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Projeto de engrenagens – notas de aula
- Introdução
- 1-Teoria de engrenagens
- 1.1 - Lei fundamental do engrenamento (evoluta)
- 1.2 -Nomenclatura do dente de engrenagem
- 1.3.1 -Engrenagens cilíndricas de dentes retos
- 1.3.2 -Engrenagens helicoidais
- 1.3.3 - Engrenagens cônicas..........................................................................................................................................
- 1.4 Trem de engrenagens
- 1.4.1 - Trens simples
- 1.4.2 - Trens de engrenagens compostos
- 1.4.3 - Trens de engrenagens planetária
- 1 Projeto de engrenagens cilíndricas
- 1.1 Descrição do procedimento
- 1.2 Determinação da carga:
- 1.3 Tensões de flexão....................................................................................................................................................
- 1.3.2 Fator de aplicação Ka
- 1.3.3 Fator de distribuição de carga Km
- 1.3.4 Fator dinâmico Kv
- 1.3.5 Fator de tamanho Ks
- 1.3.6 Fator de espessura de borda KB
- 1.3.7 Fator de ciclo de carga KI..................................................................................................................................
- 1.4 Resistências à fadiga de flexão................................................................................................................................
- 1.4.1 Fator de vida 𝑲𝑳
- 1.4.2 Fator de temperatura 𝑲𝑻
- 1.4.3 Fator de confiabilidade 𝑲𝑹..............................................................................................................................
- 1.5 Coeficiente de segurança para falha por fadigas de flexão
- 1.6 Equação de tensões superficiais
- 1.6.1 Fator geométrico de superfície I
- 1.6.2 Coeficiente elástico Cp
- 1.6.3 Fator de acabamento Cf
- 1.7 Resistências à Fadiga de Superfície.........................................................................................................................
- 1.8 Coeficiente de segurança para falha por fadigas de flexão
- Projeto de engrenagens helicoidais
- 2.1 Carregamento em engrenagens helicoidais
- 2.2 Tensões em engrenagens helicoidais
- Projeto de engrenagens cônicas
3.1 Carregamentos em engrenagens cônicas ............................................................................................................... 9 3.2 Tensões de flexão em engrenagens cônicas ........................................................................................................... 9 3.3 Tensão de superfície em engrenagens cônicas....................................................................................................... 9 3.4 Fatores geométricos I e J ...................................................................................................................................... 10 3.5 Coeficientes de segurança .................................................................................................................................... 10 Projeto de eixos .............................................................................................................................................................. 10 1 Roteiro do procedimento............................................................................................................................................. 10 2 Layout da geometria .................................................................................................................................................... 11 3 Seleção do Material ..................................................................................................................................................... 11 4 Projeto do eixo considerando as tensões .................................................................................................................... 11 4.1 Tensões nos eixos ................................................................................................................................................. 11 4.1 Aplicação do critério de falha por fadiga .............................................................................................................. 12
- Cálculo dos mancais .................................................................................................................................................... 12
- Determinação das Deflexões (de flexão e de torção) ................................................................................................. 12
- Determinação das Velocidades Críticas ...................................................................................................................... 13 Introdução Engrenagens são usadas para transmitir torque e velocidade angular em diversas aplicações. A maneira mais fácil de transmitir rotação motora entre eixos é através de dois cilindros em contato. Se existir atrito suficiente entre os dois cilindros o mecanismo vai funcionar bem, porém, a partir do momento que o torque transferido for maior que o atrito ocorrerá deslizamento. Com o objetivo de transferir o movimento sem que haja atrito entre os cilindros, utiliza-se dentes que possibilitam transmissão com maiores torques. O conjunto deste dentes é chamado de engrenagem. Todo estudo da engrenagem é concentrado na determinação da geometria e resistência dos dentes. Com relação ao projeto de engrenagens, este texto apresenta uma breve introdução sobre teoria de engrenagens e em seguida os principais pontos relacionados ao projeto de engrenagens. Em seguida, é apresentado o projeto de eixos.
