Baixe Projeto Álgebra Linear - Capítulo 2 - Matrizes e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
CAPÍTULO 2
Matrizes Definições, Operações, Matriz Inversa e Determinantes
Introdução: Algumas Definições
Matriz Definição: Uma Matriz é um agrupamento retangular de números. Os números
neste agrupamento são chamados entradas da matriz.
Exemplos
[
]; [2 1 0 3]; [
1 2 1 0 0 0
]; [^1
]; [4]
O tamanho de uma matriz é descrito em termos do número de linhas (fileiras
horizontais) e de colunas (fileiras verticais) que contém.
Exemplos
a) A matriz [
] possui 3 linhas (fileiras horizontais) e 2 colunas (fileiras verticais),
o tamanho desta matriz é 3 × 2.
b) A matriz [2 1 0 3] é uma matriz 1 × 4.
c) A matriz [
1 2 1 0 0 0
] é uma matriz 3 × 3.
Observações:
Ao se descrever o tamanho de uma matriz, o primeiro número sempre denota o
número de linhas e o segundo o de colunas.
Em geral, se utilizam letras maiúsculas para denotar matrizes e letras minúsculas
para denotar quantidades numéricas.
Exemplos
𝐴 = [^2 1 3 4 2
] 𝐶 = [
]
A entrada que ocorre na i-ésima linha e j-ésima coluna de uma matriz 𝐴 é
denotada por 𝑎𝑖𝑗. Assim, uma matriz arbitrária 𝑚 × 𝑛 pode ser escrita como
𝐴 = [
𝑎 21 𝑎 22 ⋯^
]
Observações:
Uma notação mais compacta para a matriz é {𝑎𝑖𝑗 } ou [𝑎𝑖𝑗 ].
Pode-se referir o tamanho 𝑚 × 𝑛 desta matriz arbitrária 𝐴 como 𝐴𝑚×𝑛.
Tipos de Matrizes Matriz Quadrada: Uma matriz 𝐴 com 𝑛 linhas e 𝑛 colunas é chamada matriz
quadrada de ordem n.
𝐴 = [
𝑎 21 𝑎 22 ⋯^
]
Os elementos 𝑎𝑖𝑖 de uma matriz quadrada 𝐴𝑛×𝑛, 𝑎 11 , 𝑎 22 , ⋯ , 𝑎𝑛𝑛 constituem a
diagonal principal de 𝐴.
Os elementos 𝑎𝑖𝑗 de uma matriz quadrada 𝐴𝑛×𝑛 em que 𝑖 + 𝑗 = 𝑛 + 1,
𝑎1𝑛, 𝑎2(𝑛−1), ⋯ , 𝑎𝑛1, constituem a diagonal secundária da matriz 𝐴.
𝐴 = [
𝑎 21 𝒂𝟐𝟐 ⋯^
] 𝐴 = [
𝑎 21 𝑎 22 ⋯^
]
Diagonal Principal e Diagonal Secundária de 𝐴
O traço de uma matriz quadrada de ordem n, denotado 𝑡𝑟(𝐴)^ é a soma dos
elementos da diagonal principal, 𝑡𝑟(𝐴) = ∑ 𝑛𝑖=1 𝑎𝑖𝑖.
Exemplo:
𝐴 = [
] 𝑡𝑟(𝐴) = 1 + 4 + 2 = 7
𝐼 2 = [
] 𝐼 3 = [
] 𝐼𝑛 = [
] (matriz 𝑛 × 𝑛)
Matriz Nula ou Matriz Zero é aquela em que todos os elementos são nulos
(pode ser quadrada ou retangular).
