Solucion´ario
Curso de F´ısica B´asica
Volume 2
Escola Ol
´
ımpica
Gabriel O. Alves
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Junho de 2015
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Documento contém análises matemáticas de sistemas físicos em equilíbrio e oscilação, incluindo equações de movimento, equações de torque e equações diferenciais ordinárias. O texto aborda conceitos de mecânica clássica, como forças, energia potencial, momento angular e oscilações harmônicas.
Tipologia: Resumos
2022
1 / 224
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Curso de F´ısica B´asica
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Escola Ol´ımpica
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Junho de 2015
Conte´udo
- 1 Cap´ıtulo
- 1.1 Quest˜ao
- 1.2 Quest˜ao
- 1.3 Quest˜ao
- 1.4 Quest˜ao
- 1.5 Quest˜ao
- 1.6 Quest˜ao
- 1.7 Quest˜ao
- 1.8 Quest˜ao
- 1.9 Quest˜ao
- 1.10 Quest˜ao
- 1.11 Quest˜ao
- 1.12 Quest˜ao
- 1.13 Quest˜ao
- 1.14 Quest˜ao
- 1.15 Quest˜ao
- 1.16 Quest˜ao
- 1.17 Quest˜ao
- 1.18 Quest˜ao
- 1.19 Quest˜ao
- 1.20 Quest˜ao
- 2 Cap´ıtulo
- 2.1 Quest˜ao
- 2.2 Quest˜ao
- 2.3 Quest˜ao
- 2.4 Quest˜ao
- 2.5 Quest˜ao
- 2.6 Quest˜ao
- 2.7 Quest˜ao
- 2.8 Quest˜ao
- 2.9 Quest˜ao
- 2.10 Quest˜ao
- 2.11 Quest˜ao
- 2.12 Quest˜ao
- 2.13 Quest˜ao
- 2.14 Quest˜ao
- 2.15 Quest˜ao CONTE UDO´
- 3 Cap´ıtulo
- 3.1 Quest˜ao
- 3.2 Quest˜ao
- 3.3 Quest˜ao
- 3.4 Quest˜ao
- 3.5 Quest˜ao
- 3.6 Quest˜ao
- 3.7 Quest˜ao
- 3.8 Quest˜ao
- 3.9 Quest˜ao
- 3.10 Quest˜ao
- 3.11 Quest˜ao
- 3.12 Quest˜ao
- 3.13 Quest˜ao
- 3.14 Quest˜ao
- 3.15 Quest˜ao
- 3.16 Quest˜ao
- 3.17 Quest˜ao
- 3.18 Quest˜ao
- 3.19 Quest˜ao
- 3.20 Quest˜ao
- 3.21 Quest˜ao
- 3.22 Quest˜ao
- 3.23 Quest˜ao
- 3.24 Quest˜ao
- 4 Cap´ıtulo
- 4.1 Quest˜ao
- 4.2 Quest˜ao
- 4.3 Quest˜ao
- 4.4 Quest˜ao
- 4.5 Quest˜ao
- 4.6 Quest˜ao
- 4.7 Quest˜ao
- 4.8 Quest˜ao
- 4.9 Quest˜ao
- 4.10 Quest˜ao
- 4.11 Quest˜ao
- 4.12 Quest˜ao
- 4.13 Quest˜ao CONTE UDO´
- 4.14 Quest˜ao
- 4.15 Quest˜ao
- 4.16 Quest˜ao
- 4.17 Quest˜ao
- 4.18 Quest˜ao
- 5 Cap´ıtulo
- 5.1 Quest˜ao
- 5.2 Quest˜ao
- 5.3 Quest˜ao
- 5.4 Quest˜ao
- 5.5 Quest˜ao
- 5.6 Quest˜ao
- 5.7 Quest˜ao
- 5.8 Quest˜ao
- 5.9 Quest˜ao
- 5.10 Quest˜ao
- 5.11 Quest˜ao
- 5.12 Quest˜ao
- 6 Cap´ıtulo
- 6.1 Quest˜ao
- 6.2 Quest˜ao
- 6.3 Quest˜ao
- 6.4 Quest˜ao
- 6.5 Quest˜ao
- 6.6 Quest˜ao
- 6.7 Quest˜ao
- 6.8 Quest˜ao
- 6.9 Quest˜ao
- 6.10 Quest˜ao
- 6.11 Quest˜ao
- 6.12 Quest˜ao
- 6.13 Quest˜ao
- 6.14 Quest˜ao
- 6.15 Quest˜ao
- 6.16 Quest˜ao
- 6.17 Quest˜ao
- 6.18 Quest˜ao
- 7 Cap´ıtulo CONTE UDO´
- 7.1 Quest˜ao
- 7.2 Quest˜ao
- 7.3 Quest˜ao
- 7.4 Quest˜ao
- 7.5 Quest˜ao
- 7.6 Quest˜ao
- 7.7 Quest˜ao
- 7.8 Quest˜ao