1-Teoria de engrenagens
1.1 - Lei fundamental do engrenamento (evoluta)
1.3.1 -Engrenagens cilíndricas de dentes retos Engrenagens de dentes retos, como mostra a figura 4, tem dentes paralelos ao eixo de rotação e é usada para transmitir movimento de um eixo a outro. Possui limitações quanto às suas aplicações, principalmente para larguras maiores de 25 mm, devido à dificuldade de contato uniforme ao longo de toda a largura do dente. Qualquer desalinhamento nos eixos ou imprecisão na usinagem do perfil dos dentes, acarreta um contato não uniforme, ocasionando falha prematura dos dentes. Portanto, mpara maior duração requer dentes retificados e um perfeito alinhamento (paralelismo) na montagem entre os eixos. A tabela 1 mostra as relações mais comuns para engrenagens de dentes retos. Adendum m Diâmetro ext da coroa dg + 2a = m Dedendum 1.25 × m Folga 0.25 × m Diâmetro da engrenagem 1 (pinhão) m × Np Raio do filete 0.30 × m Diâmetro da engrenagem 1 (coroa) m × Ng Diâmetro base Db = dp × cos q Distância entre centros (dg +dp)/2 Número mínimo de dentes 12 a 15 Altura do dente 2.25 × m Diâmetro ext. do pinhão dp +2a = m O carregamento 𝑊 em uma engrenagem cilíndrica de dentes retos ocorre na linha de ação e pode ser decomposto de uma componente tangencial 𝑊௧ e de uma componente radial 𝑊. Contudo, a carga aplicada no engrenamento é determinada apenas por 𝑊௧, chamada de componente útil, que pode ser calculada por 𝑊௧ = 𝑐𝑜𝑠𝜃 (2). 1.3.2 - Engrenagens helicoidais Engrenagens helicoidais possuem dentes inclinados em relação ao eixo central, conforme mostrado na figura 5. Isto favorece um engrenamento gradual e progressivo e com isto,, possuem a vantagem de ser mais silenciosa, com pouca vibração, não exigindo dentes retificados. Como o contato entre os dentes ocorre no plano inclinado, a força de contato atuando no plano inclinado NN, mostrado na figura 6 mostra ser normal à superfície de ambos os dentes. Devido à essa inclinação, três componentes de força são geradas. As componentes radial (Fr) e axial (Fa) não causam torque nos eixos de transmissão. A primeira causa flexão e a segunda apenas tensão axial. Embora sejam importantes no dimensionamento da transmissão com um todo (eixos, engrenagens, selos, mancais, ...) aparecem apenas indiretamente nos cálculos das tensões nos dentes. De fato, uma vez que os ângulos de hélice e pressão para um conjunto de redução são fixos e definem a relação entre as forças, o efeito de cada uma pode ser incluído na força tangencial (Ft), que é a que define o torque que está sendo transmitido. A figura 6 permite determinar as relações entre as forças. Nessa figura é mostrada uma vista superior da engrenagem helicoidal e os dentes
nos planos RR e NN, na qual as seguintes drelações são encontradas:. pn = p cos ψ tan t = tan n / cos e
mn = m cos ψ. A transmissão de força nas engrenagens helicoidais é mostrada na figura 7, na qual a força W, a pode ser decomposta nas componentes radial, axial e tangencial, resultando nas seguintes equações: 𝑊௧ = ் , 𝑊 = 𝑊௧ tan 𝜙, 𝑊 = 𝑊௧ tan Ψ , 𝑊 = ௐ ୡ୭ୱ ట ୡ୭ୱ థ
. A tabela 2 mostra as geometrias dos dentes das engrenagens helicoidais mais usadas. Addendum m Altura do dente 2.25 × mn Deddendum 1.25 × m Diâmetro ext. do pinhão dp + 2a = mt Diâmetro do pinhão mt × Np Diâmetro ext da coroa dg + 2a = mt (Ng + 2. cos y) dG
- 2a Diâmetro da coroa mt × Ng Folga 0.25 × mn
