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1. INTRODUÇÃO
O olhar matemático de Galileu foi sem dúvida entre inúmeros e notórios episódios históricos, de diversos cientistas, fazer uso da Matemática nas Ciências Naturais. Conforme Geymonat (1997), o processo de matematização do pêndulo simples, foi o primeiro estudo de aplicação da matematização em fenômenos físicos de Galileu. Galileu iniciou seus próprios estudos matemáticos ao investigar o isocronismo das oscilações pendulares, em que o período de oscilação de um pêndulo é independente da sua amplitude (para pequenas oscilações apenas). É sabido que tal isocronismo já havia sido estudado pelo astrônomo árabe Ibn Yunus, mas estudiosos garantem que esse estudo era desconhecido na Europa e por Galileu. Para Burrowes e Farina (2005), nos séculos XVII e XVIII, a medição precisa do tempo era extremamente importante para a navegação. Nessa época, a medição de latitudes era feita com boa precisão, diferentemente da medição de longitude. Tal necessidade despertou o interesse de cientistas e governos de países como a Espanha e a Holanda ofereciam grandes prêmios para aqueles que resolvessem satisfatoriamente o problema da medição de longitudes. Para alguns biógrafos de Galileu, foi em 1583 que ele observou as oscilações de uma lâmpada no Domo de Pisa, e que o período de oscilações do candelabro, colocado em movimento pelo vento, não dependia se tais movimentos fossem rápidos ou lentos. Para tanto, ele comparou os períodos dessas oscilações contando sua própria pulsação. Drake (1981, p. 60) ressalta que o “que primeiro impressionou Galileu no pêndulo não foi apenas que oscilava para trás e para a frente em tempos iguais, mas que o tempo de oscilação continuava o mesmo quer o arco pelo qual oscilava fosse grande ou pequeno”. No ano de 1602, Galileu escreveu a Guidobaldo del Monte a respeito de seus estudos “e acrescentou a conjectura de que de qualquer ponto num círculo vertical um corpo chegaria ao ponto mais baixo no mesmo tempo, o que é apenas aproximadamente correto” (DRAKE, 1981, p. 59). Ainda segundo Drake, Guidobaldo tentou experiências usando o arco de uma peneira de cereais e constatou que o estudo de Galileu não estava correto, ao passo que Galileu respondeu que o
desnivelamento e a fricção podiam interferir e que podiam ser eliminadas, substituindo um pêndulo longo. Em uma carta de 29 de novembro de 1602 a Guidobaldo, Galileu insiste em tentar convencê-lo de que o movimento pendular é feito em tempos iguais, no mesmo quarto do círculo. Para tanto, ele faz uma demonstração com dois fios finos e longos AB e EF, fixos por um prego em A e em E, e duas bolas de chumbo iguais presas em B e F. A partir das linhas perpendiculares a AC e EI, elevou as bolas, sendo a elevação de B maior que de F e, então, as bolas foram soltas e descreveram, respectivamente, o arco maior BCD e o menor FIG. Figura 1 – Demonstração de Galileu. Fonte: Galilei (11, p. 98). Galileu ressalta que o arco BCD não é descrito em maior tempo do que o arco FIG. E afirma: O móvel B percorre o grande arco BCD, e retorna pelo mesmo DCB, e depois retorna para D, repetidas vezes; e o outro vai também a partir de F para G, e de lá volta em F, e da mesma forma fará repetidamente. [...] o móvel F não fará sua pequena oscilação mais frequente do que o enorme móvel B a sua, mas sempre andarão juntos (GALILEI, 1900, p. 98, tradução nossa). No decorrer dessa carta, Galileu faz ainda algumas comparações para convencer Guidobaldo e finaliza dizendo que ainda precisa demonstrar algumas situações. Nessa altura, seu trabalho com pêndulos sugeriu ao professor, médico e fisiologista italiano Santorio (1561-1636) a criação do pulsilogium, usado em diagnósticos médicos para medir a pulsação de seus pacientes. Em muitos casos, o pulsilogium é atribuído erroneamente a Galileu.