[
]; [0 0 0 0]; [
]; [^0
]; [^0
]
Operações com Matrizes
Igualdade de Matrizes Duas matrizes 𝐴𝑚×𝑛 = [𝑎𝑖𝑗 ]𝑚×𝑛 e 𝐵𝑚×𝑛 = [𝑏𝑖𝑗 ]𝑚×𝑛 são iguais se, e somente
se, elas têm o mesmo número de linhas e colunas (devem ter o mesmo tamanho) e todos
os seus elementos correspondentes são iguais 𝑎𝑖𝑗 = 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
Adição e Subtração de Matrizes Se 𝐶 é a matriz resultante da soma das matrizes 𝐴𝑚×𝑛 e 𝐵𝑚×𝑛, 𝐶 é uma matriz
𝑚 × 𝑛 em que cada elemento é a soma das entradas correspondentes de 𝐴 e 𝐵, ou seja,
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 + 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗. Da mesma forma, se 𝐷 é a matriz resultante da subtração das
matrizes 𝐴𝑚×𝑛 e 𝐵𝑚×𝑛, 𝐷 é uma matriz 𝑚 × 𝑛 em que cada elemento é a diferença das
entradas correspondentes de 𝐴 e 𝐵, ou seja, 𝑑𝑖𝑗 = 𝑎𝑖𝑗 − 𝑏𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
Exemplos:
𝐴 = [^1 2 3 4 2
] 𝐵 = [^0 1
]
𝐶 = 𝐴 + 𝐵 = [
] 𝐶 = [^1 3
]
𝐷 = 𝐴 − 𝐵 = [
] 𝐷 = [^1 1 −
]
Propriedades (para 𝐴, 𝐵 e 𝐶 matrizes de mesmo tamanho):
- 𝐴 + 𝐵 = 𝐵 + 𝐴
- 𝐴 + 0 = 0 + 𝐴 = 𝐴 onde 0 é a matriz nula de mesmo tamanho.
- 𝐴 + (−𝐴) = (−𝐴) + 𝐴 = 0 onde 0 é a matriz nula de mesmo tamanho.
Multiplicação de Matriz por um Escalar. Se 𝐶 é a matriz resultante da multiplicação da matriz 𝐴𝑚×𝑛 pelo escalar 𝑘, 𝐶 é
uma matriz 𝑚 × 𝑛 em que cada elemento é o produto da entrada correspondente de 𝐴
com o escalar 𝑘, ou seja, 𝑐𝑖𝑗 = 𝑘𝑎𝑖𝑗 , ∀𝑖, 𝑗. Pode-se escrever: 𝐶 = 𝑘𝐴.
Exemplo:
𝐴 = [^1 2 3 4 2
]
𝐶 = 3𝐴 = 3 [
] = [
3 × 1 3 × 2 3 × 1
3 × 3 3 × 4 3 × 2
] 𝐶 = [
]
Propriedades (para 𝐴 e 𝐵 matrizes de mesmo tamanho, 𝑘 e 𝑙 escalares):
- 𝑘(𝐴 + 𝐵) = 𝑘𝐴 + 𝑘𝐵
- (𝑘 + 𝑙)𝐴 = 𝑘𝐴 + 𝑙𝐴
- 0𝐴 = 𝐴0 = 0 os dois primeiros 0 são escalares, o último é a matriz nula.
- 𝑘(𝑙𝐴) = (𝑘𝑙)𝐴
Produto entre Duas Matrizes. O produto das matrizes 𝐴𝑚×𝑝 e 𝐵𝑝×𝑛 resulta na matriz 𝐶 de tamanho 𝑚 × 𝑛
(𝐶𝑚×𝑛) em que cada elemento 𝐶𝑖𝑗 resulta da soma dos produtos das entradas
correspondentes da i -ésima linha de 𝐴 pela j -ésima coluna de 𝐵, ou seja,
𝑐𝑖𝑗 = 𝑎𝑖1𝑏1𝑗 + 𝑎𝑖2𝑏2𝑗 + ⋯ + 𝑎𝑖𝑝𝑏𝑝𝑗 , ∀𝑖, 𝑗.
Ou ainda, 𝑐𝑖𝑗 = ∑^ 𝑝𝑘=1𝑎𝑖𝑘 𝑏𝑘𝑗
Para isso é necessário que o número de colunas de 𝐴 seja igual ao número de
colunas de 𝐵. Esquematizando:
𝐴𝑚×𝑝 𝐵𝑝×𝑛 = 𝐶𝑚×𝑛
Tamanho da matriz resultante
Devem ser iguais
Potenciação de Matrizes Quando 𝐴 é uma matriz quadrada, é possível calcular as potências da matriz: 𝐴^0 = 𝐼 (por definição)
𝐴^1 = 𝐴 𝐴^2 = 𝐴𝐴 𝐴^3 = 𝐴𝐴𝐴 = 𝐴𝐴^2 ⋮
𝐴𝑘+1^ = 𝐴𝐴𝑘 Todas as potências de 𝐴 são matrizes quadradas de mesma ordem que 𝐴.