Distância entre centros (dg +dp)/2 Diâmetro base Db = dp × cos qt 1.3.3 - Engrenagens cônicas Engrenagens cônicas são usadas principalmente para a transmissão entre eixos que se cruzam. Os dentes podem apresentar a forma reta ou helicoidal e são usinados na face do tronco, de tal forma que tenha geometria variável, ou seja, como o diâmetro é variável, assim, o passo diametral ou módulo variam. Nas engrenagens cônicas de dentes retos ou helicoidais o vértice dos cones são concorrentes, isto é, convergem para um mesmo ponto. A interação dos dentes ocorre da mesma forma que a já estudada para as engrenagens cilíndricas de dentes retos e helicoidais. Isto quer dizer que os conjuntos cônicos de dentes helicoidais tem também transmissões mais suaves e silenciosas. Devido ao ângulo do cone, a configuração geométrica destas engrenagens apresenta novos parâmetros a serem definidos. A figura 8 ilustra um conjunto pinhão/coroa, mostrando estes novos parâmetros. Observa-se que para eixos perpendiculares, os ângulos g e p somam 90 :g + p = 90 Nas engrenagens cônicas, mesmo de dentes retos, a força normal W que o pinhão faz sobre a coroa, e vice-versa, pode ser decomposta em três
componentes, como mostrado na figura. Wt W.cosWr W.sin.cos(17) Wa
W.sen.senNas engrenagens cônicas, o torque T é calculado usando a raio médio rm, ou seja: Wt
T / rm Assim, pode-se escrever também: Wr Wt.tgcos Wa W.tgsen
1.4 Trem de engrenagens Um trem de engrenagens é qualquer coleção de duas ou mais engrenagens acopladas utilizadas para transmitir movimento, velocidades e torque e podem ser trens simples, compostos e planetários. 1.4.1 - Trens simples Trens simples são aqueles que apresentam apenas um eixo para cada engrenagem e frequentemente são utilizados para reduções máximas até 10:1. A relação entre as duas velocidades é dada pela equação 1: 𝑒 = ቚ ೝೌೌ ೞೌ íೌ
ேೝೌೌ ேೞೌ íೌ
1.4.2 - Trens de engrenagens compostos Para se obter reduções maiores que 10:1 é necessário utilizar trens compostos, em que, pelo menos um eixo existem mais de uma engrenagem. A relação das velocidades é dada pela equação 2: 𝑒 = ቚ ௗ௨௧ ௗ ú ௗ ௗ௧௦ ௗ௦ ௦ ௧௦ ௗ௨௧ ௗ ú ௗ ௗ௧௦ ௗ௦ ௦ ௩ௗ௦
1.4.3 - Trens de engrenagens planetária Trens planetários são trens com dois graus de liberdade. Duas entradas são necessárias para obter uma saída. Normalmente se usa uma entrada, um sistema fixo e uma saída. Em alguns casos como em diferenciais de veículos, uma entrada é usada para se obter duas saídas, uma para cada roda. A relação de velocidades pode ser calculada pela equação 3: 𝑒 = ቚ ேି ே ேೞ ି ே
Onde Ne é o número de rotações por minuto da engrenagem de entrada; Ns é o número de rotações por minuto da engrenagem de saída Ni é o número de rotações por minuto da engrenagem intermediária (ou braço)
1 Projeto de engrenagens cilíndricas
1.1 Descrição do procedimento
Um projeto de engrenagens, baseado no padrão AGMA, envolve muitos detalhes. Assim o objetivo deste texto é apresentar um entendimento básico sobre o procedimento, indicando as principais características envolvidas no processo. Neste sentido, as equações são apresentadas no sistema internacional (SI). Normalmente, durante o projeto de engrenagens, não existe informação suficiente para encontrar todas as incógnitas. Usualmente, a razão de engrenamento e a potência P e velocidade v ou o torque T e velocidade v são definidas, contudo, é necessário supor alguns parâmetros como diâmetros primitivos do pinhão dp e da engrenagem de, número de dentes e módulo m, largura de face F, materiais e algumas decisões de
1.3.6 Fator de espessura de borda KB Este fator levar em conta, situações em que uma engrenagem é fabricada em um anel em vez de um disco sólido. Tais projetos podem falhar por fratura radial em de fratura na raiz do dente. A AGMA define uma razão de recuo mb, como 𝑚 = ௧ೝ (4), onde 𝑡 é a espessura da borda medida do diâmetro da raiz do dente até o diâmetro interno da borda e ℎ௧ é a profundidade total do dente (a soma do adendo com o dedendo). O fator de espessura de borda é então definido como: 𝐾 = −2𝑚 + 3,4 (5), para 0 ,5 ≤ 𝑚 ≤ 1,2 e 𝐾 = 1 para 𝑚 ≥ 1,2. Razões de recuo < 0.5 não são recomendadas. Engrenagens de disco sólido terão 𝐾 = 1. 1.3.7 Fator de ciclo de carga KI Este fator é utilizado para engrenagens livres (intermediária), pois estão sujeitas a mais ciclos de tensão e cargas alternantes de maior magnitude que as engrenagens não-soltas. Para levar em conta essa situação, o fator KI, é definido igual a 1,42 para uma engrenagem intermediária e 1,0 para uma engrenagem não-solta.
