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Capítulo 1
INTRODUÇÃO
Tomar decisões é uma tarefa básica da gestão e decidir é escolher ou optar entre alternativas viáveis ou cursos de ação. O processo de decisão, que muitas vezes ocorre de forma inconsciente, pode ser descrito da seguinte forma:
FIGURA 1.1: Representação Simplificada do Processo de Tomada de Decisão
O processo de decisão pode se mais ou menos formalizado e basear-se numa abordagem quantitativa (uso de experiência e opiniões próprias ou alheias) ou quantitativa (uso de métodos matemáticos e/ou estatísticos). Nesta linha de se utilizar uma óptica científica para a tomada de decisão, se enquadra a Pesquisa Operacional – PO – uma abordagem sistemática e racional para problemas que dizem respeito ao controle de sistemas e à tomada de decisões para obter o melhor resultado, a partir das informações disponíveis. Desde a primeira revolução industrial o mundo tem apresentado um notável desenvolvimento e crescimento em tamanho e complexidade de suas organizações, dificultando a alocação de recurso entre as suas atividades. Entretanto o termo PO é atribuído conjunto de processos e métodos de análise que assessoraram as forças militares durante a Segunda Guerra Mundial (1939). A PO foi desenvolvida por grupos de acadêmicos, inicialmente criados na Inglaterra, para especular sobre problemas considerados novos e que não se enquadravam às tradicionais rotinas bélicas táticas e estratégicas. Dentre os problemas estudados por esses grupos estão incluídos: uso eficiente do radar, uso de canhões antiaéreos, táticas de bombardeio a submarinos
Definição do Problema
Formulação do Objetivo
Avaliação das Alternativas
Escolha do Melhor Curso de Ação
e escoltas a navios. Esta fórmula de abordar problemas complexos estimulou, ao final da guerra, a manutenção destes grupos, porém redirecionando seus esforços à gerência civil. Em 1947, George Dantzig, apresentou uma forma sistêmica na resolução de problemas de Programação Linear, o Método Simplex, que se revelou muito eficaz. Este foi um marco definitivo na afirmação da Pesquisa Operacional e a programação linear tornou-se uma técnica explícita e permanece, ainda hoje, como a mais básica e útil de todas as técnicas de Pesquisa Operacional.
1.1 Tipos Básicos de Modelos de Pesquisa Operacional Modelos de Alocação Quando existe um número de atividades para serem realizadas, caminhos alternativos de fazê-las e recursos limitados ou meios para executar cada atividade, há um problema de alocação destes recursos escassos. O problema é combinar as atividades e os recursos de uma maneira ótima para que a eficiência seja maximizada, isto é, o lucro seja máximo e os custos sejam mínimos. Tipo simples de alocação que envolve a distribuição de um número de tarefas para um mesmo número de recursos é um problema de designação. Este tipo de problema torna-se complexo se alguma das tarefas requer mais que um recurso e se os recursos podem ser usados para mais de uma tarefa. Um exemplo disto é o problema de transportes.
Modelos de Competição A teoria dos jogos dá um conceito estrutural para a formulação de problemas de competição e tem sido usada para desenvolver estratégias de publicidade, políticas de preços e escolha do momento oportuno para a introdução de novos produtos. O processo de Markov é um método de predizer variações competitivas no tempo de clientes fiéis a uma marca.
Técnicas de Otimização Clássicas Técnicas associadas ao procedimento de cálculo de máximos e mínimos de funções. Quando uma característica pode ser representada por uma equação de uma variável representada graficamente por uma curva contínua uniforme, os valores de máximo e mínimo da curva podem ser obtidos pelo conjunto das primeiras derivadas iguais a zero. Então, o sinal algébrico da segunda derivada daquele conjunto de pontos é examinado para a obtenção da solução do problema. Quando dois parâmetros estão envolvidos, por exemplo, x e y para determinar a variável z, o máximo e mínimo podem ser encontrados pela aplicação de derivadas parciais, num processo similar ao empregado para uma variável.
