Números racionais e inteiros, Notas de estudo de Matemática

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N´umeros Inteiros e N´umeros Racionais

N´umeros Racionais e Exerc´ıcios

7 ◦^ ano E.F.

Professores Cleber Assis e Tiago Miranda

N ´umeros Inteiros e N ´umeros Racionais N ´umeros Racionais e Exerc´ıcios

1 Exerc´ıcios Introdut´orios

Exerc´ıcio 1. No quadro abaixo, determine quais n umeros´ s˜ao racionais.

89, 1011121314... π

Exerc´ıcio 2. Quais das seguintes afirmac¸ ˜oes s ao verdadei-˜ ras?

a) N ⊂ Q. b) Z ⊂ Q. c) 1 ∈ Q − Z.

d) r ∈ Q ⇒ −r ∈ Q.

e)

∈ Q − Z.

f) 3

27 ∈ Q − Z.

g)

0, 04 ∈ Q − Z.

Exerc´ıcio 3. Represente em uma reta orientada os seguintes n ´umeros:

3, 5 −

Exerc´ıcio 4. Um digitador produz 200 folhas de um livro em 3 dias, trabalhando 4 horas por dia; um outro digitador faz o mesmo trabalho em 4 dias, trabalhando 5 horas por dia. Em quanto tempo, os dois juntos, trabalhando 6 horas por dia, produzir˜ao 400 folhas do mesmo livro? Exerc´ıcio 5. Uma torneira sozinha enche um tanque em duas horas e outra torneira (sozinha) enche o mesmo tanque em tr es horas. Em quanto tempo as duas torneiras juntasˆ encher˜ao esse tanque? Exerc´ıcio 6. Encontre a frac¸ ˜ao geratriz de:

a) 0, 555.. .. b) 0, 232323...

c) 4, 2. d) −0, 111.. ..

Exerc´ıcio 7. Uma barra de chocolate e dividida entre Nelly,´

Penha e S onia. Sabendo que Nelly ganhaˆ

da barra, Penha

ganha

e S onia ganha 70 gramas. Qual o peso, em gramas,ˆ da barra? Exerc´ıcio 8. Para qualquer n umero positivo´ x, dizemos que

os n umeros´ x + 1 e x x + 1 s^ ao filhos de˜^ x^ e que os dois s^ ao˜

irm aos. Por exemplo,˜ 3 2 e 1 3 s ao irm˜ aos, pois s˜ ao filhos de˜ 1 2

de fato,

• 1 e

2 +^1

a) Encontre um irm˜ao de

b) Um n umero pode ser filho de dois n´ umeros positivos´ diferentes? Por quˆe?

c) Mostre que

2015 e descendente de 1, isto´^ e, ele´^ e filho de´ um filho de um filho... de um filho de 1.

Exerc´ıcio 9. Qual o valor num´erico da express˜ao

− 8 + 16 −^

1 (^4) −

+ 8 −^

4 (^3)?

Exerc´ıcio 10. Responda o que se pede.

a) O n ´umero

e racional?´

b) Entre quais inteiros ele se localiza na reta num´erica?

Exerc´ıcio 11. Responda o que se pede.

a) O n ´umero −

e racional?´

b) Entre quais inteiros ele se localiza na reta num´erica?

Exerc´ıcio 12. Use os sinas de < e > para comparar, em cada um dos itens abaixo, as frac¸ ˜oes.

a) 20 6

b)

c) −

d) −

Exerc´ıcio 13. Um rob o comeˆ c¸ ou um estudo no solo de marte e conseguiu perfurar at e 8, 5 metros.´ Depois de re- colher algum material subiu 4, 9 metros para uma an alise do´ terreno. Em qual distˆancia ele se encontra da superf´ıcie?

Exerc´ıcio 33. Simplifique a seguinte frac¸ ˜ao:

1 · 2 · 3 + 2 · 4 · 6 + 4 · 8 · 12 + 7 · 14 · 21 1 · 3 · 5 + 2 · 6 · 10 + 4 · 12 · 20 + 7 · 21 · 35

Exerc´ıcio 34. A sequˆencia Fn de Farey ´e uma sequˆencia de conjuntos formados pelas frac¸ ˜oes irredut´ıveis a b com 0 ≤ a ≤ b ≤ n arranjados em ordem crescente. Exibimos abaixo os quatro primeiros termos da sequˆencia de Farey.

F 1 = {0/1, 1/1}

F 2 = {0/1, 1/2, 1/1}

F 3 = {0/1, 1/3, 1/2, 2/3, 1/1}

F 4 = {0/1, 1/4, 1/3, 1/2, 2/3, 3/4, 1/1}

Qual deve ser o conjunto F 5?