1.4 Resistências à fadiga de flexão
Após a determinação da tensão de flexão, a resistência a fadiga a flexão deve ser determinada, para tanto, um material deve ser admitido, contudo, é preciso considerar que apenas um número limitado de metais e ligas são apropriados para engrenagens que transmitem significativa potência. Os métodos tradicionais para estimar a resistência à fadiga podem ser usados, porém, a AGMA disponibiliza resultado de ensaios referente a metais e ligas apropriados para estas engrenagens. Tais resultados são fornecidos em forma de tabelas contendo resistência a fadiga de flexão 𝑆′ para os diversos materiais. No entanto, é necessário considerar os fatores de modificação para a aplicação, conforme a seguinte equação: 𝑆 = ಽ ೃ
onde 𝑆 representa a resistência à fadiga corrigida, 𝐾 é o fator de vida, 𝐾் o fator de temperatura e 𝐾ோ o fator de confiabilidade. 1.4.1 Fator de vida 𝑲𝑳 Os dados experimentais são para uma vida de 10^7 ciclos. Para um ciclo de vida menor ou mais longo, são necessárias modificações na resistência à fadiga de flexão baseado na relação S-N do material. A AGMA fornece equações para diversos materiais que podem ser usadas para calcular fator 𝐾 apropriado para um número requerido de ciclos de carga N, definido como o número de contatos entre os dentes da engrenagem. Todas estas equações fornecem 𝐾 = 1. para N= 107 ciclos. 1.4.2 Fator de temperatura 𝑲𝑻 A temperatura do lubrificante é uma medida razoável da temperatura da engrenagem. Para aços em óleos com temperaturas até 250°F, 𝑲𝑻 pode ser posto igual a unidade. Para temperaturas maiores, 𝑲𝑻 pode ser estimado a partir de 𝐾் = ସା் (^) ಷ ଶ (7) onde 𝑻𝑭 é a temperatura do óleo em °F. Esta relação é apenas para o aço. 1.4.3 Fator de confiabilidade 𝑲𝑹 Os valores de resistência da AGMA baseiam-se na probabilidade estatística de 1 falha em 100 amostras, ou seja, uma confiabilidade de 99%. Se esta for satisfatória 𝑲𝑹 pode ser posto igual a unidade. Se um fator de confiabilidade maior ou menor for desejado, pode-se utilizar tabelas fornecidas pela AGMA.
1.5 Coeficiente de segurança para falha por fadigas de flexão
Os padrões ANSI/AGMA2001-D04 contém um fator de segurança 𝑆ி de resguardo contra falha por fadiga de flexão, dado por 𝑆ி = ௌ್ ఙ್ (8). Neste ponto, avalia-se se o coeficiente de segurança é aceitável, senão, ajustam-se os valores admitidos e repetem-se os cálculos, até convergir para uma solução admissível.
1.6 Equação de tensões superficiais
As tensões de superfície nos dentes de engrenagem foram cientificamente investigadas por Buckingham. Tal estudo levou ao desenvolvimento da seguinte equação para tensões superficiais da AGMA: 𝜎 = 𝐶ට ௐ ிூௗ ೌ ೡ (9), onde I é um fator geométrico de superfície adimensional para resistência à fadiga
superficial (crateramento), 𝐶 é um coeficiente elástico e os fatores 𝐶, 𝐶 e 𝐶௩ são iguais, respectivamente a 𝐾, 𝐾 e 𝐾௩ definido na seção 1.3. Os novos fatores 𝐼, 𝐶 e 𝐶 serão definidos a seguir: 1.6.1 Fator geométrico de superfície I Este fator leva em conta os raios de curvatura dos dentes da engrenagem e o ângulo de pressão. A AGMA define uma equação para I como sendo: 𝐼 = ୡ୭ୱ థ ൬ (^) ഐభ ା (^) ഐభ ൰ௗ (10), onde 𝜌 e 𝜌 são os raios de curvatura dos dentes do pinhão e da engrenagem respectivamente. Os raios de curvatura dos dentes são calculados a partir a geometria do engrenamento. 1.6.2 Coeficiente elástico Cp O coeficiente elástico leva em conta quando são utilizados materiais diferentes para o par engrenado e é encontrado a partir de uma equação que leva em conta os módulos de elasticidade e os coeficientes de Poisson de cada engrenagem, ou pode ser obtido através de tabelas fornecidas pela AGMA para várias combinações de materiais comuns de engrenagem e pinhão 1.6.3 Fator de acabamento Cf O fator de acabamento é utilizado para levar em conta acabamentos superficiais extraordinariamente grosseiros nos dentes de engrenagem. A AGMA ainda não estabeleceu normas para fatores de acabamento superficial e recomenda que Cf seja posto igual a unidade para engrenagens feitas por métodos convencionais.