Em alguns casos particulares, se obtém resultados bastante interessantes: pode
existir uma matriz quadrada 𝐴 tal que 𝐴^2 = 𝐴. A matriz 𝐴 é idempotente se 𝐴^2 = 𝐴.
Exemplo
𝐴 = [
] = 1
2
[^1
] (^) matriz 𝐴 é idempotente
𝐴^2 =
[^1
]
[^1
] =
[^1
] [^1
] =
[^2
] = [
] = 𝐴
Observe que se 𝐴^2 = 𝐴,
𝐴^3 = 𝐴𝐴^2 = 𝐴𝐴 = 𝐴^2 = 𝐴 logo 𝐴^4 = 𝐴, 𝐴^5 = 𝐴...
Se 𝐴 é uma matriz quadrada cuja k -ésima potência resulte em 𝐴, ou seja,
𝐴𝑘^ = 𝐴, para 𝑘 ≥ 2 (𝑘 é o menor inteiro para o qual isso ocorre) a matriz 𝐴 é dita
periódica , de período 𝑘 − 1.
Exemplo
𝐴 = [
]
𝐴^2 = [
] [
] = [
]
𝐴^3 = 𝐴𝐴^2 = [
] [
] = [
] = 𝐴
A matriz 𝐴 é periódica de período 2 , pois 𝐴^3 = 𝐴.
Observe que se 𝐴^3 = 𝐴,
𝐴^4 = 𝐴𝐴^3 = 𝐴𝐴 = 𝐴^2 𝐴^5 = 𝐴𝐴^4 = 𝐴𝐴^2 = 𝐴^3 = 𝐴
𝐴^6 = 𝐴𝐴^5 = 𝐴𝐴 = 𝐴^2 𝐴^7 = 𝐴𝐴^6 = 𝐴𝐴^2 = 𝐴^3 = 𝐴 ⋮ Por outro lado, se existir um número inteiro positivo 𝑘 tal que 𝐴𝑘^ = 0 (matriz
nula de mesma ordem), a matriz 𝐴 é dita nilpotente. Se 𝑘 é o menor inteiro positivo tal
que 𝐴𝑘^ = 0, diz-se que 𝑨 é nilpotente de índice 𝒌.
Exemplo
𝐴 = [
]
𝐴^2 = [
] [
] = [
]
𝐴^3 = 𝐴𝐴^2 = [
] [
] = [
] = 0
A matriz 𝐴 é nilpotente de índice 3 , pois 𝐴^3 = 0 (matriz nula de ordem 3). Observe que se 𝐴^3 = 0,
𝐴^4 = 𝐴𝐴^3 = 𝐴0 = 0 logo 𝐴^5 = 0, 𝐴^6 = 0... 𝐴𝑝>3^ = 0, ∀𝑝 ∈ ℕ∗.
Matriz Transposta Seja 𝐴 uma matriz 𝑚 × 𝑛, a matriz transposta de 𝑨 , denotada 𝑨𝑻^ , é uma matriz
𝑛 × 𝑚 cujos elementos de cada linha j corresponde à 𝑗-ésima coluna de 𝐴, ou seja,
𝑨𝑻𝒊𝒋 = 𝑨𝒋𝒊, ∀𝒊, 𝒋:
𝐴 = [
𝑎 21 𝑎 22 ⋯^
] 𝐴𝑇^ = [
𝑎 12 𝑎 22 ⋯^
]
𝐴𝑚×𝑛 𝐴𝑇 𝑛×𝑚
Propriedades da Transposta
Sejam 𝐴 e 𝐵 matrizes tais que a operação apresentada seja possível,
- (𝐴𝑇)𝑇^ = 𝐴
Definição : Sejam 𝐴 e 𝐵 duas matrizes quadradas de mesma ordem 𝑛. Se existir
uma matriz 𝐵 tal que:
𝑨𝑩 = 𝑩𝑨 = 𝑰 (matriz identidade de ordem 𝑛),
𝐴 é dita invertível, regular ou não-singular. Neste caso, 𝑩 é a inversa de 𝑨,
denotado por 𝑩 = 𝑨−𝟏. De modo análogo, 𝑨 é a inversa de 𝑩, 𝑨 = 𝑩−𝟏.