Modelos de Reposição Problemas de reposição são geralmente de dois tipos:
Um problema a ser resolvido pressupõe um conjunto de incógnitas a serem determinadas e um conhecimento de leis que regem o problema. Um problema de programação matemática é um problema de otimização no qual o objetivo e as restrições são expressas como funções matemáticas de relações funcionais. Os problemas de programação matemática que serão estudados na disciplina de Introdução à Pesquisa Operacional são da forma:
Otimizar: z f ( x 1 , x 2 ,..., xn )
Sujeito a: g 1 ( x 1 , x 2 ,..., xn ) b 1
g 2 ( x 1 , x 2 ,..., xn )^ = b 2
gm ( x 1 , x 2 ,..., xn ) bm Alguns casos particulares de PM são: Programação Linear, Programação Inteira, Programação Não-Linear e Programação Dinâmica.
1.2.1 Programação Linear A Programação Linear – PL – é um caso particular dos modelos de programação em que as variáveis são contínuas e apresentam comportamento linear, tanto em relação às restrições como à função objetivo. Assim, um problema de programação matemática (1.4) é linear se (1.1) e (1.2) forem funções lineares dos respectivos argumentos, isto é, se
f ( x 1 , x 2 ,..., xn ) c 1 x 1 c 2 x 2 ... cnxn (1.5)
gi ( x 1 , x 2 ,..., xn ) ai 1 x 1 ai 2 x 2 ... ainxn (1.6)
ondecj e aij ( i =1, 2,...,m e j =1, 2,...,n ) são constantes conhecidas.
1.2.2 Programação Inteira A Programação Inteira – PI – pode ser entendida como um caso específico da Programação Linear e se caracteriza no momento em que qualquer variável não puder assumir valores contínuos, ficando condicionada a assumir valores discretos. A rigor o nome mais correto para a Programação Inteira é Programação Linear Inteira. Quando todas as variáveis devam possuir valores inteiros, o modelo é denominado de um problema de Programação Inteira Pura, caso contrário, é denominado de um problema de Programação Inteira Mista.
1.3.3 Programação Não-Linear Os modelos empregados em PL são lineares, tanto na função objetivo quanto nas restrições. Este fato é, sem dúvida, “a maior das restrições” impostas sobre um modelo de Programação. Em grande parte das aplicações, modelos lineares refletem apenas aproximações dos modelos reais. Fenômenos físicos ou
econômicos são geralmente melhor representados por modelos não-lineares. A maioria das não-linearidades englobadas em um modelo de programação está dentro de duas principais categorias:
- Relações observadas empiricamente: variações não-proporcionais em custos, resultados de processos e características de qualidade.
- Relações deduzidas estruturalmente: fenômenos físicos, deduzidos matematicamente e regras administrativas. Assim, a Programação Não-Linear – PNL – é um modelo de otimização que exibe qualquer tipo de não-linearidade, seja na função objetivo ou em qualquer de suas restrições.
1.2.4 Programação Dinâmica A Programação Dinâmica procura resolver o problema de otimização através da análise de uma seqüência de problemas mais simples do que o problema original. A resolução do problema original de N variáveis é caracterizada pela determinação de uma variável e pela resolução de um problema que possua uma variável a menos (n-1). Este por sua vez é resolvido pela determinação de uma variável e pela resolução de um problema de (n-2) variáveis e assim por diante.
expressá-las matematicamente. Passo 3: Expressar todas as condições implícitas. Tais condições não são estipuladas explicitamente no problema, mas se tornam evidentes durante a modelagem. Geralmente envolvem requisitos de não negatividade ou de variáveis inteiras.
As características do s modelos de PL são: a. As variáveis de decisão são as incógnitas a serem determinadas na solução do modelo. Os parâmetros representam as variáveis controladas do sistema estudado. Na maioria dos sistemas reais, as restrições de não negatividade (variáveis positivas ou nulas) aparecem como condição natural. b. As relações de interdependência entre as variáveis de decisão se expressam por um conjunto de equações e/ou inequações lineares. Essas relações são denominadas restrições. Assim, as restrições limitam os valores possíveis das variáveis de decisão, representando as limitações físicas do sistema. c. Um critério de escolha das variáveis de decisão constituído por uma função linear das variáveis. Esta função é denominada função objetivo e seu valor deve ser otimizado (maximizado ou minimizado). Em geral, a solução ótima do modelo é obtida quando os melhores valores correspondentes das variáveis de decisão são substituídos na FO, enquanto satisfazem as restrições.