Exerc´ıcio 35. E poss´ ´ıvel mostrar que se duas fra c¸ ˜oes a b e c d s ao vizinhas na sequ˜ encia de Fareyˆ Fn (veja o exerc´ıcio anterior) ent ˜ao ad − bc = ±1. Sabendo disso, voc e consegueˆ determinar que frac¸ ˜ao a b est a imediatamente´ a esquerda de` 5 7 em F 7 sem calcular todos os seus elementos?

Exerc´ıcio 36. Qual o valor da express˜ao  

Exerc´ıcio 37. Resolva as express ˜oes

a)

3

− 2 .

b)

0, 444... − (0, 555... )−^1

Exerc´ıcio 38. Qual o menor inteiro positivo n tal que as 73 frac¸ ˜oes 19 n + 21 ,^

n + 22 ,^

n + 23 ,... ,^

n + 93

sejam todas irredut´ıveis? Exerc´ıcio 39. A professora Lu´ısa observou que o n umero´ de meninas de sua turma dividido pelo n umero de meninos´ dessa mesma turma e 0, 48. Qual´ ´e o menor n umero poss´ ´ıvel de alunos dessa turma?

a) 24 b) 37 c) 40 d) 45 e) 48

Elaborado por Cleber Assis e Tiago Miranda Produzido por Arquimedes Curso de Ensino [email protected]

Respostas e Solu¸c ˜oes.

1. N umeros racionais s´ ˜ao aqueles que podem ser expressos por uma fra c¸ ˜ao com numerador e denominador inteiros, sendo este ultimo n´ ˜ao nulo. Assim, podemos completar o quadro da seguinte forma:

23 ∈ Q 5, 345 ∈ Q √2 /∈ Q 2, 313131... ∈ Q^13 ∈ Q 0, 01001000100001... /∈ Q 0, 444... ∈ Q − 27 ∈ Q^4 √ 5 /∈ Q −0, 111... ∈ Q − 34912 ∈ Q^3 √ 27 ∈ Q 89, 1011121314... /∈ Q π /∈ Q √0, 04 ∈ Q

2. J a sabemos que valem as inclus´ oes˜ N ⊂ Z ⊂ Q ⊂ R. Assim:

a) N ⊂ Q .Verdadeira! b) Z ⊂ Q .Verdadeira! c) 1 ∈ Q − Z .Falsa, pois Q − Z e o conjunto das fra´ c¸ ˜oes n ao˜ inteiras.

d) r ∈ Q ⇒ −r ∈ Q. Verdadeira!

e) 40 8 ∈ Q − Z. Falsa, pois Q − Z ´e o conjunto das frac¸ ˜oes n˜ao inteiras e 408 = 5.

f) 3

27 ∈ Q − Z. Falsa, pois Q − Z e o conjunto das fra´ c¸ ˜oes n˜ao inteiras e 3

g)

0, 04 ∈ Q − Z. Verdadeira, pois Q − Z e o conjunto das´ frac¸ ˜oes n˜ao inteiras e

3. Uma representac¸ ˜ao seria: 4. O primeiro digitador produz 200 folhas em 3 × 4 = 12 horas de trabalho. Portanto, a sua produc¸ ˜ao em uma hora

ser a igual a´

folhas. O segundo digitador produz 200 folhas em 4 × 5 = 20 horas. Portanto, a sua produc¸ ˜ao em

uma hora ser ´a igual a

folhas. Os dois juntos produzir ao˜

em uma hora a soma 200 12

folhas e para produzir

400 folhas ser˜ao gastas

400 80 3

= 400 × 3

= 15 horas.

Por fim, se eles trabalhar ao 6 horas por dia, ent˜ ao ser˜ ao 2˜ dias e 3 horas

5. Vaz ˜ao e a raz´ ˜ao entre o volume (V) de agua despejado e´ o tempo (t) para despej a-lo. Observe que a primeira torneira´ tem vaz ao˜

V

, j a a segunda tem´

V

. Queremos saber qual

a vaz ao de uma toneira equivalente (de vaz˜ ao˜

V

t ) as duas` trabalhando juntas. Isso ´e equivalente a resolver a equac¸ ˜ao V 2

V

V

t 1 2

t t =

5 6 t =

t = 1 hora e 12 minutos. 6. a) x = 0, 555... 10 x = 5, 555... ⇒ 9 x = 5 Logo, x =

b) x = 0, 232323... 100 x = 23, 232323... ⇒ 99 x = 23 Logo, x =

c) x = 4, 222... 10 x = 42, 222... ⇒ 9 x = 38 Logo, x =

d) x = −0, 111... 10 x = −1, 111... ⇒ 9 x = − 1

Logo, x = −

7. (Adaptado do da OBM) Veja que Nelly e Penha pegam juntas 2 5 +^

4 =^

20 +^

20 =^

da barra. Portanto, os 70 gramas de S onia representamˆ 7 20 da barra. Dessa forma, o peso da barra ser´a 20 7 · 70 = 200 gramas.

a) 789.

b) 8.

c) 25.