Caso não exista uma matriz 𝑩 que satisfaça tal condição , dizemos que 𝑨 é
não-invertível ou singular.
Propriedades
- Se uma matriz admite inversa, esta é única.
- A matriz Identidade é não singular e sua própria inversa.
- Se uma matriz é invertível, sua transposta também é, e (𝐴𝑇)−1=(𝐴−1)𝑇. Se 𝐴 é invertível,
𝐴𝐴−1^ = 𝐼 𝐴−1𝐴 = 𝐼 E suas transpostas: (𝐴𝐴−1)𝑇^ = (𝐴−1)𝑇^ 𝐴𝑇^ = 𝐼 (𝐴−1𝐴)𝑇^ = 𝐴𝑇^ (𝐴−1)𝑇^ = 𝐼
Logo, (𝐴𝑇)−1=(𝐴−1)𝑇.
- Se as matrizes 𝐴 e 𝐵 são invertíveis e de mesma ordem, o produto 𝐴𝐵 é uma matriz invertível e (𝐴𝐵)−1^ = 𝐵−1𝐴−1: Se 𝐴𝐵 é invertível (𝐴𝐵)−1(𝐴𝐵) = (𝐴𝐵)(𝐴𝐵)−1^ = 𝐼
Se (𝐴𝐵)−1^ = 𝐵−1𝐴− (𝐴𝐵)−1(𝐴𝐵) = 𝐵−1𝐴−1(𝐴𝐵) = 𝐵−1(𝐴−1𝐴)𝐵 = 𝐵−1𝐼𝐵 = 𝐵−1𝐵 = 𝐼
(𝐴𝐵)(𝐴𝐵)−1^ = (𝐴𝐵)𝐵−1𝐴−1^ = 𝐴(𝐵𝐵−1)𝐴−1^ = 𝐴𝐼𝐴−1^ = 𝐴𝐴−1^ = 𝐼
Exemplo
A matriz 𝐵 = [
] (^) é a inversa de 𝐴 = [^2 − −1 3
]. De fato,
𝐵𝐴 = [^3
] [^2 −
] = [^1
]
𝐴𝐵 = [
] [^3
] = [^1
]
Matriz Ortogonal Nos casos em que 𝐴−1^ = 𝐴𝑇^ , 𝑨 é dita Matriz Ortogonal. Quando 𝐴−1^ = 𝐴𝑇^ ,
como 𝐴−1𝐴 = 𝐴𝐴−1^ = 𝐼, tem-se que 𝐴𝑇𝐴 = 𝐴𝐴𝑇^ = 𝐼.
Exemplo
[
2 ]
[^1 −
]
𝐴𝑇^ =
[
2 ]
[
]
Como:
𝐴𝐴𝑇^ =
[
2 ] [
2 ]
= [^1
]
[
2 ] [
2 ]
= [
]
𝑨 é uma Matriz Ortogonal , pois 𝐴−1^ = 𝐴𝑇.
Matrizes Equivalentes e Operações Elementares: São operações elementares sobre as linhas de uma matriz 𝐴 as seguintes ações:
- Permutar duas linhas de 𝐴;
- Multiplicar uma linha de 𝐴 por um escalar não nulo;
- Substituir uma linha de 𝐴 pela soma desta com outra linha previamente multiplicada por um número real não nulo.
Dadas as matrizes 𝐴 e 𝐵, de mesma ordem, diz-se que a matriz 𝑩 é equivalente à
matriz 𝑨 se for possível transformar 𝑨 em 𝑩 por meio de uma sucessão finita de
operações elementares.
Matriz Elementar é uma matriz quadrada que pode ser obtida a partir de uma
única operação elementar sobre a matriz Identidade.
a obter a matriz elementar correspondente àquela operação 𝑬𝒊 e multiplicar esta
matriz elementar por 𝑨𝒊−𝟏.
Como por meio de uma sucessão finita de operações elementares foi possível
transformar 𝑨 em 𝑰 , 𝑨 é equivalente à matriz Identidade.