- 7.9 Quest˜ao
- 8 Cap´ıtulo
- 8.1 Quest˜ao
- 8.2 Quest˜ao
- 8.3 Quest˜ao
- 8.4 Quest˜ao
- 8.5 Quest˜ao
- 8.6 Quest˜ao
- 8.7 Quest˜ao
- 8.8 Quest˜ao
- 8.9 Quest˜ao
- 8.10 Quest˜ao
- 8.11 Quest˜ao
- 8.12 Quest˜ao
- 8.13 Quest˜ao
- 8.14 Quest˜ao
- 8.15 Quest˜ao
- 8.16 Quest˜ao
- 8.17 Quest˜ao
- 8.18 Quest˜ao
- 8.19 Quest˜ao
- 9 Cap´ıtulo
- 9.1 Quest˜ao
- 9.2 Quest˜ao
- 9.3 Quest˜ao
- 9.4 Quest˜ao
- 9.5 Quest˜ao
- 9.6 Quest˜ao
- 9.7 Quest˜ao
- 9.8 Quest˜ao
- 9.9 Quest˜ao CONTE UDO´
- 9.10 Quest˜ao
- 9.11 Quest˜ao
- 9.12 Quest˜ao
- 9.13 Quest˜ao
- 10 Cap´ıtulo
- 10.1 Quest˜ao
- 10.2 Quest˜ao
- 10.3 Quest˜ao
- 10.4 Quest˜ao
- 10.5 Quest˜ao
- 10.6 Quest˜ao
- 10.7 Quest˜ao
- 10.8 Quest˜ao
- 10.9 Quest˜ao
- 10.10Quest˜ao
- 10.11Quest˜ao
- 10.12Quest˜ao
- 10.13Quest˜ao
- 10.14Quest˜ao
- 10.15Quest˜ao
- 10.16Quest˜ao
- 10.17Quest˜ao
- 10.18Quest˜ao
- 10.19Quest˜ao
- 10.20Quest˜ao
- 11 Cap´ıtulo
- 11.1 Quest˜ao
- 11.2 Quest˜ao
- 11.3 Quest˜ao
- 11.4 Quest˜ao
- 11.5 Quest˜ao
- 11.6 Quest˜ao
- 11.7 Quest˜ao
- 11.8 Quest˜ao
- 11.9 Quest˜ao
- 11.10Quest˜ao
- 11.11Quest˜ao
- 11.12Quest˜ao
- 11.13Quest˜ao
- 11.14Quest˜ao
- 11.15Quest˜ao
- 11.16Quest˜ao
- 11.17Quest˜ao
- 11.18Quest˜ao
- 12 Cap´ıtulo
- 12.1 Quest˜ao
- 12.2 Quest˜ao
- 12.3 Quest˜ao
- 12.4 Quest˜ao
- 12.5 Quest˜ao
- 12.6 Quest˜ao
- 12.7 Quest˜ao
- 12.8 Quest˜ao
- 12.9 Quest˜ao
1 CAP´ITULO 1
1 Cap´ıtulo 1
I1.1 Quest˜ao 1
A press˜ao no ponto B, devido a coluna de ´agua ´e:
PB = P 0 + ρ 0 gh 0 Onde ρ 0 representa a densidade da ´agua e P 0 a press˜ao atmosf´erica. A press˜ao no ponto C ´e devido a press˜ao que a coluna de ´agua exerce na linha na altura do ponto B somada com a press˜ao devido `a coluna de ´oleo de altura h 1 , desse modo a press˜ao em C vale:
PC = PB + ρ 1 gh 1 = P 0 + ρ 0 gh 0 + ρ 1 gh 1 Por fim, sabemos que a contribui¸c˜ao devido a press˜ao no ponto A e a coluna de merc´urio de altura h 2 na altura da linha que passa pelo ponto C deve ser iguala Pc, deste modo:
PC = PA + ρ 2 gh 2 =⇒ PA = P 0 + ρ 0 gh 0 + ρ 1 gh 1 − ρ 2 gh 2 Substituindo pelos valores num´ericos dados no enunciado e utilizando a con- vers˜ao 1atm ≈ 1. 01 × 105 P a (E tamb´em realizando a convers˜ao de g para kg e de cm para m):
PA = 1. 01 × 105 + 1000 × 9. 81 × 0 .1 + 800 × 9. 81 × 0. 05 − 13600 × 9. 81 × 0. 2
Efetuando os c´alculos:
PA = 75690P a ≈ 0. 75 atm
I1.2 Quest˜ao 2
No lado esquerdo do reservat´orio a press˜ao na altura H vale p 1 , j´a para o lado direito, a press˜ao exercida pela coluna de l´ıquida na mesma altura ´e:
p = p 2 + ρg(h + H) As duas press˜oes devem se igualar, portanto:
p 1 = p 2 + ρg(h + H) =⇒ p 1 − p 2 = ρg(h + H)
1 CAP´ITULO 1
F = ρg
A
zdA
