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Programação Linear
Formulação de Problemas
Programação Linear é uma técnica adotada em situações onde existem vários produtos a fabricar, com auxílio de várias máquinas, necessitando-se de programa para decidir qual máquina utilizar para a fabricação de cada produto tendo-se em conta a produção máxima, o custo mínimo ou algum outro critério de eficácia. Também é muito utilizada em problemas de alocação de recursos limitados a atividades em competicão, bem como em outros problemas que tenham uma formulação matemática similar.
Os estudos de Programação Linear permitem responder as questões como:
- Na vigência de certas condições de produção, qual quantidade de determinado produto, dentre vários, deve-se produzir para se obter o maior lucro possível?
- Sendo impostas algumas especificações, qual é a composição da mistura que corresponde ao custo mínimo?
- Conhecendo-se um certo número de condições de mercado (produtos, fornecedores, consumidores), como estabelecer os circuitos de distribuição de modo a minimizar o custo total?
- Estando impostas as condições de trabalho, como repartir o contingente de mão-de-obra entre as diferentes tarefas e especialidades, com o objetivo de minimizar as despesas ou maximizar a eficiência?
A formulação do problema a ser resolvido por programação linear segue alguns passos básicos:
- PASSO 1: determine a grandeza a ser otimizada e expresse-a como uma função matemática. Isto feito serve para definir as variáveis de entrada. Deve ser definido o objetivo básico do problema, ou seja, a otimização a ser alcançada. Por exemplo, maximização de lucros, ou de desempenhos, ou de bem-estar social; minimização de custos, de perdas, de tempo. Tal objetivo será representado por uma função objetivo, a ser maximizada ou minimizada.
- PASSO 2: Identifique todas as exigências, restrições e limitações estipuladas e expresse-as matematicamente. Estas condições constituem as restrições. Por exemplo, quantidade de equipamento disponível, tamanho da área a ser explorada, capacidade de um reservatório, exigências nutricionais para determinada dieta, etc.
- PASSO 3: Expresse todas as condições implícitas. Tais condições não são estipuladas explicitamente no problema, mas são evidentes a partir da situação física sendo modelada. Geralmente estas condições envolvem requisitos de serem não negativos ou de serem inteiros os valores das variáveis de entrada.
O problema geral de programação linear pode ser definido por:
Maximizar (ou minimizar) Z = c (^) 1x 1 + c2x 2 + ... + cnx (^) n Função Objetivo sujeito a (s.a.) a11 x 1 + a (^) 12x 2 + ... + a (^) 1nxn < b1 (ou >, ou =) Restrições técnicas a21x 1 + a (^) 22x 2 + ... + a (^) 2nxn < b2 (ou >, ou =) ... am1x 1 + a (^) m2 x 2 + ... + a (^) mn xn < bm (ou >, ou =)
x 1 , x 2 ,..., xn > 0 Restrições de não negatividade
Exemplos:
- Uma marcenaria deseja estabelecer uma programação diária de produção. Atualmente a oficina fabrica apenas dois produtos: mesa e armário, ambos de um só modelo. Para efeito de simplificação, será considerado que a marcenaria tem limitações em somente dois recursos: madeira e mão-de-obra, cujas disponibilidades diárias são mostradas na tabela a seguir.
Recurso Disponibilidade Madeira 12m^2 Mão-de-obra 8h
O processo de produção é tal que, para fazer 1 mesa, a fábrica gasta 2m 2 de madeira e 2 horas de mão-de-obra. Para fazer um armário, a fábrica gasta 3m 2 de madeira e 1 hora de mão-de- obra. Além disso, o fabricante sabe que cada mesa dá uma margem de contribuição para o lucro de $4 e cada armário dá uma margem de $1. O problema do fabricante é encontrar o programa de produção que maximiza a margem de contribuição total para o lucro.
Como variáveis de decisão , serão considerados os seguintes dados: x 1 F 0A E quantidade a produzir de mesa; e x 2 F 0A E quantidade a produzir de armário.
Com essa definição de variáveis pode-se escrever as relações matemáticas que formam o modelo. Assim, para a função objetivo tem-se:
Margem de Contribuição Total: Z = 4.x 1 + 1.x (^2)
Para as restrições, a relação lógica existente é: Utilização de recurso < disponibilidade do recurso
Assim, tem-se: Para madeira: 2. x 1 + 3. x (^) 2 < 12 F 0 A F F 0A F Utilização de madeira para os dois produtos
Disponibilidade de madeira
Para mão-de-obra 2. x 1 + 1. x (^) 2 < 8 F 0 A F F 0A F Utilização de mão-de-obra para os dois produtos
Disponibilidade de mão-de-obra
O modelo completo é: Achar x 1 e x 2, de modo a: Maximizar Z = 4. x 1 + 1. x 2 s.a.
