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NÚMEROS COMPLEXOS EM ELETRÔNICA
É uma forma na qual se inclui ângulo de fase e magnitude de uma ou mais grandezas. Uma expressão complexa compreende uma parte real e uma parte imaginária, conforme mostra a figura abaixo.
j é um operador que varia de 0º a 360º, em ângulos de 90º. O ângulo de 90º é de grande importância na análise de circuitos AC.
- 4 indica 4 unidades a 180º j 4 indica 4 unidades a 90º
Como j é um operador a 90º, isto significa que em 180º ele é repetido 2 vezes, em 270º é repetido 3 vezes e assim por diante.
RESUMINDO
90º = + j
180º = j^2 = - 1
270º = j^3 = j^2. j = - 1. j = - j
A expressão complexa deve ser escrita da seguinte forma: parte real F 0B 1 parte complexa onde j é sempre escrito antes do número. Exemplo:
4 F 0B 1 j 2
RELAÇÃO DO FASOR COM A FORMA RETANGULAR
3 representa um número real ( neste caso uma resistência de valor igual a 3F 05 7 ); o ângulo de 90º ou + j é usado para representar XL (4F 05 7 );
portanto: Z = 3 + j 4
como no caso anterior, 3 representa uma resistência no valor de 3F 05 7 ; o ângulo de - 90º ou - j é usado para representar XC (4F 05 7 );
portanto: Z = 3 - j 4
Podemos então representar circuitos na forma complexa retangular conforme exemplos abaixo:
Z 2 = R^2 + XL^2
Z = 8 + j 5
Z^2 = R^2 + XC^2
Z = 10 - j 6
IT^2 = I R^2 + I C^2
I T = 1 + j 3
I T^2 = IR^2 + IL^2
I T = 1 - j 3
O operador j indica uma relação de fase diferente de zero entre a parte real e a parte imaginária. Tomemos como exemplo impedâncias:
Se R = 0 e XC = 10F 05 7^ F 0E 8 Z = 0 - j0 01 F 10
Se R = 10F 05 7 e XC = 0 F 0E 8 Z = 10 - j 0
Se R = 0 e XL = 10F 05 7^ F 0E 8 Z = 0 + j 10
Se R = 10F 05 7 e XL = 0 F 0E 8 Z = 10 + j 0
Vejamos alguns exemplos abaixo de circuitos mais complexos:
ZT = (9 + j 6) + (3 - j 2)
ZT = 12 + j 4
ZT =
OPERAÇÕES COM NÚMEROS COMPLEXOS
I - ADIÇÃO OU SUBTRAÇÃO:
Soma-se ou subtrai-se a parte real e a parte imaginária ( j ) separadamente:
a) (9 + j 5) + (3 + j 2) F 0E 8 (9 + 3) + ( j 5 + j 2) = 12 + j 7
b) (9 + j 5) + (3 - j 2) F 0E 8 (9 + 3) + ( j 5 - j 2) = 12 + j 3 c) (9 + j 5) + (3 - j 8) F 0E 8 (9 + 3) + ( j 5 - j 8) = 12 - j 3
II - MULTIPLICAÇÃO OU DIVISÃO DE UM NÚMERO
IMAGINÁRIO ( termo j ) POR UM NÚMERO REAL
Basta multiplicar ou dividir, conforme exemplos abaixo:
“REPRESENTAÇÃO POLAR E RETANGULAR DE UM NÚMERO COMPLEXO
CONVERSÕES RETANGULAR/POLAR - POLAR/RETANGULAR”
Veja a figura abaixo:
Em termos elétricos, uma impedância complexa 4 + j 3 significa 4F 05 7 de resistência elétrica e 3F 05 7 de reatância indutiva. Lembrar que, a impedância 4 + j 3 está escrita na forma retangular. A impedância é o resultado de: Z = ou Z 2 = R^2 + X (^) L^2
Z = = = = 5F 05 7
O ângulo de fase F 07 1 é o arco tangente (arctan) da relação entre X (^) L e R.