Mas lembre-se que a coordenada central centr´oide de uma placa homogˆenea pode ser obtido a partir de :
z =
A
A
zdA
Assim: ∫
A
zdA = zA
Deste modo a for¸ca exercida pelo l´ıquido ´e:
F = ρgzA
b) O torque dτ aplicado em casa uma das tiras infinitesimais ´e o produto entre a for¸ca aplicada sob a tira e a distˆancia em rela¸c˜ao ao eixo OO′, isto ´e, z:
dτ = zdF = ρgz^2 dA
Integrando, o torque total ´e:
τ = ρg
z^2 dA = ρgI 0 (1.4.1)
Agora, sabemos que esse torque ´e equivalente ao torque resultante devido a for¸ca F aplicada no centro das press˜oes C 0 , que est´aa uma distˆancia vertical z 0 da origem. Deste modo o torque, em termos de z 0 ´e:
τ = z 0 F = z 0 ρgzA (1.4.2)
Igualando as express˜oes (1.4.1) e (1.4.2) podemos obter z 0 :
z 0 ρgzA = ρgI 0
Isolando z 0 chegamos em:
z 0 =
I 0
zA
1.5 Quest˜ao 5
I1.5 Quest˜ao 5
a) Como a comporta ´e vertical e retangular, a coordenada vertical de seu centr´oide ´e simplesmente z = h 2 e sua ´area ´e A = hl. Assim, utilizando o resultado do item a) do exerc´ıcio anterior, a for¸ca encontrada ´e:
F =
ρglh^2
O centro das press˜oes pode ser encontrado a partir do resultado encontrado no item b do exerc´ıcio anterior:
z 0 =
I 0
zA Calculando I 0 (Lembre-se que dA = ldz):
I 0 =
z^2 dA = l
∫ (^) h
0
z^2 dz = l
h^3 3 Como z = h 2 e A = hl, o centro de press˜oes ´e:
z 0 =
h 3 b) Vimos que o torque resultante ´e dado por:
τ = z 0 .F =
h 3
ρglh^2 =⇒ hmax = 3
6 τ ρgl Substituindo pelos valores num´ericos e resolvendo o valor encontrado para a altura m´axima admiss´ıvel ´e:
hmax = 3
6 × 150 × 103
1000 × 9. 81 × 3
≈ 3. 1 m
I1.6 Quest˜ao 6
I1.7 Quest˜ao 7
A ´area compreendida pela base do pist˜ao ´e:
A =
π 4
(D^2 − d^2 )
Assim, a press˜ao devido ao peso do pist˜ao ´e:
1.9 Quest˜ao 9
Como cada cavalo consegue exercer uma tra¸c˜ao de 80kgf o n´umero m´ınimo de cavalos ´e:
n = d
e = 13 Cavalos
I1.9 Quest˜ao 9
O empuxo sobre o iceberg ´e:
E = ρaVsg Onde ρa representa a densidade da ´agua e Vs o volume do iceberg que est´a submerso. Como o sistema est´a em equil´ıbrio o empuxo deve se igualar `a for¸ca peso, sendo V o volume total do iceberg e ρg sua densidade, temos que:
E = P =⇒ ρaVsg = mg = ρV g =⇒
VS
V
ρ ρa A fra¸c˜ao do iceberg que fica submersa ´e:
f =
VS
V
ρ ρa
I1.10 Quest˜ao 10
a) Na situa¸c˜ao inicial, enquanto gelo flutua, a for¸ca peso ´e igual ao empuxo, por- tanto ´e v´alida a rela¸c˜ao:
m = ρVs Onde m representa a massa de gelo, ρ a densidade da ´agua e Vs o volume de gelo submerso. Al´em disso, vamos considerar que o volume inicial de ´agua no copo
- o volume do gelo submerso vale V 0. Ap´os o completo derretimento o volume total de ´agua passa a ser V 0 somado com o volume de ´agua proveniente do gelo derretido, descontando o volume de gelo previamente submerso, portanto temos que:
Vf = V 0 − Vs +
m ρ O termo mρ representa o volume de ´agua proveniente do gelo derretido. A partir da primeira express˜ao m = ρVs conclu´ımos que mρ = Vs, a equa¸c˜ao anterior se torna:
1 CAP´ITULO 1
Vf = V 0 − Vs + Vs = V 0
Ou seja, o volume final n˜ao se altera e o n´ıvel de ´agua no copo n˜ao se altera. b)
I1.11 Quest˜ao 11
Ap´os a imers˜ao do dens´ımetro na ´agua a calibra¸c˜ao o volume abaixo da gradua¸c˜ao ”1”´e V 0 , que ´e tamb´em o volume submerso. Como o empuxo se iguala ao peso do dens´ımetro, temos que:
ρaV 0 g = mg =⇒ ρaV 0 = ρdV Onde ρd representa a densidade do dens´ımetro, V seu volume total e ρa repre- senta a densidade da ´agua. Ap´os ser mergulhado em outro l´ıquido de densidade ρ o dens´ımetro se eleva a uma altura h em rela¸c˜ao a marca ”1”, e volume submerso passa a ser Vs = V 0 − Ah. Igualando o empuxo ao peso:
ρ ( ︸V 0 −︷︷ Ah ︸) Vs
g = mg = ρdV g = ρaV 0 g
Como a densidade relativa entre o l´ıquido e a ´agua ´e a raz˜ao ρ/ρa, ap´os mani- pular a equa¸c˜ao anterior o resultado obtido ´e:
ρ ρa
V 0
V 0 − Ah
I1.12 Quest˜ao 12
O empuxo, juntamente com a for¸ca externa aplicada, deve se igualar `a for¸ca peso. Desse modo:
E + Fe = P O empuxo ´e igual ao peso da massa de ´agua deslocada, e a for¸ca externa vale
- 85 kgf = 2. 85 g N. Sendo ρ a densidade da coroa e V = 0. 3 l seu volume, partindo da express˜ao anterior temos que (O valor utilizado para a densidade da ´agua est´a em kg/l, desse modo ρa = 1kg/l):
ρaV g + 2. 85 g = ρV g Isolando ρ para encontrar a densidade da coroa:
1 CAP´ITULO 1
I1.14 Quest˜ao 14
O sistema em quest˜ao ´e similar `aquele discutido na se¸c˜ao 1.4 do livro, do l´ıquido em rota¸c˜ao. E poss´´ ıvel encontrar uma express˜ao para a superf´ıcie livre utilizando o mesmo procedimento. Utilizando a f´ormula obtida no livro:
z =
ω^2 2 g
r^2
E tomando r = d = 0. 3 m, podemos encontrar a altura h = z da coluna:
h =
ω^2 d^2 2 g
102 × 0. 32
2 × 9. 81
≈ 0. 46 m
I1.15 Quest˜ao 15
Devido a acelera¸c˜ao horizontal, o l´ıquido no copo tomar´a a seguinte forma na iminˆencia de transbordar :
1 cm
5 cm
θ
θ (^) g
amax
Figura 1: Figura da quest˜ao 15. A primeira figura representa o copo sujeito a uma acelra¸c˜ao nula, j´a na figura central h´a a representa¸c˜ao do l´ıquido no copo sujeito `a acelra¸c˜ao m´axima e na iminˆencia de derramar a ´agua. A figura na direita representa os vetores acelera¸c˜ao, o vetor na vertical representa a acelera¸c˜aod a gravidade, o vetor na horizontal representa a acelera¸c˜ao m´aximo horizontal e o vetor com inclina¸c˜ao θ representa o vetor da acelera¸c˜ao resultante.