- x 1 + 3. x 2 < 12 Restrições técnicas
- x 1 + 1. x 2 < 8
x 1 > 0 Restrições de não negatividade
- Certa empresa fabrica dois produtos P1 e P2. O lucro unitário do produto P1 é 1.000 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 1.800 unidades monetárias. A empresa precisa de 20 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 30 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo anual de produção disponível para isso é de 1.200 horas. A demanda esperada para cada produto é de 40 unidades anuais para P1 e de 30 unidades anuais para P2. Qual é o plano de produção para que a empresa maximize seu lucro nesses itens?
Como variáveis de decisão , serão considerados os seguintes dados: x 1 F 0A E quantidade anual a produzir de P 1 e x (^) 2 F 0A E quantidade anual a produzir de P 2. Com essa definição de variáveis pode-se escrever as relações matemáticas que formam o modelo. O objetivo é maximizar o lucro, que pode ser calculado: Lucro devido a P 1: 1.000. x 1 (lucro por unidade de P 1 x quantidade produzida de P 1) Lucro devido a P 2: 1.800. x 2 (lucro por unidade de P 2 x quantidade produzida de P 2) Lucro toral: Z = 1.000. x 1 + 1.800. x 2
Assim, para a função objetivo tem-se: Maximizar: Z = 1.000. x 1 + 1.800. x 2
Para as restrições, a relação lógica existente é: Utilização de recurso < disponibilidade do recurso. As restrições impostas pelo sistema são:
.a Disponibilidade de horas para a produção: 1.200 horas Horas ocupadas com P 1: 20. x 1 (uso por unidade x quantidade produzida) Horas ocupadas com P 2: 30. x 2 (uso por unidade x quantidade produzida) Total em horas ocupadas na produção: 20. x 1 + 30. x 2 Assim, temos: Para horas para a produção: 20. x 1 + 30. x (^) 2 < 1. F 0 A F
F 0 A F Total em horas ocupadas na produção
Disponibilidade de horas para a produção
.b (^) Disponibilidade de mercado para os produtos (demanda) Disponibilidade para P 1: 40 unidades Quantidade a produzir de P 1: x 1 Restrição descritiva da situação: x 1 < 40 Disponibilidade para P 2: 30 unidades Quantidade a produzir de P 2: x 2 Restrição descritiva da situação: x 2 < 30
O modelo completo é:
Achar x 1 e x 2, de modo a: Maximizar Z = 1.000. x 1 + 1.800. x 2 s.a.
- x 1 + 30. x 2 < 1. x 1 < 40 Restrições técnicas x 2 < 30
x 1 > 0 Restrições de não negatividade x 2 > 0
- Um sapateiro faz 6 sapatos por hora, se fizer somente sapatos, e 5 cintos por hora, se fizer somente cintos. Ele gasta 2 unidades de couro para fabricar 1 unidade de sapato e 1 unidade de couro para fabricar uma unidade de cinto. Sabendo-se que o total disponível de couro é de 6 unidade e que o lucro unitário por sapato é de 5 unidades monetárias e o do cinto é de 2 unidades monetárias, pede-se: o modelo do sistema de produção do sapateiro, se o objetivo é maximizar seu lucro por hora.
- Certa empresa fabrica 2 produtos P1 e P2. O lucro por unidade de P1 é de 100 unidades monetárias e o lucro unitário de P2 é de 150 unidades monetárias. A empresa necessita de 2 horas para fabricar uma unidade de P1 e de 3 horas para fabricar uma unidade de P2. O tempo mensal disponível para essas atividades é de 120 horas. As demandas esperadas para os 2 produtos levaram a empresa a decidir que os montantes produzidos de P1 e P2 não devem ultrapassar 40 unidades de P1 e 30 unidades de P2 por mês. Construa o modelo do sistema de produção mensal com o objetivo de maximizar o lucro da empresa.
- Um vendedor de frutas pode transportar 800 caixas de frutas para sua região de vendas. Ele necessita transportar 200 caixas de laranja a 20 unidades monetárias de lucro por caixa, pelo menos 100 caixas de pêssegos a 10 unidades monetárias de lucro por caixa, e no máximo 200 caixas de tangerina a 30 unidades monetárias de lucro por caixa. De que forma deverá ele carregar o caminhão para obter o lucro máximo? Construa o modelo do problema.