O período está relacionado diretamente ao comprimento do fio que mantém o corpo suspenso. Quanto maior o comprimento do fio, maior o período de oscilação. Outro fator que influi no período do pêndulo é o local em que o corpo é colocado para oscilar. Isso se traduz em uma dependência entre o período e a aceleração da gravidade no local do experimento. Quanto maior a aceleração da gravidade, menor o período do pêndulo. Existem inúmeros pêndulos estudados por físicos, já que estes descrevem-no como um objeto de fácil previsão de movimentos e que possibilitou inúmeros avanços tecnológicos. Alguns deles são os pêndulos físicos, de torção, cônicos, de Foucalt, duplos, espirais, de Karter e invertidos. Mas o modelo mais simples e que tem maior utilização é o pêndulo simples. Este pêndulo consiste em uma massa presa a um fio flexível e inextensível por uma de suas extremidades e livre por outra, representado da seguinte forma: Figura 3 - Massa Presa a um Fio Flexível Fonte: https://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php Quando afastamos a massa da posição de repouso e a soltamos, o pêndulo realiza oscilações. Ao desconsiderarmos a resistência do ar, as únicas forças que atuam sobre o pêndulo são a tensão com o fio e o peso da massa m. Desta forma:
Figura 4 - Componente da Força Fonte: https://www.sofisica.com.br/conteudos/Ondulatoria/MHS/pendulo.php A componente da força Peso que é dado por P.cosθ se anulará com a força de Tensão do fio, sendo assim, a única causa do movimento oscilatório é a P.senθ. Então: No entanto, o ângulo θ, expresso em radianos que por definição é dado pelo quociente do arco descrito pelo ângulo, que no movimento oscilatório de um pêndulo é x e o raio de aplicação do mesmo, no caso, dado por ℓ, assim: Onde ao substituirmos em F: Assim é possível concluir que o movimento de um pêndulo simples não descreve um MHS, já que a força não é proporcional à elongação e sim ao seno dela. No entanto, para ângulos pequenos (θ ≥ గ ଼ rad, o valor do seno do ângulo é aproximadamente igual a este ângulo.
2. OBJETIVO
Estudar o movimento periódico de oscilação de um pêndulo simples e determinar o valor da aceleração gravitacional local.
- MATERIAIS E MÉTODOS 3.1. Materiais Cronômetro (incerteza:±0,01s); Pêndulo simples com fio de comprimento alterável; Compasso (incerteza:±0,05 grau); Suportes de metal; Trena com precisão de ±0,05 mm. Figura 5: Foto do pêndulo usado Fonte: próprio autor
3.2. Medidas com Pêndulo Simples Foram feitas medidas do período de oscilação para 8 comprimentos diferentes do pêndulo (10cm, 20cm, 30cm, 40cm, 50cm, 60cm, 70cm e 80 cm), sendo que, em cada comprimento, se mediu o período três vezes com um cronômetro digital do celular. De modo a facilitar o procedimento, foi contado o tempo de oscilação de dez períodos do pêndulo, então, dividido o resultado final por dez. Vale lembrar que o modelo utilizado prevê o comportamento de um pêndulo para baixas amplitudes, portanto, para cada medida do período, foi definido uma amplitude de, no máximo, 10% do valor do comprimento do pêndulo. Há de se constatar que o comprimento do pêndulo se estende da extremidade superior do fio até o centro de massa da esfera. Portanto, foi tomado o comprimento como a extensão do fio até o centro da esfera, uma vez que seu centro de massa se aproxima de seu centro geométrico. Para esta medida, foi utilizada uma trena para medir o comprimento do fio.