O aspecto matemático de um modelo geral de PL é dado a seguir. As variações do modelo geral constituem em maximizar Z ou ter restrições com o sinal “=” ou “”.
minimizar Z c 1 x 1 ... cn xn (2.1)
sujeito a: a 11 x 1 ... a 1 n xn b 1 (2.2)
am 1 x 1 ... amnxn bm
x 1 0 ,..., xn 0 (2.3)
ondeci, aij e bj são constantes reais que estão disponíveis para a formulação do problema ( dados do problema ). As variáveis do problema são x 1 , x 2 ,..., xn para as quais buscamos valores reais que: I. satisfaçam (2.2) e (2.3) II. atribuam o menor valor à função Z definida em (2.1).
2.2.1 Notação Matricial O problema descrito pelas equações (2.1), (2.2) e (2.3) pode ser escrito em formas mais compactas como a notação matricial. Sejam
m mn
n
a a
a a
A
1
11 1
c n
c
c
1
x n
x
x
1
b m
b
b
1
Dizemos que A^ ^ Rm xn (conjunto das matrizes mxn) e x^ ^ Rn , c^ ^ Rn , b Rm. O problema (3.1) – (3.3) pode ser escrito como:
otimizar Z ( x ) ctx (2.4)
s.a.
com 0
x
Ax b
onde: o vetor c é chamado vetor de custos ; o vetor b de vetor de recursos ; a matriz A de matriz dos coeficientes ; e, o vetor x de vetor de variáveis ou incógnitas. Considerando
a i^ ( ai 1 ain )
outra forma matricial que, por conveniência pode ser utilizada é seguinte:
otimizar Z ( x ) ctx (2.5)
sa
1
1
x
a x b
ax b
m
m
O modelo é então testado e, após validação das soluções obtidas, ele é implantado. Como um modelo é mais uma representação ideal do que exata, só se pode afirmar que a solução ótima para o modelo será provavelmente a melhor possível para o problema real, devido aos fatores imponderáveis e as incertezas associadas ao problema.
2.3 Modelagem Matemática Inicialmente podem aparecer algumas dificuldades para modelar problemas, pois a habilidade em escrever um problema matemático depende diretamente da prática. Além disso, só se escreve bem em uma linguagem quando se conhece com exatidão o significado de cada termo, assim, um conhecimento maior da teoria leva a uma habilidade maior em formular problemas. A “era da informática” trouxe consigo uma ilusão de que podemos resolver os problemas, sem precisar saber como resolvê-los. Os softwares são importantes ferramentas na
fabricado tem um custo adicional de $14 relativo à mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por Giapetto para maximizar seu lucro semanal. Os passos para a formulação do modelo matemático são: Primeiro passo definir as variáveis de decisão Segundo Passo definição da função objetivo Terceiro Passo definição das restrições Quarto Passo elaboração do modelo
Exemplo 2. Um fazendeiro deseja otimizar as plantações de arroz e milho na sua fazenda. O Fazendeiro quer saber as áreas de arroz e milho que devem ser plantadas para que o seu lucro nas plantações seja máximo. O seu lucro por unidade de área plantada de arroz é 5u.m. e 2 u.m. por unidade de área plantada de milho. As áreas plantadas de milho e arroz não devem ser maiores que 3 e 4, respectivamente, devido à demanda destas culturas. O consumo total de homens- hora nas duas plantações não deve ser maior que 9. Cada unidade de área plantada de arroz consome 1 homens-hora e 2 homens-hora para cada unidade de área planta de milho.
Exemplo 2. A Direção de Marketing de uma empresa de mobiliário metálico de escritório sugere o lançamento de um novo modelo de mesa e de estante em substituição aos modelos atuais. A direção não vê dificuldade de colocação no mercado para as estantes, enquanto que aconselha que a produção mensal de mesas não ultrapasse 160 unidades. Após estudos realizados pela Direção de Produção, conclui-se que: A disponibilidade mensal do Departamento de Estampagem é de 720 horas- máquina (H-M); A disponibilidade mensal do Departamento de Montagem e acabamento é de 880 horas-homem (H-H); Cada mesa necessita de 2 H-M de Estampagem e 4 H-H de Montagem e Acabamento;
Cada estante necessita de 4 H-M de Estampagem e 4 H-H de Montagem e Acabamento. Por outro lado, as margens brutas unitárias estimadas são de 6000 u.m. (unidade monetária). Para as mesas e 3000 u.m. para as estantes. A empresa pretende determinar o plano de produção mensal para estes novos modelos que maximiza a margem bruta.