- Uma rede de televisão local tem o seguinte problema: foi descoberto que o programa A com 20 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 30.000 telespectadores, enquanto o programa B, com 10 minutos de música e 1 minuto de propaganda chama a atenção de 10.000 telespectadores. No decorrer de uma semana, o patrocinador insiste no uso de no mínimo, 5 minutos para sua propaganda e que não há verba para mais de 80 minutos de música. Quantas vezes por semana cada programa deve ser levado ao ar para obter o número máximo de telespectadores? Construa o modelo do sistema.
- (^) Uma empresa fabrica 2 modelos de cintos de couro. O modelo M1, de melhor qualidade, requer o dobro de tempo de fabricação em relação ao modelo M2. Se todos os cintos fossem do modelo M2, a empresa poderia produzir 1.000 unidades por dia. A disponibilidade de couro permite fabricar 800 cintos de ambos os modelos por dia. Os cintos empregam fivelas diferentes, cuja disponibilidade diária é de 400 para M1 e 700 para M2. Os lucros unitários são de $4,00 para M1 e $3,00 para M2. Qual o programa ótimo de produção que maximiza o lucro total diário da empresa? Construa, o modelo do sistema descrito.
- Uma liga especial constituída de ferro, carvão, silício e níquel pode ser obtida usando a mistura desses minerais puros além de 2 tipos de materiais recuperados: Material Recuperado 1 – MR1 – Composição: Ferro – 60% Custo por kg: $ 0, Carvão – 20% Silício – 20% Material Recuperado 2 – MR 2 – Composição: Ferro – 70% Custo por kg: $ 0, Carvão – 20% Silício – 5% Níquel – 5%
A liga deve ter a seguinte composição final:
Matéria-prima % mínima % máxima Ferro 60 65 Carvão 15 20 Silício 15 20 Níquel 5 8
O custo dos materiais puros é (por kg): ferro: $ 0,30; carvão: $ 0,20; silício: $ 0,28; níquel $ 0,50. Qual deverá ser a composição da mistura em termos dos materiais disponíveis, com menor custo por kg? Construa o modelo de decisão.
- Uma rede de depósitos de material de construção tem 4 lojas que devem ser abastecidas com 50 m^3 (loja 1), 80 m 3 (loja 2), 40 m 3 (loja 3) e 100 m^3 (loja 4) de areia grossa. Essa areia pode ser carregada em 3 portos P1, P2 e P3, cujas distâncias às lojas estão no quadro (em km):
L 1 L 2 L 3 L 4
P 1 30 20 24 18
P 2 12 36 30 24
P 3 8 15 25 20
O caminhão pode transportar 10 m^3 por viagem. Os portos têm areia para suprir qualquer
demanda. Estabelecer um plano de transporte que minimize a distância total percorrida entre os portos e as lojas e supra as necessidades das lojas. Construa o modelo linear do problema.
Referências bibliográficas
ANDRADE, Eduardo Leopoldino de. (2004). Introdução à Pesquisa Operacional: métodos e modelos para análise de decisões. 3ª ed. Editora LTC, Rio de Janeiro, RJ.
BRONSON, Richard. (1985). Pesquisa Operacional. Editora McGraw-Hill, São Paulo, SP.
LISBOA, Érico. (2002). Pesquisa Operacional. http://www.ericolisboa.eng.br
SILVA, Ermes Medeiros da; et al. (1996). Pesquisa Operacional. 2ª Ed. Editora Atlas, São Paulo, SP.
Programação Linear
Solução para Modelos de com Duas Variáveis de Decisão ( x 1 e x 2 )
Método Gráfico
Essa técnica consiste em representar num sistema de eixos ortogonais o conjunto das possíveis soluções do problema, isto é, o conjunto de pontos ( x 1, x (^) 2) que obedecem ao grupo de restrições impostas pelo sistema em estudo. O desempenho do modelo é avaliado através da representação gráfica da função objetivo. As soluções são classificadas de acordo com sua posição no gráfico. A função objetivo também pode ser avaliada calculando-se o seu valor para os pontos que pertencem ao contorno da região viável.
Gráfico do conjunto de soluções
A representação gráfica de uma equação linear com duas variáveis ( x (^) 1, x 2) é uma reta. A representação gráfica de uma inequação linear com duas variáveis ( x (^) 1, x 2) é uma área do gráfico limitada pela reta correspondente à equação. Vejamos alguns exemplos.