Tabela 2 - Tabela de formulas FORMULAS Média 1 i i x X n
Desvio Padrão 2 1 ( ) 1 xm xi n
Incerteza Tipo A A n
Incerteza Tipo C 2 2 σ = c σA +σB Incerteza Relativa 100 C Xm
Incerteza da gravidade e* e g g g
Incerteza da Régua
B
x
Período de um pêndulo simples g l T 2 4.1. MÉDIA A média é encontrada a partir da já conhecida média aritmética, que consiste basicamente em fazer a soma das medidas encontradas por meio da aferição do objeto, e em seguida dividir pela quantidade de medidas que foram somadas. Observa-se na formula a seguir: 1 i i
x
X
n
4.1.1. MÉDIA DO COMPRIMENTO DO FIO 10 cm 1 7, 28 7, 25 7, 27 3 21, 3 7, 26667 i i x X n X X X s 4.1.2. MÉDIA DO COMPRIMENTO DO FIO 20 cm 9,77 9, 68 9, 9, 78 90 3 29 33 , 3 3 X X X s 4.1.3. MÉDIA DO COMPRIMENTO DO FIO 30 cm 10,53 10,97 10, 70 3 3 32, 20 10, 73333 X X X s 4.1.4. MÉDIA DO COMPRIMENTO DO FIO 40 cm 11, 70 11,50 11, 34, 3 3 0 11, 60 X X X s
4.1.8. MÉDIA DO COMPRIMENTO DO FIO 80 cm 17, 46 17, 40 17, 43 3 3 52, 29 17, 43000 X X X s Vale ressaltar que a unidade de todos os cálculos é o segundo (s). 4.2. DESVIO PADRÃO Desvio padrão é obtido pela raiz quadrada do quadrado da média menos a primeira medida, somando com o quadrado da segunda média menos a segunda medida, e assim sucessivamente, por fim dividi pelo número de termos menos um, de acordo com a equação abaixo: 2 1
x m x i n
4.2.1. DESVIO PADRÃO DO COMPRIMENTO DO FIO 10CM 2 1 2 2 2
xm xi n s
4.2.2. DESVIO PADRÃO COMPRIMENTO DO FIO 20CM 2 1 2 2 2
xm xi n s
4.2.3. DESVIO PADRÃO COMPRIMENTO DO FIO 30CM
2 1 2 2 2
xm xi n s
4.2.4. DESVIO PADRÃO COMPRIMENTO DO FIO 40CM 2 1 2 2 2
xm xi n s
4.2.5. DESVIO PADRÃO COMPRIMENTO DO FIO 50CM 2 1 2 2 2
xm xi n s
4.2.6. DESVIO PADRÃO COMPRIMENTO DO FIO 60CM 2 1 2 2 2
xm xi n s
4.3.2. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 20CM
0, 01106044 3 0, 01106044 1, 732050808 0, 06385748 A A A A n
4.3.3. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 30CM 0, 221885857 3 0, 221885857 1, 732050808 0, A A A A n
4.3.4. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 40CM 0, 3 0, 01 1, 732050808 0, 057735026 A A A A n
4.3.5. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 50CM
A A A A n
4.3.6. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 60CM
A A A A n
4.3.7. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 70CM
0 , 12679818 1 , 732050808 0 , 219620885 3 0 , 219620885 A A A A n
4.3.8. INCERTEZA TIPO A DO COMPRIMENTO DO FIO 80CM
A A A A n
4.4. INCERTEZA TIPO B
A incerteza do tipo B refere-se à possibilidade de erro do equipamento usado durante a aferição das medidas. Sendo assim, a incerteza da trena é de 0,01 mm. Já a incerteza da régua é de 0,5 mm e a do cronômetro é de 0,01s. Elas referem-se a incertezas sistemáticas, ou seja, são fáceis de prever e de serem consideradas nos cálculos.
4.5.4. INCERTEZA TIPO B DO COMPRIMENTO DO FIO 40CM
2 2 0, 05773503^2 0, 01^2 0, 05859465 c A B c c s
4.5.5. INCERTEZA TIPO C DO COMPRIMENTO DO FIO 50CM
2 2 2 2 0, 01732051 0, 01 0, 02 c A B c c s 4.5.6. INCERTEZA TIPO C DO COMPRIMENTO DO FIO 60CM 2 2 2 2 0, 00577350 0, 01 0, 01154701 c A B c c s
4.5.7. INCERTEZA TIPO C DO COMPRIMENTO DO FIO 70CM
2 2 2 2
c A B c
c s
4.5.8. INCERTEZA TIPO C DO COMPRIMENTO DO FIO 80CM
2 2 2 2 0, 01732051 0, 01 0, 02 c A B c c s
4.6. INCERTEZA RELATIVA
A incerteza relativa é expressa como uma fração ou, mais convenientemente, como uma porcentagem. Para obter a incerteza relativa em porcentagem, multiplique o resultado da divisão por 100. Em porcentagem, a incerteza relativa é: 100 Xm ^ ^ c 4.6.1. INCERTEZA RELATIVA DO COMPRIMENTO DO FIO 10CM 0 , 18 % 100 7 , 26667 0 , 01333333 100 Xm c 4.6.2. INCERTEZA RELATIVA DO COMPRIMENTO DO FIO 20CM 0 , 66 % 100 9 , 78333 0 , 06463573 100 Xm c