Exemplo 2. Um criador de porcos pretende determinar as quantidades de cada tipo de ração que devem ser dadas diariamente a cada animal de forma a conseguir certa quantidade nutritiva a um custo mínimo. Os dados relativos ao custo de cada tipo de ração, às quantidades mínimas diárias de ingredientes nutritivos básicos a fornecer a cada animal, bem como as quantidades destes existentes em cada tipo de ração (g/Kg) constam na tabela abaixo:
Granulado Farinha Quantidade mínima desejada Carboidratos 20 50 200 Vitaminas 50 10 150 Proteínas 30 30 210 Custo (u.m./kg) 10 5
Supondo que um novo produto deva ter um percentual bi do componente i ( i=1,2,...,m ). Se o custo por unidade (por exemplo: R$/Kg) de cada ingrediente cj ( j=1,2,...,n )é conhecido, como um novo produto pode ser produzido de tal forma que satisfaça as propriedades desejadas e que o custo seja mínimo possível?
Formulação Matemática As incógnitas deste problema podem ser: xj = quantidade do ingrediente j em uma unidade do novo produto Hipóteses de Linearidade: Se aij é a quantidade do componente i em uma unidade do ingrediente j , então aijxj é a quantidade do componente i em xj unidades e se uma unidade do ingrediente j custa cj então xj unidades custa cjxj. Se uma unidade dos ingredientes j e k tem aij e aik de componentes i respectivamente, então as duas unidades obtidas pela mistura dos ingredientes j e k terão ( aij + aik ) de componente i (“reações que produzemalterações insignificantes devem ser desconsideradas”). Assim, pode-se escrever a quantidade do componente i se xj unidades do ingrediente j ( j=1,2,...,n ) forem misturadas e se impor a exigência do problema:
ai 1 x 1 ainxn bi , i 1 , , m (3.1)
Tem-se ainda a restrição que define que uma quantidade do novo produto deve ser produzida:
x 1 x 2 xn 1 (3.2)
Além disso, xj ^0 ,^ j ^1 ,, n e o custo total será
Z c 1 x 1 c 2 x 2 cn xn. O modelo matemático é, portanto:
minimizar Z c 1 x 1 c 2 x 2 cn xn (3.3)
s.a. i
n
j
a^ ij xj b
1
, i^ ^1 ,^ , m
1 1
^
n
j
xj
xj 0 , j 1 , , n
Problema de Adubagem Um agricultor deseja adubar um terreno com 4 tipos de adubos encontrados no mercado. As necessidades do terreno (g) em N (Nitrato), K (potássio) e P (fósforo); as composições (g/Kg) e preços (u.m.=unidade monetária) dos adubos são dados pela tabela:
N P K Preço por unidade Adubo 1 10 10 100 5 Adubo 2 10 100 30 6 Adubo 3 50 20 20 5 Adubo 4 20 40 35 15 Necessidade do terreno 140 190 205
O agricultor sabe que as quantidades em (N, P, K) não podem superar 5% das necessidades do terreno. Ele deseja saber as quantidades necessárias dos adubos (1, 2, 3, 4) para que o terreno esteja em perfeitas condições para um determinado plantio e com o menor custo possível.
3.2 Problema de Transporte Este problema, que admite inúmeras variáveis pode ser resumido em: determinadas quantidades de um produto homogêneo (matéria-prima, produtos fabricados, pessoas, etc.) encontram-se disponíveis em certo número de origens (armazéns, fábricas, portos, etc.); pretende-se efetuar o transporte de modo que as quantidades, previamente fixadas, passem a existir em determinados locais de destino (fábrica, mercados consumidores, aeroportos, etc.). Conhecido o custo de transporte de uma unidade de produto de cada origem para cada destino, determina-se o plano de distribuição que minimiza o custo total de transporte. Este tipo de problema engloba todos aqueles cuja formulação matemática seja semelhante, ainda que não esteja envolvido o transporte de bens.
Enunciado Uma empresa responsável pelo abastecimento semanal de certo bem às cidades de Lisboa e Porto pretende estabelecer um plano de distribuição desse bem a partir dos centros produtores situados em Peniche, Viseu e Évora. As quantidades semanalmente disponíveis em Peniche, Viseu e Évora são 70, 130 e 120 toneladas, respectivamente. O consumo semanal desse bem é de 180 toneladas em Lisboa e de 140 toneladas no Porto. Os custos unitários de transporte (u.m./ton) são os seguintes: Lisboa Porto Peniche 13 25 Viseu 25 16 Évora 15 40
4.2 Resolução Gráfica de um Problema de PL Considerando um problema cuja modelagem matemática é:
Max Z 5 x 1 2 x 2 (4.1)
s.a. x 1 4
x 2 3
x 1 2 x 2 9
x 1 , x 2 0
Passo 01: Determinar o conjunto de pontos ( x 1 , x 2 ) que satisfazem as restrições:
FIGURA 4.2: Conjunto das Soluções Viáveis do Exemplo 2.1.
