Ð+ ,3Ñ ‚ Ð+ ,3Ñ œ + ‚ Ð+ ,3Ñ ,3 ‚ Ð+ ,3Ñ œ œ + +,3 +,3 , 3 œ + ,
A fórmula para o produto é especialmente importante, uma vez que ela nos mostra que, não só concluímos que D ‚ D é um número real, como podemos afirmar que D ‚ D !, tendo-se mesmo D ‚ D ! no caso em que D Á! (nesse caso um dos números reais + e , é diferente de !, e portanto o seu quadrado é maior que !). Quando D é um número complexo diferente de !é agora muito fácil determinar um número complexo que multiplicado por D dá ": Tem-se, com efeito,
D ‚ Ð ‚ DÑ œ ‚ D ‚ D œ "
+ #^ , #^ + #^ ,#^
Se D œ + ,3 é um número complexo diferente de !, onde +ß , − ‘, define-se o seu inverso D "^ como sendo o número complexo
D œ ‚ D
"
# ,
tendo-se então, como verificámos atrás, D ‚ D "œ ".
Podemos agora definir o quociente de um número complexo A por um número complexoD Á! e verificar que o quociente assim definido pode ser caracterizado pela propriedade a que estamos habituados no contexto dos números reais.
Se Aß D − ‚, com D Á !, define-se o quociente AD pela fórmula A D
œ A ‚ D ".
Pode então provar-se que AD é o único número complexo que multiplicado por D dá A. Em particular "D œ " ‚ D "^ œ D "^ é o único número complexo que multiplicado por D dá ".
Como fizémos no caso da subtracção, para provarmos a afirmação anterior, temos que verificar duas coisas: Em primeiro lugar ADverifica a propriedade referida, uma vez que A D ‚ D œ A ‚ D "^ ‚ D œ A ‚ " œ A;
Em segundo lugar temos que provar que AD é o único número complexo que verifica essa propriedade e, para isso, supomos que? era um número complexo que verifica a propriedade? ‚ D œ Ae deduzimos que tem que ser ? œ? ‚ " œ? ‚ D ‚ D œ A ‚ D œ A D
" " (^).
Outra das consequências importantes das propriedades precedentes é o facto de, no contexto dos números complexos, continuarem a ser válidas a lei do corte e a propriedade do anulamento de um produto. Recordemos o enunciado destas propriedades e justfiquemo-las.
Lei do corte: Dß Aß A −w^ ‚, com D Á! e D ‚ A œ D ‚ A w^ , tem-se A œ Aw.
Para justificarmos esta propriedade basta multiplicarmos ambos os membros da igualdade D ‚ A œ D ‚ A w^ por D"^ , obtendo-se D "^ ‚ D ‚ A œ D "^ ‚ D ‚ Aw e portanto sucessivamente " ‚ A œ " ‚ A w^ e A œ Aw.
Lei do anulamento do produto: Dados Dß A − ‚, tem-se D‚ A œ! se, e só se, D œ !ou A œ !.
Já sabemos que, se D œ! ou A œ !, então D ‚ A œ! (! é um elemento absorvente da multiplicação). O que falta ver é que, se suposermos que D ‚ A œ !, tem que ser D œ! ou A œ !, ou seja, que, se D Á !, então A œ !. Ora, isso resulta, por exemplo, da lei do corte, uma vez que se tem
D ‚ A œ! œ D ‚ !.
Exercício 12. a) Mostre que, se D Á! e A Á !, então ÐDAÑ "^ œ D" A". b) Deduza daqui, pelo método de indução, que, para cada número natural 8 ,
ÐD Ñ^8 "^ œ ÐD "^ Ñ^8
(o valor comum é, por definição, e tal como nos números reais, a potência de expoente negativo D 8^ , continuando a definir-se D !œ ").
