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DEPARTAMENTO DE ENGENHARIA CIVIL
TEORIA DE ESTRUTURAS II
2009/2010 – 8º Semestre
DINÂMICA DE ESTRUTURAS
(SISTEMAS DE 1 GDL + MÉTODO DE RAYLEIGH)
Problema 1
Uma mesa pesada é suportada por quatro pernas de aço, sendo o seu período fundamental
quando vibra lateralmente de 0.50 seg. Depois de uma chapa de 50 kgf de peso ser aparafusada
ao tampo da mesa o período fundamental aumentou para 0.75 seg. Qual o peso da mesa e qual a
sua rigidez lateral?
Problema 2
Um electroíman que pesa 400 kgf e está suspenso por uma mola com uma rigidez de 5000 N / m
levanta um peso de 200 kgf. Determine a equação do movimento quando a corrente é cortada e
o peso é largado.
Problema 3
Considere o pórtico representado na figura. Suponha que se aplicou uma força de 9072 N ao
nível da viga infinitamente rígida e que se mediu um deslocamento horizontal na viga de 0.
cm. Sabendo que, quando a força é retirada de forma instantânea o pórtico fica com um período
natural de 1.40 seg e que na primeira leitura dos deslocamentos horizontais da viga se leu 0.
cm , calcule:
- o peso ao nível da viga;
- a frequência natural do pórtico;
- o coeficiente de amortecimento;
- o amortecimento, c , do pórtico;
- a frequência amortecida do pórtico.
Problema 4
Admita o pórtico representado na figura submetido a uma força de 135 kN ao nível das vigas
que são infinitamente rígidas. A dada altura, a rótula em F colapsa. Supondo que o coeficiente
de amortecimento é de 5%, que a massa é 56.25 ton / m e que EI = 3750 kNm 2 , escreva a equação
do movimento do pórtico.
- Calcule o deslocamento máximo da massa e o momento flector máximo no degrau devido a
uma força do tipo F ( t ) = 5×cos(70 t + 1.32) [kN].
- Calcule a deformação máxima na mola.
ζ = 0.
kθ = 7000 kNm / rad
M = 0.50 ton
EI = 5000 kNm^2
Problema 8
Considere o pórtico representado na figura, para o qual se admite, simplificadamente, que toda
a massa está concentrada ao nível da viga.
- Calcule a frequência própria de vibração da estrutura.
- Calcule o momento flector máximo nos pilares quando a estrutura é actuada pela força F.
ζ = 0.
F ( t ) = 20×sin(8 t ) [kN]
m = 2.0 ton / m
EI p = 5000 kNm 2
EI v = ∞
Problema 9
Considere a seguinte estrutura, com o grau de liberdade indicado, que é actuada pela força F.
Admita que os tirantes apenas resistem a esforços de tracção. Dados: ζ = 0.05; F ( t ) = 15×sin(4 t )
[kN]; M = 20.0 ton ; EA = 10000 kNm.
- Calcule a frequência própria de vibração da estrutura.
- Calcule a amplitude máxima de vibração.
- Calcule a força máxima nos tirantes.
Problema 10
Um automóvel desloca‐se ao longo de um viaduto de grande extensão constituído por tramos
de vão constante de 40 m. Por efeito de fluência do betão a longo prazo a flecha a meio tramo de
cada tramo é de 10.0 cm. A rasante do viaduto pode assim ser aproximada por uma curva
sinusoidal com amplitude de 5.0 cm e período de 40 m. O oscilador com um grau de liberdade
representado consiste numa idealização aproximada do automóvel, sendo a sua massa de 2.
ton , a rigidez da suspensão de 100 kN / m e o coeficiente de amortecimento de 40% do crítico.
- Calcule a amplitude máxima do deslocamento vertical do veículo quando este se desloca a
100 km / h.
- Calcule a velocidade do veículo para a qual ocorre ressonância.
Problema 11
Considere uma estrutura em consola à qual foi aplicada, de forma quase estática, uma força de
50 kgf. A força foi retirada instantaneamente tendo dado origem ao movimento representado no
gráfico.
- Determine a frequência própria da estrutura.
- Calcule o amortecimento.
- Colocando agora um vibrador mecânico na ponta da consola a vibrar em ressonância com a
estrutura, originando uma força sinusoidal de amplitude 1000 kgf , calcule o deslocamento,
velocidade e aceleração máximas no topo.
Problema 14
O reservatório de água representado na figura abaixo tem um peso de 3000 N quando está cheio
de água. A torre tem uma rigidez lateral de 25000 kN / m. Considerando que o comportamento
dinâmico da estrutura pode ser estudado com base num modelo de 1 GDL, estime o
deslocamento lateral do reservatório para cada uma das acções indicadas (recorra ao espectro
de resposta de deslocamentos para acções deste tipo). Despreze o amortecimento.