A região R é a região viável. O conjunto de pontos que satisfazem todas as restrições, inclusive a condição de não negatividade, é chamado de região viável.
Passo 02: Determinar o ponto ótimo x* = ( x 1 * , x 2 * ) que pertence a região viável e maximiza a função: Traçar o vetor gradiente f ( x ) = (5, 2) Traças as curvas de nível perpendiculares ao gradiente ki = 5 x 1 + 2 x 2 , por exemplo, k 1 = 5 e k 2 = 10. O último ponto na direção do gradiente (direção de crescimento da função – problema de maximização) em que a curva de nível toca a região viável é o ponto ótimo x*.
x 1 4
R
x 2 0
x 1 0
x 2 3
x 1 = 4
x 2 = 3
4,
9 x 1 + 2 x 2 = 9
x 1 + 2 x 2 9 4
3
FIGURA 4.3: Solução ótima do exemplo 2.1.
As coordenadas deste ponto são resultantes da intersecção das retas:
x 1 = 4 x 1 + 2 x 2 = 9 4 + 2 x 2 = 9 2 x 2 = 5 x 2 = 2, x 1 = 4
Assim, resolvendo o sistema 2X2 tem-se que o ponto ótimo é dado por x* = (4 , 2,5). Isto é, 4 unidades de área plantadas de arroz e 2,5 unidades de área plantadas de milho. O lucro máximo de z é dado por:
Z* = (5 4) + (2 2,5) = 25
Resultados: O gradiente de f em x é perpendicular às curvas de nível da função f. A FO Z cresce na direção do gradiente e decresce no sentido contrário ao gradiente.
x 1
x 2
2,
1 5
2
5
2
k 1 k 2
k 3
FIGURA 4.4: Conjunto de Soluções Viáveis de um PPL de Minimização.
Os pontos que minimizam o valor de são obtidos pela regra descrita anteriormente. Assim, devem-se traçar as curvas de nível deslocando-se no sentido de decrescimento de z. Procedendo desta forma, os valores ótimos obtidos são: x* ( , 5). Assim, o fazendeiro deve fornecer 2 kg de granulado e 5 kg de farinha a cada animal. Esta dieta resulta em um custo de alimentação diário de 45 u.m. por animal.
4.3 Casos Particulares Nos exemplos apresentados as soluções são únicas, porém, nem sempre isso acontece. Considerando o seguinte problema de PL:
Max Z 2 x 1 x 2 (4.4)
s.a. 3 x 1 4 x 2 12
4 x 1 2 x 2 10
x 1 , x 2 0
A representação gráfica deste problema encontra-se na figura 4.5. Pode-se concluir que Z*^ = 5 é o valor máximo da FO. Pode se observar que tanto o ponto
20 x 1 + 50 x 2 = 200 50 x 1 + 10 x 2 = 150 30 x 1 + 30 x 2 = 210
extremo A quanto B são soluções ótimas do problema. Em outras palavras, os dois pontos extremos conduzem ao mesmo valor máximo para a FO. Mas, qualquer ponto da aresta AB também é solução ótima, dado que a curva de nível Z=5 está sobre a aresta. Desta maneira, existem infinitas soluções ótimas.
FIGURA 4.5: Múltiplas Soluções Ótimas.
Quando um problema de PL possui mais do que uma solução ótima, é um problema de múltiplas soluções, o que significa que o lucro máximo pode ser obtido através de várias combinações dos recursos.
Exemplo 4.2: Resolva graficamente o problema com a seguinte modelagem matemática:
Max Z 4 x 1 2 x 2 (4.5)
s.a. 2 x 1 x 2 8
x 1 2 x 2 7
x 2 3
x 1 0 , x 2 0
4 x 1 + 2 x 2 = 10 3 x 1 + 4 x 2 = 12
k 1
k 2 k 3 kn
A
B
A solução ótima é composta por todo o segmento de reta.