Mais do que isso, como: 𝐴 6 = 𝐸 6 𝐴 5 = 𝐸 6 𝐸 5 𝐴 4 = 𝐸 6 𝐸 5 𝐸 4 𝐴 3 = 𝐸 6 𝐸 5 𝐸 4 𝐸 3 𝐴 2 = 𝐸 6 𝐸 5 𝐸 4 𝐸 3 𝐸 2 𝐴 1
Então, como 𝐴 6 = 𝐼 e 𝐴 1 = 𝐸 1 𝐴 0 = 𝐸 1 𝐴:
𝐼 = 𝐸 6 𝐸 5 𝐸 4 𝐸 3 𝐸 2 𝐸 1 𝐴 Pela definição de matriz inversa, dada uma matriz quadrada 𝐴 de ordem 𝑛, se
existir uma matriz quadrada 𝐵, de mesma ordem, que satisfaça à condição:
𝐴𝐵 = 𝐵𝐴 = 𝐼,
𝐵 é dita a inversa de 𝐴 e se representa por 𝐴−1. Concluímos que, fazendo
𝐵 = 𝐸 6 𝐸 5 𝐸 4 𝐸 3 𝐸 2 𝐸 1 ,
então 𝐵 = 𝐴−1:
𝐴−1^ = 𝐸 6 𝐸 5 𝐸 4 𝐸 3 𝐸 2 𝐸 1 𝐼
Ou seja, a sequência de operações elementares que leva 𝑨 à forma equivalente à matriz Identidade,
aplicada sobre a matriz Identidade resultará na matriz inversa de 𝑨 , 𝑨−𝟏.
Inversão de uma Matriz por meio de Operações Elementares Como a mesma sucessão finita de operações elementares que transforma a
matriz 𝐴 na matriz 𝐼 transforma a matriz 𝐼 na matriz 𝐴−1, este é o procedimento adotado
para se determinar a inversa de uma matriz. Contudo, para que não se cometam erros na
aplicação desta sequência (determinar a sequência e aplicar sobre a inversa), o
procedimento usual é criar uma matriz aumentada, colocando-se ao lado direito de 𝐴 a
matriz Identidade, e aplicando simultaneamente cada operação elementar. Ao final do
procedimento, quando 𝐴 assumir a forma da matriz 𝐼, à sua direita 𝐼 terá assumido a
forma da inversa de 𝐴, 𝐴−1.
Exemplo.
Determine a matriz inversa da matriz [
].
Aplicando operações elementares sobre a matriz aumentada [𝐴 ⋮ 𝐼]^ até chegar a matriz
equivalente [𝐼 ⋮ 𝐴−1]
[
] 𝐿2 ← 𝐿2 − 2𝐿
[
] 𝐿2 ← (−1)𝐿
[
]
[
]
Então:
𝐴−1^ = [
]
De fato,
𝐴𝐴−1^ = [
] [
] = [
] = 𝐼
𝐴−1𝐴 = [
] [
] = [
] = 𝐼
Determinantes Seja 𝐴 uma matriz quadrada, a função determinante de A, denotada por det(𝐴) ou
|𝐴| é o número resultante da soma de todos os produtos elementares com sinal de 𝑨.
Um produto elementar de uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 é o produto de 𝑛 entradas
de 𝐴 tais que não há duas da mesma linha ou da mesma coluna de 𝐴.
Uma matriz 𝐴 de ordem 𝑛 tem 𝑛! produtos elementares: como cada fator vem de
uma linha distinta e não há dois fatores da mesma coluna, os números de coluna não
têm repetições e constituem uma permutação no conjunto {1, 2, ⋯ , 𝑛} e o total de
Determinante de Terceira Ordem.