21.

a)

x = 0, 333... 10 x = 3, 333... ⇒ 9 x = 3

Logo, x =

b)

x = 0, 121212... 100 x = 12, 121212... ⇒ 99 x = 12

Logo, x =

c)

x = 6, 555... 10 x = 65, 555... ⇒ 9 x = 59

Logo, x =

d)

x = −0, 666... 10 x = −6, 666... ⇒ 9 x = − 6

Logo, x = −

9 −^

( 1 + 1 )^2

2

2

=

^1 +^

2

=

a)

x = 4, 7222... 10 x = 47, 222... 100 x = 472, 222... ⇒ 90 x = 425

Logo, x =

b)

x = 1, 8999... 10 x = 18, 999... 100 x = 189, 999... ⇒ 90 x = 171

Logo, x = 171 90

c)

x = 1, 2010101... 10 x = 12, 010101... 1000 x = 1201, 010101... ⇒ 990 x = 1189

Logo, x =

{[(

]

:^6

{[

36 −^

]

{[

]

:^6

36 ·^

3 :^

26. (Extra´ıdo da OBM − 2012) Como letras iguais representam d´ıgitos iguais, temos:

M × A × T × E × M A × T × I × C × A =^

M^2 × E

I × C × A.

Para que essa express ao tenha o maior valor, o numerador˜ deve ser formado pelos maiores d´ıgitos (com M > E) e o denominador deve ser formado pelos menores. Logo, M = 9, E = 8 e A · I · C = 3 · 2 · 1. Portanto, a express˜ao resulta em M^2 × E I × C × A

2 × 8

Resposta: Letra C.

27. Usando o m etodo j´ a apresentado no exerc´ ´ıcio 5, teremos:

1 3

t 2 t 6 t

t 6 t

6 t 3 t = 6 t = 2 horas.

28. (Adaptado do da OBM) Quando Ana andar 3 / 4 da escada, Beatriz ter ´a andado 1 / 4 da mesma. Isso significa que Ana e tr´ es vezes mais rˆ apida´ para descer do que Beatriz para subir. Quando Ana andar mais 1 / 4 da escada e terminar, Beatriz ter a andado mais um´ terc¸ o disso, que e 1´ / 12. Assim, Beatriz andou 4 / 12 da escada, ent˜ao ainda ter´a que subir 8/12 = 2/3 dela.

a) 0, 000001. b) 4.

c) 80 ·

8 =^ 1250.

d) 1 3

e) 200 ·

a)

b) 2^6 c) − 245. d) 10^6. e) 2^13.

31. (Extra´ıdo da OBM − 2012)

1 512

Como 2^12 = 4096, o primeiro d´ıgito n ao nulo ap˜ os a v´ ´ırgula ´e 4. Resposta C.

32. (Extra´ıdo da OBM) Ser˜ao necess´arias

= 4 garrafas.

33. (Extra´ıdo do Clube de Matem´atica da OBMEP) O numerador e o denominador s ao m˜ ultiplos de 3, logo a´ frac¸ ˜ao original ´e equivalente a 1 · 2 + 2 · 4 · 2 + 4 · 8 · 4 + 7 · 14 · 7 1 · 5 + 2 · 2 · 10 + 4 · 4 · 20 + 7 · 7 · 35. Agora, todos no numerador s ao m˜ ultiplos de 2 e no denomi-´ nador de 5, colocando-os em evidˆencia, ficaremos com 2 · ( 1 + 2 · 2 · 2 + 4 · 4 · 4 + 7 · 7 · 7 ) 5 · ( 1 + 2 · 2 · 2 + 4 · 4 · 4 + 7 · 7 · 7 ).

Simplificando os fatores ( 1 + 2 · 2 · 2 + 4 · 4 · 4 + 7 · 7 · 7 ), fica- remos com

F 5 = {0/1, 1/5, 1/4, 1/3, 2/5, 1/2, 3/5, 2/3, 3/4, 4/5, 1/1}.