Exercício 13. Mostre que, no quadro dos números complexos, continua a ser válida a seguinte propriedade das “fracções”: Se multiplicarmos ambos os membros de uma fracção por um mesmo número complexo, diferente de !, não alteramos o respectivo valor; por outras palavras, dados números complexos Aß Dß D w^ , com D Á! e D Á !w , tem-se
A A ‚ D D D ‚ D
œ
w w.
3. Interpretação geométrica dos números complexos. A forma trigonométrica dos
números complexos.
Tendo em conta o que estudámos na secção precedente, podemos considerar uma correspondência biunívoca entre o conjunto ‚ dos números complexos e o conjunto ‘#dos pares ordenados de números reais, correspondência que a cada número complexo D associa o par ordenado ÐBß CÑ tal que D œ B C3. A correspondência biunívoca que acabamos de referir recorda-nos decerto uma situação análoga, já estudada no décimo ano: Fixemos, com efeito, um referencial dum plano, determinado por uma origem S e por dois vectores Ä/ (^) B e Ä/C. Sabemos então que o conjunto ‘# dos pares de números reais está em correspondência biunívoca tanto com o conjunto dos vectores do plano como com o conjunto dos pontos do plano. Essas correspondências associam a cada par ÐBß CÑo vector e o ponto com aquelas coordenadas.
e
e
x
y
O
Figura 4
Combinando as duas situações, constatamos que o conjunto ‚dos números complexos, pode ser posto em correspondência biunívoca tanto com o conjunto dos vectores do plano como com o conjunto dos ponto do plano. Essas correspondências associam naturalmente a cada número complexo D œ B C3, com Bß C − ‘, o vector Ä? e o ponto T cujas coordenadas são ÐBß CÑ(tem-se
assim Ä? œ ST^ ).
Ä
No contexto precedente, dizemos que o ponto T Ç ÐBß CÑ é o afixo do número complexo D œ B 3C e que o vectorÄ? Ç ÐBß CÑé o seu afixo vectorial.
As correspondências biunívocas, que acabamos de referir, pressupõem a fixação do referencial do plano e, para assegurar a validade de algumas conclusões que obteremos adiante, suporemos sempre que os vectores Ä/ (^) B e Ä/ (^) C são ortogonais e de norma igual a". É também costume, embora não seja indispensável, escolher o referencial de forma que, para rodarmos /Ä (^) B para /ÄCpelo caminho mais curto, nos desloquemos “para a esquerda”. 10 Em qualquer caso, neste contexto, consideramos sempre que o sentido directo é o correspondente à rotação mais curta de /Ä (^) B para Ä/C.
Exercício 17. Determine, no contexto da figura 4, o afixo e o afixo vectorial de cada um dos seguintes números complexos: a) " #3 ; b) # 3; c) "; d) 3.
(^10) Por outras palavras, temos um referencial ortonormado directo. Como já tivémos ocasião de referir em anos anteriores, a afirmação sobre os comprimentos pressupõe a fixação de uma unidade de comprimento e a noção de “esquerdo e direito” tem um significado relativo, que varia com a “posição do observador”.
Exercício 18. Determine os números complexos cujos afixos vectoriais são vectores Ä Ä?, @ e ÄA, assinalados na figura 5. Quais os pontos do plano que são afixos desses números complexos?
e
e
x
y (^) u v w
O
Figura 5 A representação geométrica dos números complexos por pontos do plano, descoberta no início do século XIX, teve grande importância histórica, em particular por ajudar muitos matemáticos renitentes a aceitar os números complexos como algo que existia verdadeiramente. Um dos matemáticos associados a essa descoberta é o suíço Argand e ainda hoje se costuma chamar plano de Argand (ou, simplesmente, plano complexo ) a um plano em que se fixou um referencial ortonormado, com o objectivo de representar os números complexos. Para além da importância histórica que referimos, a representação geométrica revelou-se de grande utilidade pelo modo como ela traduz as diferentes noções envolvendo números complexos, em particular as operações que os envolvem. Como primeiro exemplo de tradução desse tipo, temos a interpretação geométrica da soma de números complexos: Se D œ B C3 e A œ + ,3, então D A œ ÐB +Ñ ÐC ,Ñ3, por outras palavras, a parte real da soma de dois números complexos é a soma das suas partes reais e o coeficiente da parte imaginária da soma de dois números complexos é a soma dos coeficientes das suas partes imaginárias. Por outro lado, também sabemos que a abcissa e a ordenada da soma de dois vectores são respectivamente a soma das abcissas e a soma das ordenadas desses vectores. Juntando estes dois factos chegamos à seguinte conclusão:
O afixo vectorial da soma de dois números complexos é igual à soma dos afixos vectoriais desses números complexos.