Problema 15
Um edifício de um só piso é idealizado como um pórtico de dois pilares metálicos rotulados na
base e ligados rigidamente a uma viga indeformável. Cada um dos pilares é constituído por um
perfil HEA260 ( I x = 104.5×10‐^6 m^4 ).
Problema 16
Considere o pórtico representado na figura, para a qual se admite que a totalidade da massa
está concentrada ao nível da viga e cujos pilares têm uma rigidez de flexão EI = 25000 kNm 2 .
- Determine o deslocamento transversal devido à força p ( t ) representada graficamente, para
os intervalos de tempo t < 0.2 seg e t > 0.2 seg. Despreze o amortecimento.
- Calcule o deslocamento e o momento flector máximo.
Problema 17
O reservatório referido no Problema 14 foi analisado para a acção sísmica caracterizada pelo
espectro de resposta indicado no RSA para o tipo 1, terreno tipo II. Considerou‐se um
coeficiente de amortecimento de 5%.
- Determine o valor de cálculo do deslocamento do reservatório e os diagramas de esforço
transverso e momento flector no fuste.
- O projectista concluiu que os esforços obtidos são excessivos e decidiu aumentar a
resistência do fuste aumentando as dimensões das secções tendo, por consequência, a
rigidez do reservatório aumentando para 75000 kN / m. Recalcule o deslocamento do
reservatório e os diagramas de esforço transverso e momento flector no fuste e compare os
resultados com os obtidos anteriormente.
- Calcule o reservatório com o fuste reforçado para a situação em que se encontra vazio ( M =
100 ton ). Verifique qual a influência da massa do reservatório na sua resposta.
Problema 18
Analise o pórtico do Problema 15 para a acção sísmica correspondente ao espectro de resposta
indicado no RSA para o sismo tipo 1, terreno tipo II. Considere um coeficiente de
amortecimento de 2%. Calcule o deslocamento e o momento flector máximos para as duas
situações seguintes e compare os resultados.
- Os pilares encontram‐se rotulados na fundação.
- Os pilares estão encastrados na fundação.
Problema 22
Considere a viga biapoiada representada na figura. Admita que os nós estão equidistantes, que
um quarto da massa estrutural fica concentrada nos graus de liberdade 1 e 3 e a restante no
outro grau de liberdade:
4
1 3
m L m m
e
2
m L m
. Determine a frequência própria da viga
pelo método de Rayleigh sendo a sua rigidez de flexão EI e o vão l.
Problema 23
Determine a frequência de vibração, aplicando o
método de Rayleigh, para a estrutura representada na
figura. Admita que a massas dos pisos 1, 2 e 3 são
iguais a m 1 = 200 ton , m 2 = 300 ton e m 3 = 400 ton e que a
rigidez dos elementos estruturais entre pisos iguais a k 1
= 120000 kN / m , k 2 = 240000 kN / m e k 3 = 360000 kN / m.
Problema 24
Considere a seguinte consola com uma massa concentrada na extremidade (despreze a inércia
de rotação da massa). Estime a frequência própria da estrutura.
- Pelo método de Rayleigh, admitindo uma deformada do tipo
3 3
2 y x a 0 a 1 x a 2 x a x (equação da deformada de uma consola devido a uma carga
aplicada na extremidade).
2. Pelo método de Rayleigh, admitindo uma deformada do tipo ^
2 l
1 cos
x yx
- Recorrendo ao método de Rayleigh simplificado com base numa discretização de 2 graus de
liberdade, um a meio vão e o outro no extremo da consola.
- Compare os resultados obtidos e comente as diferenças que encontra.
Problema 25
Considere a seguinte consola com uma mola na extremidade de rigidez 3
5 EI
l
k . Estime a
frequência própria da estrutura recorrendo ao método de Rayleigh.
1. Admitindo uma deformada do tipo
3 3
2 y x a 0 a 1 x a 2 x a x.
2. Admitindo uma deformada do tipo ^ ^
4 4
3 3
2 0 1 2 y x a a x a x a x a x (equação da
deformada de uma consola devido a uma carga uniformemente distribuída).
- Compare os resultados obtidos e comente.
Problema 26
Calcule a segunda frequência própria de vibração na direcção vertical da viga simplesmente
apoiada do Problema 20 pelo método de Rayleigh simplificado, admitindo que se concentrou a
massa, uniformemente, da viga em três graus de liberdade equidistantes. Admita que a massa
da viga é m = 48 ton / m , que o vão é de 25.0 m e que EI = 15× 6 kNm 2 .