Dada a matriz 𝐴 = [
], de ordem 3,
o total de permutações é 3! = 3 ∙ 2 ∙ 1 = 6
Permutação Tipo Produto Elementar Produto Elementar com Sinal
( 1 , 2 , 3 ) Par (^) 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 + 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33
( 1 , 3 , 2 ) Ímpar (^) 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32 − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32
( 2 , 1 , 3 ) (^) Ímpar 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33
( 2 , 3 , 1 ) Par (^) 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 + 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31
( 3 , 1 , 2 ) Par 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 + 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32
( 3 , 2 , 1 ) Ímpar (^) 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31 − 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31
Determinante: det(𝐴) = + 𝑎 11 𝑎 22 𝑎 33 − 𝑎 11 𝑎 23 𝑎 32 − 𝑎 12 𝑎 21 𝑎 33
- 𝑎 12 𝑎 23 𝑎 31 + 𝑎 13 𝑎 21 𝑎 32 − 𝑎 13 𝑎 22 𝑎 31 Muitas pessoas recordam este cálculo copiando as duas primeiras colunas e:
det(𝐴) = |
Note que, agrupando: det(𝐴) = 𝑎 11 (𝑎 22 𝑎 33 − 𝑎 23 𝑎 32 ) − 𝑎 12 (𝑎 21 𝑎 33 − 𝑎 23 𝑎 31 ) + 𝑎 13 (𝑎 21 𝑎 32 − 𝑎 22 𝑎 31 ) Então,
det(𝐴) = |
𝑎 32 𝑎 33 | − 𝑎^12 |
𝑎 31 𝑎 33 | + 𝑎^13 |
Um determinante de terceira ordem pode ser obtido pela soma de três
determinantes de submatrizes de segunda ordem.
Determinante Menor da Entrada 𝒂𝒊𝒋
Ou simplesmente menor de 𝒂𝒊𝒋 relativo ao elemento 𝑎𝑖𝑗 de uma matriz quadrada
𝐴, é o determinante 𝑀𝑖𝑗 associado à submatriz obtida suprimindo a 𝑖-ésima linha e a
𝑗-ésima coluna 𝐴.
− − − + + +
Cofator de 𝒂𝒊𝒋
É o número (−1)𝑖+𝑗^ 𝑀𝑖𝑗 associado à entrada 𝑎𝑖𝑗 , denotado por 𝐶𝑖𝑗.
Exemplo:
𝐴 = [
]
Menor de (^) 𝑀 11 = |^1 3 2
| = − 7 𝑀 12 = |^2
| = 1 𝑀^13 =^ |
Cofator de 𝐶 11 = (− 1 )^1 +^1 (− 7 ) = − 7 𝐶 12 = (− 1 )^1 +^2 ∙ 1 = − 1 𝐶 13 = (− 1 )^1 +^3 ∙ 5 = 5
Pelo que foi visto,
det(𝐴) = 1 ∙ 1 ∙ 2 − 1 ∙ 3 ∙ 3 + 2 ∙ 3 ∙ 1 − 2 ∙ 2 ∙ 2 + 1 ∙ 2 ∙ 3 − 1 ∙ 1 ∙ 1 = −
det(𝐴) = 1(1 ∙ 2 − 3 ∙ 3) + 2(3 ∙ 1 − 2 ∙ 2) + 1(2 ∙ 3 − 1 ∙ 1)
det(𝐴) = 1 |
det(𝐴) = 1 ∙ (−1)1+1^ ∙ 𝑀 11 + 2 ∙ (−1)1+2^ ∙ 𝑀 12 + 1 ∙ (−1)1+3^ ∙ 𝑀 13
det(𝐴) = 1 ∙ (−1)1+1^ ∙ (−7) + 2 ∙ (−1)1+2^ ∙ 1 + 1 ∙ (−1)1+3^ ∙ 5
det(𝐴) = 1 ∙ 𝐶 11 + 2 ∙ 𝐶 12 + 1 ∙ 𝐶 13
Ou seja,
det(𝐴) = 𝑎 11 𝐶 11 + 𝑎 12 𝐶 12 + 𝑎 13 𝐶 13
Expansão em Cofatores (Teorema de Laplace) O determinante de uma matriz quadrada 𝑨 de ordem 𝒏 pode ser obtido pela soma dos 𝒏 produtos das entradas de uma linha (ou coluna) qualquer de 𝑨 pelos seus respectivos cofatores.
𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝒂𝒊𝟏𝑪𝒊𝟏 + 𝒂𝒊𝟐𝑪𝒊𝟐 + ⋯ + 𝒂𝒊𝒏𝑪𝒊𝒏 Expansão ao longo da 𝒊 -ésima linha
𝒅𝒆𝒕(𝑨) = 𝒂𝟏𝒋𝑪𝟏𝒋 + 𝒂𝟐𝒋𝑪𝟐𝒋 + ⋯ + 𝒂𝒏𝒋𝑪𝒏𝒋 Expansão ao longo da 𝒋 -ésima coluna
- Se numa matriz 𝐴 uma linha é a soma de duas parcelas, o determinante pode ser
expresso pela soma de dois determinantes, correspondentes a matrizes 𝐵 e 𝐶, que têm todas as linhas iguais exceto esta, 𝐵 tem nesta linha as primeiras parcelas da soma e 𝐶 as segundas, det(𝐴) = det(𝐵) + det(𝐶). Considere 𝐴3×3:
𝐴 = [
] = [
]
𝐵 = [
] 𝐶 = [
]
det(𝐴) = det(𝐵) + det(𝐶) Na expansão por cofatores pela última linha
det(𝐴) = 𝑎 31 ∙ 𝐶 31 + 𝑎 32 ∙ 𝐶 32 + 𝑎 33 ∙ 𝐶 33
det(𝐴) = (𝑏 1 + 𝑐 1 ) ∙ 𝐶 31 + (𝑏 2 + 𝑐 2 ) ∙ 𝐶 32 + (𝑏 3 + 𝑐 3 ) ∙ 𝐶 33
det(𝐴) = (𝑏 1 ∙ 𝐶 31 + 𝑏 2 ∙ 𝐶 32 + 𝑏 3 ∙ 𝐶 33 ) + (𝑐 1 ∙ 𝐶 31 + 𝑐 2 ∙ 𝐶 32 + 𝑐 3 ∙ 𝐶 33 ) det(𝐴) = det(𝐵) + det(𝐶)
- O determinante de uma matriz triangular 𝐴 (superior ou inferior) é igual ao
termo principal, isto é, é igual ao produto dos elementos da diagonal principal. Na expansão em cofatores na última linha de uma matriz triangular superior, por exemplo, o único termo que não se anula é o último. Este por sua vez depende de uma submatriz triangular superior também... Aplicando a expansão sucessivamente, o único produto elementar não nulo é o produto dos elementos da diagonal principal. O mesmo ocorre numa matriz triangular inferior, expandindo em cofatores pela primeira linha.
- Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz, seu determinante muda
de sinal, isto é, fica multiplicado por (−1). Porque ao trocar as linhas (ou colunas) tem-se os mesmos produtos elementares, mas com sinais trocados, pois o número de inversões de todas as permutações é alterado em um.
- Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha
(ou coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por um número diferente de zero.
Esta propriedade resulta das propriedades (3) e (4). Seja a matriz 𝐴3×3:
𝐴 = [
] 𝐵 = [
]
Pela propriedade (6)
Pela propriedade (5):
det(𝐵) = det(𝐴)
Cálculo de um Determinante por Redução por Linhas (Triangulação)
Para calcular o determinante de uma matriz quadrada de ordem 𝑛, pode ser
utilizado o processo de triangulação (ou triangularização ), são utilizadas as
propriedades correspondentes às operações elementares nas linhas de uma matriz:
Operação Elementar Propriedade
Permutar duas linhas de 𝐴; (8) Trocando-se entre si duas linhas (ou colunas) da matriz, seu determinante muda de sinal, isto é, fica multiplicado por (− 1 ).
Multiplicar uma linha de 𝐴 por um escalar não nulo;
(4) Quando se multiplica todos os elementos de uma linha (ou coluna) de uma matriz por um escalar 𝑘, o determinante fica multiplicado por este número.
- Substituir uma linha de 𝐴 pela soma desta com outra linha previamente multiplicada por um número real não nulo.
(9) Um determinante não se altera quando se somam aos elementos de uma linha (ou coluna) da matriz os elementos correspondentes de outra linha (ou coluna) previamente multiplicados por um número diferente de zero.
Procedimento de Triangulação Procede-se a aplicação sucessiva de operações elementares sobre 𝐴 e a
compensação necessária no determinante da matriz modificada até que se chegue à
forma equivalente de uma matriz triangular, e então, pela propriedade (7), o