As duas propriedades que enunciamos em seguida têm uma justificação inteiramente análoga:
O afixo vectorial da diferença de dois números complexos é igual à diferença dos afixos vectoriais desses números complexos.
O afixo vectorial do produto de um número real +por um número complexo é igual ao produto de +pelo afixo vectorial desse número complexo.
Repare-se que não dizemos nada, de momento, sobre o afixo vectorial do produto de números complexos; isso será feito mais tarde, quando tivermos estudado a forma trigonométrica dos números complexos.
Exercício 19. Na figura 6 o vector ÄD^ é o afixo vectorial de um certo número complexo D. Determine os afixos vectoriais dos números complexos:
O afixo e o afixo vectorial do conjugado D de um número complexo Dsão simétricos, relativamente ao eixo das abcissas do afixo e do afixo vectorial de D.
z
w z
w 1
Figura 10
Exercício 21. a) Quais serão os números complexos cujos afixos estão no eixo das abcissas? b) Interprete a conclusão de a), tendo em conta que os números reais são exactamente os números complexos que coincidem com os respectivos conjugados. c) Quais serão os números complexos cujos afixos estão no eixo das ordenadas?
Examinamos em seguida duas propriedades importantes dos conjugados dos números complexos. Consideremos então dois complexos D œ B C3 e A œ + ,3. Se somarmos primeiro os números complexos e considerarmos depois o conjugado do resultado, obtemos sucessivamente
D A œ ÐB +Ñ ÐC ,Ñ D A œ ÐB +Ñ ÐC ,Ñ3.
Por outro lado, se começarmos por considerar os conjugados D œ B C3 e A œ + ,3dos números complexos e somarmos estes conjugados, obtemos o mesmo resultado:
D A œ ÐB +Ñ ÐC ,Ñ3.
Com a multiplicação, acontece um fenómeno análogo: Tem-se
D ‚ A œ ÐB C3ÑÐ+ ,3Ñ œ B+ B,3 C+3 C,3 œ œ ÐB+ C,Ñ ÐB, C+Ñ
donde
D ‚ A œ ÐB+ C,Ñ ÐB, C+Ñ3,
e, por outro lado, multiplicando os conjugados, obtemos o mesmo resultado:
D ‚ A œ ÐB C3ÑÐ+ ,3Ñ œ B+ B,3 C+3 C,3 œ œ ÐB+ C,Ñ ÐB, C+Ñ
.
Podemos assim destacar as seguintes conclusões:
O conjugado da soma de dois números complexos é igual à soma dos respectivos conjugados e o conjugado do produto de dois números complexos é igual ao produto dos respectivos conjugados. Tem-se assim:
D A œ D A , D ‚ A œ D ‚ A.
A noção de complexo conjugado vai ajudar-nos a estender ao contexto dos números complexos uma noção bem conhecida no quadro dos números reais, a de módulo ou valor absoluto. Recordemos que, se B é um número real, o seu módulo lBl é o número real maior ou igual a! definido por
lBl œ
B B!
œ (^) B B Ÿ!
