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prob{inteiro n primo} 1/lnn. Por exemplo: n. 100. 1. 000. 1 lnn. 1/4. 6052 0. ... Essa probabilidade é corolário do Teorema de Números Primos que diz: se.
Tipologia: Notas de aula
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æ Inteiro p > 1 é primo ˘ p é divisível apenas por 1 e por p. æ E.g., 2, 3, 5, 7, 11,.... æ À medida que os números se tornam longos, os primos ficam raros. æ prob{inteiro n primo}B 1/ ln n. Por exemplo:
n 100 1. 000 ln^1 n 1/4. 6052^ =^ 0. 21715^ 1/ ln 1000^ =^ 1/6. 9078^ =^ 0. 14476 n 10. 000 100. 000 ln^1 n 1/ ln 10000^ =^ 1/9. 2103^ =^ 0. 10857^ 1/ ln 100000^ =^ 1/11. 513^ =^ 0. 08 6859 æ Essa probabilidade é corolário do Teorema de Números Primos que diz: se ^ › x fi denota o número de primos ≤ x , então
lim x ∏K^ ^ › x fi x / ln x
æ Conjunto de todos os inteiros é Z. æ Conjunto dos inteiros mod n é Zn. E.g, Z 10 = ·0, 1, u 9 ‚. æ Conjunto dos inteiros mod n que são relativamente primos a n é chamado Zn^ D. æ E.g.. Z 10 D^ = ·1, 3, 7, 9‚. æ Note 0 6 Z 10 D^ , pois mdc ›0, 10fi = 10.
æ A tabela de multiplicação para Z 10 D^ é:
1 3 7 9 1 1 3 7 9 3 3 9 1 7 7 7 1 9 3 9 9 7 3 1
æ É interessante notar que
æ Seja a 5 Zn^ D. A ordem de a , ord › a fi, é o menor inteiro positivo s tal que as^ = 1 mod n.
æ E.g. , em Z 5 D, ord › 2 fi = 4 pois 2^4 mod5 = 1. æ Pode-se provar que se ar^ = 1 mod n então s | r onde s = ord › a fi. Em particular, s divide Æ› n fi (veja o Teorema de Euler adiante). æ E.g., se n = 21 então Z 21 D^ = ·1, 2, 4, 5, 8, 10, 11, 13, 16, 17, 19, 20‚. Observe que Æ› 21 fi = Æ› 3 fiÆ› 7 fi = 2 ◊ 6 = 12 = | Z 21 D^ |. As ordens dos elementos em Z 21 D^ são listadas a seguir: a 5 Z 21 D^1 2 4 5 8 11 13 16 17 19 ord › a fi 1 6 3 6 2 6 6 2 6 6 2
æ Seja g 5 Zn^ D, g > 1. Se ord › g fi = Æ› n fi, então g é gerador ou elemento primitivo de Zn^ D. E neste caso diz-se que Zn^ D^ é cíclico. E.g. , em Z 5 D, 2 é gerador: 21 mod 5 = 2, 2^2 mod 5 = 4, 2^3 mod 5 = 3, 2^4 mod 5 = 1.
æ Z 21 D^ não contém gerador. æ n = 8 é o menor inteiro para o qual Z 8 D^ não possui gerador (Schroeder).
æ Se Zn^ D^ possui gerador, então existem ÆflÆ› n fi‡ geradores de Zn^ D. E.g. , em Z 6 D ÆflÆ› 6 fi‡ = ÆflÆ› 2 fiÆ› 3 fi‡ = Æ› 2 fi = 1 e o gerador é 5. Veja a seguir: a 5 Z 6 D^1 2 3 4 a Æ›^6 fi^ = 1 mod 6? não: 22 mod 6 = 4 não: 32 mod 6 = 3 não: 42 mod 6 = 4 sim: 52 mod 6 = 1
æ A seguir um resumo sobre geradores de Zn^ D:
temos que calcular a inversa da chave secreta s modÆ› m fi que é
s ƛƛ m fifi?^1 modÆ› m fi = s Æfl› p?^1 fi› q?^1 fi‡?^1 modÆ› m fi
æ Seja a 5 Zn^ D. a é um resíduo quadrático módulo n (ou um quadrado mod n ) se existir um x 5 Zn^ D^ tal que x^2 = a mod n.
æ Se tal x não existir, diz-se que a é um não-resíduo quadrático mod n. æ O conjunto de todos os resíduos quadráticos mod n é Qn , e os não-resíduos quadráticos é Qn. Observe que como 0 6 Zn^ D, 0 6 Qn , 0 6 Qn
æ Seja g 5 Zp^ D^ um gerador de Zp^ D^ no caso particular de p > 2 ser um primo. Neste caso, a 5 Zp^ D^ é um resíduo quadrático ˘ a = gi^ mod p para um i inteiro par. Portanto, | Qp |= › p? 1 fi/2 e | Qp |= › p? 1 fi/2.
æ Por exemplo sendo g = 2 um gerador de Z 11 D^ , tem-se: i 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 i^ mod11 1 2 4 8 5 10 9 7 3 6
æ Portanto, Q 11 = ·1, 3, 4, 5, 9‚ e Q 11 = ·2, 6, 7, 8, 10‚.
æ Se n = p ◊ q onde p > 2 e q > 2 são dois primos distintos, então { a 5 Zn^ Dé um resíduo quadrático mod n }È · a 5 Qp e a 5 Qq ‚. Logo, deduz-se que | Qn |= | Qp |◊| Qq |= › p? 1 fi› q? 1 fi/4 e | Qn |= 3 › p? 1 fi› q? 1 fi/4.
æ Por exemplo para n = 3 ◊ 5 = 15, Q 3 = · 1 ‚ e Q 3 = · 2 ‚, e Q 5 = ·1, 4‚ e
æ E.g.,