Exemplo 1: Representar graficamente a inequação: x 1 + 2 x 2 > 10
a. Construir a reta correspondente à equação: x (^) 1 + 2 x (^) 2 = 10 (acompanhe no gráfico a seguir)
Para traçarmos a reta, precisamos de dois pontos. Determinar os pontos de interseção da reta com cada um dos eixos, é mais fácil: Fazendo x 1 = 0, teremos: 0 + 2 x 2 = 10 (substituímos x 1 por 0) 2 x 2 = 10 (equação a ser resolvida) x 2 = 10/2 (2 que estava multiplicando x 2, passa para o outro lado dividindo – operação inversa) Assim, x 2 = 5 Um dos pontos da reta será: x 1 = 0 e x (^) 2 = 5, ou seja, o ponto (0, 5).
Procedemos da mesma maneira, agora fazendo x 2 = 0. Então teremos: x 1 + 2.0 = 10 (substituímos x 2 por 0) x 1 + 0 = 10 (como 2 vezes 0 é igual a 0, temos esta equação a ser resolvida) Assim, x 1 = 10 O outro ponto da reta será: x 1 = 10 e x 2 = 0, ou seja, o ponto (10, 0).
A reta é então traçada, conforme o gráfico a seguir. Podemos observar que há uma região sombreada no gráfico, que corresponde à região viável (região de soluções) limitada pela inequação x 1 + 2 x 2 > 10. A região viável, então, é aquela que se encontra na região superior da reta, pois a inequação define que x 1 + 2 x (^) 2 deve ser maior ou igual a 10. No próximo item vamos verificar esta constatação.
b. Testar a inequação: x 1 + 2 x 2 > 10 Tomamos um ponto qualquer de uma das regiões limitadas pela reta. Consideremos o ponto x (^) 1 = 10 e x (^) 2 = 5 (conforme mostrado no gráfico anterior). Substituindo na inequação ( x 1 + 2 x 2 > 10), teremos: 10 + 2.5 > 10 ou 20 > 10, o que é verdadeiro. Portanto, a região das soluções da inequação é aquela que contém o ponto testado.
)4 calcular o valor da função objetivo para cada um dos pontos da região viável; )5 a partir dos cálculos realizados para Z , determinar o ponto que corresponde à otimização pretendida (maximizar ou minimizar) e então determinar o ponto ótimo.
Exemplos:
- Certa empresa de alimentos congelados processa batatas em embalagens de batatinha frita, picadinho de batata e flocos para purê. As batatas podem ser compradas de duas fontes, cada uma fornecendo lucros distintos. A empresa necessita determinar a quantidade de batata a ser comprada de cada fonte ( x (^) 1 e x (^) 2), de forma a obter o maior lucro. Embora uma das fontes apresente o maior lucro, o aproveitamento das batatas de cada fonte se dá de forma diversa. Além disso, a empresa deve considerar o seu potencial de vendas, para cada um dos produtos.
O problema de programação linear a ser resolvido é: Maximizar Z = 5 x 1 + 6 x 2 s.a. 2 x (^) 1 + 3 x (^) 2 < 18 (restrição para batatinha frita) 2 x (^) 1 + x (^) 2 < 12 (restrição para picadinho) 3 x (^) 1 + 3 x (^) 2 < 24 (restrição para flocos) x (^) 1 > 0, x (^) 2 > 0 (restrições de não-negatividade)
Para resolver este problema de programação linear, seguiremos os passos citados anteriormente:
I) Traçar as retas correspondentes a cada restrição, num sistema de eixos x (^) 1 e x (^) 2.
a) Reta relativa à restrição da batatinha frita: 2 x 1 + 3 x (^) 2 = 18 Se x 1 = 0, então 2. 0 + 3. x 2 = 18. Portanto, x 2 = 18/3 ou x (^) 2 = 6. Se x 2 = 0, então 2. x (^) 1 + 3. 0 = 18. Portanto, x 1 = 18/2 ou x (^) 1 = 9.
Assim, os pontos que utilizamos para traçar esta reta são: (0, 6) e (9, 0). A região viável limitada por esta reta é aquela que está abaixo da reta, conforme o gráfico abaixo, pois a inequação define que 2 x 1 + 3 x 2 deve ser menor ou igual a 18.
II) Determinar a região viável (região onde se encontram todas as possíveis soluções para o
problema em questão).
