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Instituto de Matemática e Estatística da USP MAT2456 - Cálculo Diferencial e Integral IV para Engenharia 3a. Prova - 2o. Semestre 2009
Turma B
1 a^ Questão: (2,5) Sabendo que a equação
(y^2 + e−x^ sin y)dx + (2y + xe−x^ cos y)dy = 0
admite um fator integrante que só depende de x, determine a solução dessa equação com condição
inicial y(0) = 1.
Solução: Sendo assim, procuremos por uma funçao g(x) tal que e
∫ (^) g(x)dx = μ(x).
g(x) = −
∂Q ∂x −^
∂P ∂y Q
= (2y^ +^ e
−x (^) cos y) − (e−x (^) cos y − xe−x (^) cos y) 2 y + xe−x^ cos y
Sendo assim, camos com:
μ(x) = e
∫ (^1) dx = ex
Multiplicando a equação pelo F.I. encontrado:
(y^2 ex^ + sin y)dx + (2yex^ + x cos y)dy = 0
M = (y^2 ex^ + sin y)
N = (2yex^ + x cos y)
Agora resolvendo a equação exata:
F (x, y) =
M (x, y)dx = y^2 ex^ + x sin y + K(y)
∂F
∂y = 2ye
x (^) + cos x + K′(y) = N
Sendo assim, encontramos:
K′(y) = 0 =⇒ K(y) = C
Para a condiçao de contorno y(0) = 1, camos com:
1 · e^0 + 0 · sin 1 = C =⇒ C = 1
E temos a solução da equação diferencial:
y^2 ex^ + x sin y = 1
(b) O polinômio característico da equação é dado por:
t^4 + 4t^2 + 4 = (r^2 + 2)^2
E as raízes do polinômio são: t = ± 2 i
(m = 2)
Sendo assim, a resposta da equação é dada por:
y(x) = C 1 sin 2x + C 2 cos 2x + C 3 x sin 2x + C 4 x cos 2x
com C 1 , C 2 , C 3 , C 4 ∈ R
3 a^ Questão.
(a) (2,0) Dado que y 1 = x^2 é uma solução da equação diferencial
x^2 y′′^ − 2 xy′^ + 2y = 0
determine uma segunda solução y 2 linearmente independente com y 1 e dê sua solução geral.
(b) (2,0) Obtenha a solução geral da equação diferencial (para x > 0 ):
x^2 y′′^ − 2 xy′^ + 2y = x^2 ln x
Solução:
(a) Procuremos por uma solução do tipo:
y 2 (x) = v(x) · y 1 (x) = v(x) · x^2
y 2 ′(x) = 2xv + x^2 v′
y 2 ′′ (x) = 2v + 4xv′^ + x^2 v′′
Substituindo essas três equações na equação diferencial:
x^2 (2v + 4xv′^ + x^2 v′′) − 2 x(2xv + x^2 v′) + 2vx^2 = 0
x^4 v′′^ + 2x^3 v′^ = 0
x^2 v′′^ + 2xv′^ = 0
(x^2 · v′)′^ = 0 =⇒ v′^ =
C 1
x^2 =⇒^ v(x) =^
C 1
x +^ C^2
