Baixe LISTA DE ALGEBRA LINEAR - MATRIZES e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity!
1 Lista de Exerc´ıcios - ´Algebra Linear
A 8.
Dadas as matrizes:
A =
[
]
, B =
[
]
e C =
[
]
- Calcular X = 4A - 3B + 5C
X = 4
[
]
[
]
[
]
X =
[
]
[
]
[
]
X =
[
]
Nos problemas 13 a 15, efetuar a multiplica¸c˜ao das matrizes A e X.
13) A =
[
]
e X =
[
x
y
]
[
]
[
x
y
]
[
2 · x + 6 · y
(−5) · x + 4 · y
]
[
2 x + 6y
− 5 x + 4y
]
14) A =
e X^ =
x 1
x 2
x 3
x 1
x 2
x 3
1 · x 1 + 2 · x 2 + 3 · x 3
(−2) · x 1 + (−5) · x 2 + 7 · x 3
3 · x 1 + 9 · x 2 + (−8) · x 3
x 1 + 2x 2 + 3x 3
− 2 x 1 − 5 x 2 + 7x 3
3 x 1 + 9x 2 + − 8 x 3
15) A =
e X =
x 1
x 2
x 3
x 4
x 1
x 2
x 3
x 4
(−3) · x 1 + 4 · x 2 + 2 · x 3 + 8 · x 4
0 · x 1 + 1 · x 2 + 3 · x 3 + (−6) · x 4
(−2) · x 1 + 4 · x 2 + 5 · x 3 (−7) · x 4
9 · x 1 + (−9) · x 2 + (−8) · x 3 + 6 · x 4
− 3 x 1 + 4x 2 + 2x 3 + 8x 4
x 2 + 3x 3 − 6 x 4
− 2 x 1 + 4x 2 + 5x 3 − 7 x 4
9 x 1 − 9 x 2 − 8 x 3 + 6x 4
Nos problemas de 22 a 26, verificar se a matriz B ´e inversa da matriz A.
25) A =
e B^ =
Devemos resolver a equa¸c˜ao matricial A · A
− 1 = I, onde B = A
− 1
Portanto:
Portanto, a matriz B n˜ao ´e a matriz inversa da matriz A pois a matriz produto ´e diferente da matriz identidade.
Nos problemas de 27 a 28, calcular m e n para que a matriz B seja inversa da matriz A.
27) A =
[
m − 22
− 2 n
]
e B =
[
]
[
m − 22
− 2 n
]
[
]
[
]
[
m · 5 + (−22) · 2 m · 22 + (−22) · 9
(−2) · 5 + n · 2 (−2) · 22 + n · 9
]
[
]
[
5 m − 44 22 m − 198
−10 + 2n −44 + 9n
]
[
]
Resolvendo o sistema
5 m − 44 = 1 ⇒ m = 9
−10 + 2n = 0 ⇒ n = 5
28) A =
[
]
e B =
[
8 m
n 2
]
[
]
[
8 m
n 2
]
[
]
M
2
M
3 = M
2 · M
M
3
M
3
M
3
M atriz^?
- Dadas as matrizes diagonais: A =
e B^ =
calcularABeclassif icaresseproduto.
AB =
AB =
AB =
M atriz Diagonal
A 29.
Nos problemas 15 a 22, resolver as equa¸c˜oes
2 x x 3 x
4 6 7
3 · x · 7 + 5 · 3 x · 4 + 7 · 2 x · 6 − 4 · x · 7 − 6 · 3 x · 3 − 7 · 2 x · 5 = 39
21 x + 60x + 84x − 28 x − 54 x − 70 x = 39
13 x = 39
x = 3
1 0 x − 1
1 1 x − 2
2 1 x − 4
1 · 1 · (x − 4) + 0 · (x − 2) · 2 + (x − 1) · 1 · 1 − 2 · 1 · (x − 1) − 1 · (x − 2) · 1 − (x − 4) · 1 · 0 = 0
x − 4 + x − 1 − 2 x + 2 − x + 2 = 39
− x − 1 = 0
x = − 1
4 x 2
2 x 8 4
2 · x · 4 + x · 2 · 2 x + 2 · 4 · 8 − 2 x · x · 2 − 8 · 2 · 2 − 4 · 4 · x = − 3
8 x + 4x
2
2 − 32 − 16 x = − 3
− 8 x + 32 = − 3
x =
A 37.
Nos problemas de 4 a 20, calcular a matriz inversa de cada uma das matrizes dadas.
[
]
[
]
[
a b
c d
]
[
]
[
3 a + 5c 3 b + 5d
a + 2c b + 2d
]
[
]
Resolvendo o sistema
3 a + 5c = 1
a + 2c = 0
a = 2 e c = − 1
3 b + 5d = 0
b + 2d = 1
b = − 5 e d = 3
Logo, a matriz inversa ´e
[
]
→^ L 1 =^
L 1 (−3)
4 3
5 3
1 3
→^ L 3 =^ L 3 −^3 ·^ L 1
→ L 4 = L 4 − 3 · L 2
→ L 4 = L 4 − 2 · L 3
→ L 4 = L 4 − 2 · L 3
Logo, a matriz inversa ´e
Nos problemas de 22 a 26, supondo as matrizes A, B, C e D quadradas, de mesma ordem e invers´ıveis, resolver as
equa¸c˜oes matriciais nas quais X ´e a vari´avel.
22) ADX = ABC
M ultiplicando ambos os membros por A
− 1
A
− 1 ADX = A
− 1 ABC
M as, A
− 1 A = I, logo
IDX = IBC
M as, ID = D e IB = B, logo
DX = BC
M ultiplicando ambos os membros por D
− 1
D
− 1 DX = D
− 1 BC
M as, D
− 1 D = I, logo
IX = D
− 1 BC
M as, IX = X, logo
X = D
− 1 BC
23) DX
T = DC
M ultiplicando ambos os membros por D
− 1
D
− 1 DX
T = D
− 1 DC
M as, D
− 1 D = I, logo
IX
T = IC
M as, IX
T = D e IC = C, logo
X
T = C
X = C
T