A região viável é a região que contém todas as possíveis soluções para o sistema e onde todas as restrições (batatinha frita, picadinho,flocos) são respeitadas. Pode ser definida como a região comum a todas as restrições. Esta região é demonstrada na figura a seguir.
Podemos observar que a restrição referente aos flocos não influencia a região de soluções. Esta região ficou delimitada pelas restrições da batatinha frita e do picadinho.
III) Determinar os pontos que delimitam a região viável.
Pelo gráfico acima podemos constatar que a região viável é delimitada por quatro linhas que se encontram em quatro pontos. Três destes pontos podem ser facilmente verificados, e são: (0, 0), (6,
- e (0, 6). O quarto ponto é aquele em que as retas correspondentes às restrições, da batatinha frita e do picadinho, se encontram. Sendo este ponto comum às duas retas, ele pode ser determinado resolvendo o sistema correspondente às duas retas.
2 x 1 + 3 x (^) 2 = 18 (restrição para batatinha frita) 2 x 1 + x (^) 2 = 12 (restrição para picadinho)
Se subtrairmos uma reta da outra, podemos eliminar uma das variáveis das equações, e então determinar a outra.
Assim: 2 x 1 + 3 x 2 = 18
- (2 x (^) 1 + x (^) 2 = 12)
- x 1 + 2 x 2 = 6 x 2 = 6/ x 2 = 3
Substituindo x 2 = 3 em qualquer uma das equações acima, obtemos x 1.
- A empresa Nova Linha produz artigos de vidro de alta qualidade: janelas e portas, em três seções de produção:
- Seção de Serralharia: para produzir as estruturas de alumínio
- (^) Seção de Carpintaria: para produzir as estruturas de madeira
- Seção de Vidro e Montagem: para produzir vidro e montar as portas e janelas
Devido à diminuição dos lucros, o gerente geral decidiu reorganizar a produção, e propõe produzir só 2 produtos que têm uma melhor aceitação entre os clientes. Estes produtos são:
- Produto 1: uma porta de vidro com estrutura de alumínio
- Produto 2: uma janela grande com estrutura de madeira.
O Departamento de Marketing concluiu que a empresa pode vender tanto de qualquer dos dois produtos, tendo em conta a capacidade de produção disponível. Como ambos os produtos partilham a capacidade de produção da seção Nº3, o gerente solicitou ao Departamento de Pesquisa Operacional da empresa a resolução deste problema.
O Departamento de PO para realizar a formulação do problema, procurou os seguintes dados:
- a capacidade de produção por minuto de cada seção a ser utilizada na produção de ambos os produtos
- a capacidade de produção por minuto de cada seção, a ser utilizada para produzir uma unidade de cada produto
- (^) os lucros unitários para cada produto
Estes dados estão resumidos na seguinte tabela:
Capacidade utilizada por unidade de produção Secção Nº Produto 1 Produto 2 Capacidade disponível 1 1 0 4 2 0 2 12 3 3 2 18 Lucro unitário (em reais)
Então, o problema de programação linear a ser resolvido é:
Maximizar Z = 3x 1 + 5 x (^) 2,
sujeito a x 1 ≤ 4 2 x 2 ≤ 12 3 x1+ 2 x 2 ≤ 18
x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0
Primeiramente vamos identificar os valores de ( x1, x 2 ) que satisfaçam todas as restrições (região de admissibilidade)
1º) x 1 ≥ 0, x 2 ≥ 0 ⇒ ( x 1 , x 2 ) estão no 1º Quadrante
2º) x 1 ≤ 4 ⇒ ( x 1 , x 2 ) estão situados à esquerda ou sobre a reta x 1 = 4 3º) 2 x 2 ≤ 12 ⇒ x 2 ≤ 6 ⇒ ( x 1 , x 2 ) estão situados abaixo ou sobre a reta x 2 = 6 4º) 3x 1 + 2 x 2 ≤ 18 ⇒ ( x 1 , x 2 ) estão situados abaixo ou sobre a reta 3 x 1 + 2 x 2 =
Para determinar a solução ótima consideramos que a função objetivo Z = 3x 1 + 5 x 2 define uma reta que pode ser deslocada paralelamente no sentido do seu gradiente (garantindo o crescimento de Z), até se tornar tangente à região admissível. Neste caso o ponto de tangência (2,6) otimiza a função objetivo, pelo que a solução pretendida é x 1 = 2 , x 2 = 6. O valor ótimo é 36.
Portanto, Nova Linha deve fabricar duas portas (produto 1) e seis janelas (produto 2) por minuto obtendo um lucro de 36 reais por minuto.