, se , se
(lembrar que a definição não levanta problema uma vez que, se B œ !, ambas as expressões B eB dão o mesmo valor !). Esta maneira de definir o módulo não se pode aplicar aos números complexos gerais, uma vez que, como já referimos, para estes não definimos o que é ser !ou Ÿ !. Podemos tentar tirar partido de outra caracterização equivalente do módulo dum número real,
a saber da fórmula que bem conhecemos lBl œ ÈB^ #. Também aqui havia um problema em tentar generalizá-la directamente para definir o módulo dum número complexo, uma vez que, em geral, se D − ‚, D#é um número complexo, pelo que não sabemos quais das duas raízes devemos considerar
na expressão ÈD #e, além disso, nenhuma dessas raízes é, em geral, um número real maior ou igual a !. Há, no entanto, uma pequena adaptação que permite que a nossa ideia funcione, que é a de considerar o produto D ‚ D, no lugar de D #. Essa modificação não altera nada no caso em que Dé real, visto que então D œ D. A razão porque esta adaptação resolve o nosso problema está em que, como já observámos, quando construímos o inverso dum número complexo, D ‚ Dé sempre um número real maior ou igual a !, só sendo igual a! quando D œ !. Com efeito, como já tínhamos observado, se D œ B C3, com Bß C − ‘,
D ‚ D œ ÐB C3ÑÐB C3Ñ œ B #^ BC3 BC3 C 3# # œ B #^ C#.
Podemos finalmente apresentar a definição de módulo de um número complexo, generalizando a de módulo de um número real.
Chama-se módulo do número complexo D ao número real maior ou igual a!
lDl œ ÈD ‚ D^.
Sendo D œ B C3, com Bß C − ‘, tem-se assim
lDl œ ÈB^ #^ C#.
Recordando a fórmula que nos dá o comprimento de um vector, a partir das suas coordenadas num referencial ortonormado, a segunda caracterização do módulo, que acabamos de apresentar, conduz-nos à seguinte interpretação geométrica:
O módulo dum número complexo Dé igual à norma do seu afixo vectorial, e portanto também à distância à origem do seu afixo.
Exercício 22. Determine os módulos dos seguintes números complexos: a) " 3; b) $ %3; c) 3 ; d) #.
Exercício 27. Procure, para cada um dos subconjuntos do plano de Argand sugeridos nas figuras 11 a 14, uma condição envolvendo a variável complexa D, que determine esse conjunto.
1 1
Figura 11 Figura 12
1 1
Figura 13 Figura 14
Vamos agora estudar a noção de argumento de um número complexo diferente de !, que começamos por definir a partir da representação geométrica do número complexo no plano de Argand.
Dado um número complexo D Á !, consideremos no plano de Argand a semirecta de origem S que contém o afixo de D. Chamamos argumento de Da qualquer dos ângulos de movimento que conduz do semi-eixo positivo das abcissas à semi-recta referida.
Nas figuras 15 a 17 estão sugeridos três argumentos para o número complexo D œ " 3, a saber, usando o radiano como unidade de medida, (^1) %^ ,*%^1 œ (^1) %^ # 1 e (%^1 œ (^1) % # 1.
1
1+i
O (^1)
1+i
O (^1)
1+i
O
Figura 15 Figura 16 Figura 17
O argumento de um número complexo não nulo tem assim o mesmo tipo de indeterminação que já apareceu no estudo do décimo primeiro ano quando se referiram os ângulos de movimento que podem levar de uma posição de uma semirecta para outra, com a mesma origem:
Se! é um argumento do número complexo não nulo D, então os diferentes argumentos de D são precisamente os números da forma! 5 ‚ # 1 , com 5 −™. 11
(^11) Lembrar que o argumento é um ângulo e que, portanto, quando nenhuma outra unidade for indicada, está subentendido que a unidade considerada é o radiano ( $'!° corresponde a # 1 ).
Repare-se que, uma vez que um dado número complexo admite vários argumentos, não faz sentido usarmos uma expressão do tipo “ o argumento de D” devendo preferir-se uma do tipo “ um argumento de D”. Pelo contrário, uma vez que, dado < !, em cada semi-recta de origem Sexiste um único ponto da semi-recta à distância < de S, podemos dizer que o módulo e um dos argumentos determinam completamente um número complexo. Mais precisamente:
Dados < ! e! − ‘, existe um único complexo de módulo