Baixe Problemas de álgebra linear em R3 e Rn e outras Notas de estudo em PDF para Engenharia Química, somente na Docsity!
Q1. Seja V um espa¸co vetorial de dimens˜ao 2 munido de um produto interno 〈·, ·〉 e seja {v 1 , v 2 } uma base de V. Considere a fun¸c˜ao T : V → V definida por T (v) = 〈v, v 1 〉v 1 + 〈v, v 2 〉v 2 , para todo v ∈ V. Pode-se afirmar que:
(a) T ´e sobrejetora; (b) T n˜ao ´e injetora; (c) T n˜ao ´e linear; (d) v 1 e v 2 s˜ao autovetores de T ; (e) Ker(T ) = Im(T ).
Q2. Sejam S : R^3 → R^3 , T : R^3 → R^3 operadores lineares que s˜ao repre- sentados na base canˆonica de R^3 pelas matrizes:
[S]can =
(^) , [T ]can =
Considere a base: B = {(1, 0 , 0), (1, 1 , 0), (1, 1 , 1)} de R^3. Assinale a alternativa correspondente a um vetor que gera Ker(S ◦T ):
(a) (0, 2 , −1)B; (b) (− 1 , 2 , 1)B; (c) (0, 1 , −2)B; (d) (0, − 1 , 2)B; (e) (1, − 1 , 1)B.
Q3. Sejam T : R^3 → R^3 um operador linear e 〈·, ·〉 um produto interno em R^3. Sejam v 1 , v 2 e v 3 autovetores de T associados aos autovalores λ 1 , λ 2 e λ 3 , respectivamente. Se 〈v 1 , v 2 〉 = 0, 〈v 1 , v 3 〉 = 0 e 〈v 2 , v 3 〉 = 0, pode-se afirmar que:
(a) T ´e diagonaliz´avel; (b) todo autovetor de T ´e paralelo a v 1 , a v 2 ou a v 3 ; (c) T ´e diagonaliz´avel se e somente se os autovalores λ 1 , λ 2 e λ 3 s˜ao dois a dois distintos; (d) T n˜ao ´e diagonaliz´avel; (e) T ´e diagonaliz´avel se e somente se λ 1 λ 2 λ 3 6 = 0.
Q4. Seja T : R^3 → R^3 um operador linear cujo polinˆomio caracter´ıstico ´e pT (t) = −t^3 + 3t^2 + t − 6. Pode-se afirmar que:
(a) n˜ao existe um inteiro n ≥ 1 tal que T n^ ´e o operador identidade; (b) existe um inteiro n ≥ 1 tal que T n^ ´e o operador identidade; (c) existe um inteiro n ≥ 1 tal que T n^ ´e o operador nulo; (d) existe um inteiro n ≥ 2 tal que T n^ = T ; (e) T n˜ao ´e diagonaliz´avel.
Q5. Recorde que o tra¸co tr(X) de uma matriz quadrada X ´e a soma dos elementos de sua diagonal principal e que matrizes semelhantes possuem o mesmo tra¸co. Considere a matriz:
A =
2 1 2 1 2 3 2
∈ M 2 (R).
Tem-se que tr(A^5 − 2 A) ´e igual a:
(a) 27; (b)
2
(c) 28; (d)
2
(e) 26.
Q6. Seja T : R^5 → R^5 um operador linear com polinˆomio caracter´ıstico:
pT (t) = −ta(t − λ)b(t − μ)c, onde λ, μ ∈ R s˜ao n˜ao nulos e distintos e a, b, c > 0 s˜ao inteiros. Se:
dim
Vλ(T )
Vμ(T )
ent˜ao:
(a) T ´e diagonaliz´avel; (b) T n˜ao ´e diagonaliz´avel pois T n˜ao ´e injetor; (c) n˜ao podemos garantir que T seja diagonaliz´avel; (d) T n˜ao ´e diagonaliz´avel pois dim
Vλ(T )
dim
Vμ(T )
(e) T ´e sobrejetor.
Q10. Seja T : R^2 → R^3 a transforma¸c˜ao linear tal que:
[T ]BC =
onde: B = {(1, 0), (0, 1)}, C = {(1, 1 , 0), (0, 1 , 0), (0, 0 , 1)}. Dado (x, y) ∈ R^2 , se (a, b, c) = T (x, y), pode-se afirmar que a + b + c ´e igual a:
(a) 3x; (b) 2x + y; (c) x + 2y; (d) 3x + y; (e) x.
Q11. Seja T : M 2 (R) → P 2 (R) a transforma¸c˜ao linear tal que:
[T ]BC =
onde B =
1 1
1 1
1 1
0 1
e C = { 1 , t, t^2 }. Assinale a alternativa correta:
(a) dim
Ker(T )
(b) T ´e sobrejetora; (c) dim
Ker(T )
(d) T ´e injetora; (e) dim
Ker(T )
Im(T )
Q12. Seja T : E → E um operador linear, onde E ´e um espa¸co vetorial de dimens˜ao finita. Suponha que dim
Im(T )
= 1 e que T 2 6 = 0. Assinale a alternativa correta:
(a) T ´e diagonaliz´avel; (b) o polinˆomio caracter´ıstico de T pode n˜ao ter ra´ızes reais; (c) o polinˆomio caracter´ıstico de T pode ter alguma raiz complexa n˜ao real; (d) o polinˆomio caracter´ıstico de T s´o tem ra´ızes reais e T pode ter um autovalor cuja multiplicidade alg´ebrica ´e maior do que a multiplicidade geom´etrica; (e) o polinˆomio caracter´ıstico pT de T s´o tem ra´ızes reais e pode existir uma raiz α ∈ R de pT tal que a dimens˜ao de Ker(T − αI) ´e menor do que a multiplicidade de α como raiz de pT.
Q13. Considere as seguintes afirma¸c˜oes: (I) se α ´e uma raiz real do polinˆomio caracter´ıstico de um operador line- ar T num espa¸co vetorial de dimens˜ao finita ent˜ao α ´e um autovalor de T ; (II) ´e poss´ıvel encontrar um operador linear T num espa¸co vetorial de dimens˜ao finita e um autovalor λ de T tal que a dimens˜ao do espa¸co Ker(T − λI) seja maior do que a multiplicidade de λ como raiz do polinˆomio caracter´ıstico de T ; (III) se T : Rn^ → Rn^ ´e um operador linear, B ´e uma base de Rn, λ ´e um n´umero real e A ´e a matriz [T ]B − λI ∈ Mn(R) ent˜ao um vetor n˜ao nulo x = (a 1 ,... , an) ∈ Rn^ ´e autovetor de T com autovalor λ se e somente se:
A
a 1 a 2 .. . an
Assinale a alternativa correta:
(a) apenas a afirma¸c˜ao (I) ´e verdadeira; (b) as trˆes afirma¸c˜oes s˜ao verdadeiras; (c) apenas a afirma¸c˜ao (III) ´e verdadeira; (d) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (III) s˜ao verdadeiras; (e) apenas as afirma¸c˜oes (I) e (II) s˜ao verdadeiras.
Q14. Sejam E um espa¸co vetorial de dimens˜ao 3, T : E → E um operador linear, B uma base de E e a, b ∈ R. Sabendo-se que:
[T ]B =
0 a 0 0 b 0
pode-se afirmar que T N ˜AO ´e diagonaliz´avel se e somente se:
(a) a = 0 e b 6 = 0; (b) a = b; (c) a 6 = 0; (d) a = b = 0; (e) b 6 = 0.