Portanto: F 07 1 = arctan = = 0,75 F 04 0 37º
Desta forma, a impedância complexa pode ser escrita da seguinte maneira:
4 + j 3 F 05 7 - forma retangular
- forma polar EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
Converter para a forma polar:
a) 2 + j 4 = = = = 4,47 F 0E 8 arctan = 2 F 04 0 63º F 0E 8
b) 8 + j 6 = = = 10 F 0E 8 arctan = 0,75 F 04 0 37º F 0E 8
c) 4 - j 4 = = = 5,66 F 0E 8 arctan = -1 = - 45º F 0E 8
Converter para a forma retangular:
a)
sen 65º = 0,906 (parte imaginária) F 0E 8 12. 0,906 = 10, cos 65º = 0,423 (parte real) F 0E 8 12. 0,423 = 5,
Resposta: 5,08 + j 10,
b)
sen 60º = 0,866 (parte imaginária) F 0E 8 100. 0,866 = 86, cos 60º = 0,5 (parte real) F 0E 8 100. 0,5 = 50
Resposta: 50 + j 86,
c)
sen - 60º = - 0,866 (parte imaginária) F 0E 8 100. - 0,866 = - 86, cos - 60º = 0,5 (parte real) F 0E 8 100. 0,5 = 50
Resposta: 50 - j 86,
d)
sen 90º = 1 (parte imaginária) F 0E 8 10. 1 = 10 cos 90º = 0 (parte real) F 0E 8 10. 0 = 0
Resposta: 0 + j 10 Quando um número complexo é formado por uma parte real igual a zero, como por exemplo: 0 + j 5, a expressão na forma polar será:
Para a expressão: 0 - j 5, a expressão na forma polar será:
Quando um número complexo é formado por uma parte imaginária igual a zero, como por exemplo: 5 + j 0, a expressão na forma polar será:
MULTIPLICAÇÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA
POLAR
I - REAL x POLAR
a)
b)
II - POLAR x POLAR
Na multiplicação de números complexos (polar x polar) os ângulos são somados algebricamente, conforme mostra os exemplos abaixo:
a)
b)
c)
DIVISÃO DE NÚMEROS COMPLEXOS NA FORMA POLAR
I - POLAR F 0B 8 REAL
a)
b)
c)
II - POLAR F 0B 8 POLAR
Na divisão de números complexos na forma polar (polar F 0B 8 polar) os ângulos são subtraídos algebricamente, conforme mostra os exemplos a seguir: a)
ZT = Vin / IT
Convertendo para a forma retangular: 23,8. sen 25,4º = 23,8. 0,429 = 10,21 (indutiva) 23,8. cos 25,4º = 23,8. 0,903 = 21,5 (resistiva)
ZT = 21,5 + j 10,21F 05 7
II - Dado o circuito a seguir:
a) calcule as tensões em cada um dos componentes; b) desenhe o fasor do circuito para a corrente e as tensões.
Solução:
- Calculando a impedância total na forma retangular:
Z (^) T = 2 + j 4 + 4 - j 12 F 0E 8 6 - j 8 F 05 7
- Convertendo a impedância total na forma polar:
ZT = = 10 F 0E 8 arctan = - 1,33 = -53,13º (- 53º)
Z (^) T =
- Calculando a corrente total na forma polar:
I (^) T = VT / IT
- Calculando a tensão em cada componente:
VR1 =
VL =
VC =
VR2 =
OBS: Como o operador j representa o ângulo de 90º, na forma polar a reatância indutiva (XL ) assume o ângulo de 90º ; a reatância capacitiva X (^) C assume o ângulo - 90º e a resistência assume o ângulo de 0º.
- Desenhando o fasor do circuito para as tensões e a corrente, onde alguns aspectos devem ser observados:
O ângulo de 53º para VR1 e V (^) R2 mostra que as tensões nestes dois componentes estão em fase com a corrente.
b) A tensão nos resistores está adiantada 53º em relação a V (^) T enquanto que a tensão
no capacitor está atrasada 37º.
c) A tensão no indutor está adiantada 143º em relação a VT (90º + 53º).
A relação de fase entre as tensões no capacitor e indutor é de 180º.
Comprovando:
OBS: a soma das tensões de cada um dos componentes deverá nos dar a tensão aplicada na entrada.