Analisando o triˆangulo:
1 cm
5 cm
θ
Assim, a tangente do ˆangulo θ ´e:
1.16 Quest˜ao 16
tan θ =
Agora fazendo o mesmo para o outro triˆangulo:
g
amax
θ
A acelera¸c˜ao m´axima ´e:
tan θ =
amax g
=⇒ amax =
g 5
m s^2
I1.16 Quest˜ao 16
a) As for¸cas agindo sobre a esfera superior s˜ao o peso (vertical para baixo), a tra¸c˜ao (vertical para baixo) e o empuxo (pelo ´oleo, vertical para cima), portanto temos que para o primeiro corpo vale a igualdade:
Eoleo = m 1 g + T J´a para a esfera inferior, as for¸cas agindo s˜ao a for¸ca peso (vertical para baixo), a tra¸c˜ao (vertical para cima) e o empuxo devido ao ´oleo e a ´agua (ambos vertical para cima):
Eoleo + Eagua = m 2 g − T A massa da esfera superior pode ser escrita como m 1 = ρV , e a da esfera superior, que ´e seis vezes mais densa pode ser escrita como m 2 = 6ρV. Deste modo, podemos escrever o seguinte sistema: { I) ρoleo V 2 g = ρV g + T II) ρoleo V 2 g + ρagua V 2 g = 6ρV g − T
Fazendo I) + II) podemos eliminar T , obtendo:
1.18 Quest˜ao 18
O termo P ρg^0 vale 10.3, a express˜ao anterior se torna uma equa¸c˜ao de segundo grau:
h^2 − 21. 3 h + 24 = 0 =⇒ h 1 , 2 =
21. 32 − 4 × 1 × 24
2 × 1
As ra´ızes obtidas s˜ao:
h 1 = 20. 1 m, h 1 = 1. 2 m Como h 1 ´e maior que o comprimento da campˆanula, essa resposta representa uma situa¸c˜ao absurda, a altura da coluna de ´agua dentro da campˆanula ´e ent˜ao h = h 2 = 1.2, isso representa uma fra¸c˜ao de:
f =
I1.18 Quest˜ao 18
As for¸cas agindo sob o bal˜ao s˜ao o empuxo (vertical para cima) e a for¸ca peso (vertical para baixo), ent˜ao a for¸ca ascencional ´e:
Fasc = E − P Sendo ρ 0 a densidade do ar, ρ a densidade do hidrogˆenio e r seu raio:
Fasc = ρ 0 V g − ρV g =
4 πr^3 3
g(ρ 0 − ρ)
Substituindo pelos valores dados no enunciado:
Fasc =
4 π 53 3
(1. 29 − 0 .0899) × 9 .81 = 6164. 32 N = 628kgf
I1.19 Quest˜ao 19
Sabemos que a densidade de for¸ca volum´etrica ´e igual ao gradiente de press˜ao, isto ´e:
f = ∇P Para o flu´ıdo em quest˜ao a ´unica for¸ca volum´etrica atuando ´e a gravitacional, que vale f = ρg, assim:
∇P = ρg
1 CAP´ITULO 1
Como a press˜ao s´o varia com a altura, temos que:
dP dh
= ρg = (ρ 0 + ch)g =⇒ dP = g(ρ 0 + ch)dh
Integrando de h 0 = 0 at´e h e de P 0 at´e P : ∫ (^) P
P 0
dP = g
∫ (^) h
0
(ρ 0 + ch)dh
Ap´os resolver as integrais a resposta obtida ´e:
P = P 0 + ρ 0 gh + cg
h^2 2
I1.20 Quest˜ao 20
O volume dos blocos de alum´ınio e cobre ´e, respectivamente Val = 10/2700 =
- 7 × 10 −^3 m^3 e Vcu = 10/11400 = 0. 88 × 10 −^3 m^3. O novo peso dos blocos, quando medidos no ar, ser´a:
P (^) Al′ = P − EAl = P − ρ 0 VAlg = 10 × 9. 81 − 1. 29 × 3. 7 × 10 −^3 × 9 .81 = 98. 0532 N
para o alum´ınio, e:
P (^) Cu′ = P − ρ 0 VCug = 10 × 9. 81 − 1. 29 × 0. 88 × 10 −^3 × 9 .81 = 98. 0888 N
para o cobre. Portanto conclu´ımos que o Alum´ınio pesa menos, o que era de se esperar, pois o empuxo sobre o bloco de alum´ınio ´e maior, visto que seu volume tamb´em ´e maior. Computando a diferen¸ca entre os pesos:
∆P = P (^) Cu′ − P (^) Al′ = 98. 0888 N − 98. 0532 N = 0. 0356 N A diferen¸ca de massa correspondente ´e:
∆m =
∆P
g
≈ 3. 63 g