Números Primos, Notas de estudo de Cultura

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Números Primos

Mauri klein – Ciência da Computação

TCC – Complexidade computacional

• Um número natural é um número primo quando ele tem exatamente dois divisores distintos: o número 1 e ele mesmo.
• Nos inteiros, é um primo se ele tem exatamente quatro divisores distintos;

O QUE SERIAM OS NÚMEROS

PRIMOS

• Opção com apenas 2 divisores: (desconsiderando 1 e ele próprio)
• a) 62;
• b)78;
• c) 54;

DESAFIO...

• Ojetivo;
• Criptografia;
• Infinitude;
• Algoritmos;
• Premiações;
• Tamanho dos maiores números primos;
• Custo computacional;

TÓPICOS

• Os números primos são utilizados na criptografia de dados para transmissão via internet;
• E são considerados como um dos principais desafios para os matemáticos.

IMPORTÂNCIA DOS

NÚMEROS PRIMOS

• O RSA é um algoritmo assimétrico que possui este nome devido a seus inventores: Ron Rivest, Adi Shamir e Len Adleman, que o criaram em 1977 no MIT(Massachusetts Institute of Technology).
• É atualmente o algoritmo de chave pública mais amplamente utilizado, além de ser uma das mais poderosas formas de criptografia de chave pública conhecidas até o momento.

CRIPTOGRAFIA - RSA

• Se o número for grande o suficiente e bem escolhido, então ninguém pode fazer isto em uma quantidade de tempo razoável.
• Assim, a segurança do RSA baseia-se na dificuldade de fatoração de números grandes.
• Deste modo, a fatoração representa um limite superior do tempo necessário para quebrar o algoritmo.

CRIPTOGRAFIA - RSA

• Uma chave RSA de 512 bits foi quebrada em 1999 pelo Instituto Nacional de Pesquisa da Holanda , com o apoio de cientistas de mais 6 países.
• Levou cerca de 7 meses e foram utilizadas 300 estações de trabalho para a quebra.
• Um fato preocupante: cerca de 95% dos sites de comércio eletrônico utilizam chaves RSA de 512 bits.

CRIPTOGRAFIA - RSA

• Opções possíveis para uma chave com 3 bits:

CRIPTOGRAFIA - RSA

• 8 bits – 28 = 256 possibilidades;
• 16 bits – 216 = 65.536 possibilidades;
• 32 bits – 232 = 4.294.967.296 possibilidades;
• 64 bits – 264 = 18.446.744.073.709.551. possibilidades;
• 128 bits – 2128 = 340.282.366.920.938.463.463.374.607.431.768.211. possibilidades;

CRIPTOGRAFIA - RSA

• Atualmente o maior computador do mundo:
• Japan’s K Computer Tops 10 Petaflop/s to Stay Atop TOP500 List
• Fonte: http://www.top500.org/

COMPUTADORES ATUAIS

• 10 petaflops = 10.000.000.000.000.
• Ou 10 quatrilhões de cálculos de ponto flutuante por segundo;
• 20 GigaFlops = 20.000.000.000, ou seja, mais ou menos 500.000 vezes mais lento;
• Exemplo prático: programa feito em java;

QUANTO TEMPO LEVARIA???

• Pode-se mostrar que existem números primos que não estão nessa lista. Da seguinte maneira:
• Sendo P o produto de todos os números primos na lista:
• P = 2 X 3 X 5 X 7 = 210;

INFINITUDE DOS NÚMEROS

PRIMOS

• Como P é coprimo de P+1 ou P-1 ;
• Com isso garantimos pelo menos mais um número primo.
• Ou P+1;
• Ou P -1;
• Ou um número primo que divide P+1 ou P-1;

INFINITUDE DOS NÚMEROS

PRIMOS