Convertendo cada tensão para a forma polar:
VR1 = = 2,407 + j 3,196V VR2 = = - 6,389 + j 4,814V VC = = 19,167 - j 14,444V VL = = 4,812 + j 6,389V Total da VT = 19,997 + j 0,045V Convertendo a tensão 19,997 + j 0,045V para a forma polar:
VT = = F 04 0 20 F 0 7 1 = arctan = 0,00225 = 0,129º^
F 0 4 0 0º
Portanto, na forma polar V (^) T =
FORMULÁRIO PARA CIRCUITOS AC
1 - ASSOCIAÇÃO DE INDUTORES
EM SÉRIE: LT = L 1 + L 2 + L 3 + L 4 …
EM PARALELO: = + + + … (para mais de dois indutores) ou LT = (para dois indutores)
2 - ASSOCIAÇÃO DE CAPACITORES
EM SÉRIE: = + + + … (para mais de dois capacitores) ou C (^) T = (para dois capacitores)
EM PARALELO: C (^) T = C 1 + C 2 + C 3 + C 4 …
3 - CIRCUITO RC EM SÉRIE
V R = R.I T V T = V C = X C. I T
F 0 7 1 = arctan -^
F 0 E 8 = - Z = Z = I (^) T =
F 0 7 1 = arctan - Z = F 0E 8 Z =
7 - CIRCUITO LC EM SÉRIE
Z =
XL - X C = X
XC - XL = X
logo: Z = X
Z = I T =
8 - CIRCUITO LC EM PARALELO
Z =
- Z F 0E 8 capacitiva Z F 0E 8 indutiva
I (^) T = , onde: IL = e IC =
Z = IT =
9 - CIRCUITO RLC EM SÉRIE
Z =
onde:
X = XL - XC ou X = XC - X (^) L
O fasor para o circuito acima é mostrado a seguir.
Observe que a defasagem entre as tensões do capacitor e do indutor é de 180º, no entanto, entre estes componentes e o resistor é de 90º.
VL = X L. I T
VC = XC. I T
VR = R. IT
VT =
onde: VX = VL - V (^) C ou VX = VC - VL
Z = F 0E 8 I T =
F 0 7 1 = arctan =^
F 0 E 8 ( VL > VC ) F 0 7 1 = arctan - = -^
F 0 E 8 ( VC > VL )
F 0 7 1 = arctan ( X^ L^ > XC^ ) = arctan F 0 7 1 = arctan - ( X^ C^ > X^ L^ ) = -
10 - CIRCUITO RLC EM PARALELO
I L =
I C =
I R =
I (^) T = onde:
I (^) X = I (^) L - I (^) C ou
I (^) X = I (^) C - I (^) L
O fasor de um circuito RLC em paralelo é mostrado abaixo, onde prevalecem as correntes I (^) C , I (^) L e IR.
F 0 7 1 = arctan - = - ( I^ L^ > I^ C^ )
F 0 7 1 = arctan = ( I^ C^ > I^ L^ )
Calculando a impedância em um circuito paralelo:
Z = onde:
x =
y = R
RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO
AC INDUTIVO
Numa indutância: a tensão aplicada está adiantada 90º em relação à corrente; a FCEM (força contra-eletromotriz) está atrasada 90º em relação à corrente; a tensão aplicada à entrada e a FCEM estão 180º defasadas.
CONCLUSÃO: Qualquer circuito AC que contenha apenas indutância apresenta três variáveis importantes: a) tensão aplicada; b) força contra-eletromotriz induzida e c) corrente do circuito. FCEM: é a voltagem contrária originada num circuito indutivo pela passagem de uma corrente alternada ou pulsativa.
LEI DE LENZ: uma fem (força eletromotriz) produzida pela indução tende a estabelecer uma corrente cujo sentido opõe-se ao campo primitivo que a produziu.
RELAÇÕES ENTRE TENSÃO E CORRENTE NUM CIRCUITO
AC CAPACITIVO
A corrente através do capacitor está adiantada em relação à tensão aplicada ao capacitor de 90º.
Conforme ilustra a figura abaixo, a corrente através do capacitor está defasada de 90º tanto em relação à tensão aplicada como em relação à contra-tensão. Portanto, a corrente está adiantada de 90º em relação à tensão aplicada e atrasada de 90º em relação à contra-tensão.
EFEITOS DA CONTRA-TENSÃO:
Quando uma fonte de tensão DC é ligada nos extremos de um capacitor, a corrente é máxima quando a tensão da fonte, senoidalmente, começa a crescer a partir do zero, desde que as placas do capacitor estejam neutras (sem carga) e não apresentem forças eletrostáticas opostas. Quando a tensão da fonte cresce, as cargas nas placas do capacitor que resultam do fluxo de corrente, aumentam. À medida que a carga no capacitor aumenta, resulta numa tensão que se opõe à tensão aplicada, resultando numa diminuição da corrente. Quando a tensão da fonte (tensão aplicada) atinge o valor máximo ou valor de pico, o capacitor estará com a máxima carga e máxima tensão apresentando assim uma oposição à tensão aplicada (cargas eletrostáticas opostas), as quais se anulam, resultando então em uma corrente zero. Quando a tensão aplicada nos extremos do capacitor começa a decrescer, a carga eletrostática nas placas do capacitor torna-se maior do que o potencial dos terminais da fonte e o capacitor começa a descarregar-se, repetindo assim o processo, porém no sentido inverso.