1.7 Resistências à Fadiga de Superfície
A resistências à fadiga de superfície para materiais de engrenagem pode ser obtida através da seguinte equação: 𝑆 = ಽಹ ೃ 𝑆′ (11), onde 𝑆′ corresponde a valores de resistência à fadiga de superfície publicados pela AGMA, 𝑆 resistência à fadiga corrigida. 𝐶் e 𝐶ோ são respectivamente os fatores de temperatura o de confiabilidade e são idênticos a 𝐾் e 𝐾ோ. 𝐶 possui o mesmo propósito de 𝐾, porém utiliza equações diferentes. O fator 𝐶ு é conhecido como fator de razão ou de dureza. É uma função da razão de engrenamento e da dureza relativa do pinhão e engrenagem. 𝐶ு é sempre maior que a unidade, atuando para aumentar a resistência da engrenagem. Portanto, leva em conta situações em que os dentes do pinhão são mais duros que os dentes da engrenagem, assim, é aplicado somente para a resistência do dente da engrenagem, não do pinhão. A norma sugere duas fórmulas para seu cálculo.
1.8 Coeficiente de segurança para falha por fadigas de flexão
Os padrões ANSI/AGMA2100-D04 contém um fator de segurança 𝑆ு de resguardo contra falha de crateramento, dado por 𝑆ி = ௌ್ ఙ್ (12). Neste ponto, avalia-se se o coeficiente de segurança contra o desgaste é aceitável. A dureza do material pode ser ajustada se necessário, ou o processo completo pode ser repetido com os valores ajustados do passo ou largura de face.
2. Projeto de engrenagens helicoidais
Engrenagens helicoidais são similares a engrenagens retas. Porém, apesar de seus dentes serem involutas, são inclinados com relação ao eixo de rotação em um ângulo de hélice , variando entre 10° a 45°.
2.1 Carregamento em engrenagens helicoidais
O carregamento em uma engrenagem helicoidal também é composto por uma componente tangencial 𝑊௧ e uma componente radial 𝑊. Contudo, a carga aplicada no engrenamento é determinada apenas por 𝑊௧, determinado por 𝑊௧ = ଶ் ௗ (13). Além da componente radial 𝑊, devido ao ângulo de hélice, há agora também uma componete de força 𝑊, que tende a separar as engrenagens axialmente. As componentes de força em um engrenamento helicoidal são dadas por 𝑊 = 𝑊௧ tan 𝜙 (14), 𝑊 = 𝑊௧ tan 𝜓 (15) e 𝑊 = ௐ ୡ୭ୱ ట ୡ୭ୱ థ
e deve ser consultada o caso de projeto verdadeiro. Os novos fatores de ajuste para esta equação são 𝐶, que é uma constante de ajuste de tensão, definida como 0,634 pela norma atual da AGMA e 𝐶௫, um fator de coroação definido como 1,0 para dentes não-coroados e 1,5 para dentes coroados. (Dentes coroados têm superfícies modificadas para ter curvatura convexa na direção do comprimento - ao longo da largura da face
- para produzir contato localizado e/ou para evitar contato nas extremidades do dente. A coroação pode ser aplicada para todos os tipos de dentes. Dentes coroados reduzem a necessidade de alinhamento preciso dos eixos das engrenagens que se acoplam para serem exatamente paralelos). O exponente z é 0,667 quando 𝑇 < 𝑇 e 1,0 nos outros casos. Os dois termos de torque 𝑇 e 𝑇, requerem alguma explicação. 𝑇 é o torque de operação do pinhão, definido pelas cargas, torque ou a potência e velocidade, e pode ser variável no tempo. 𝑇 é o torque de projeto do pinhão, que é o mínimo valor necessário para produzir uma área de contato completo (ótimo) nos dentes da engrenagem. Em muitos casos, 𝑇, é o torque necessário para criar uma tensão de contato igual à tensão de contato permissível para o material e pode ser estimado por 𝑇 = ி ଶ ூೡ ೞೌ ೣ
ௌ′ௗ ,ସ (^) ೃ ൰ (26), onde Sfr’ é o mesmo valor tabelado para resistência de fadiga de superfície do material Sfc’, definido na seção 1.7. Os fatores C são definidos conforme as engrenagens cilíndricas retas. 𝐶ௗ é um fator de montagem para levar em conta a montagem de balanço ou encavalada de uma ou ambas as engrenagens. Se os dentes das engrenagens forem coroados, 𝐶ௗ varia de 1,2 para ambos os membros montados encavalados a 1,8 se ambos estiverem em balanço. Use um valor entre esses dois números se um membro estiver em balanço e o outro montado encavalado. Para dentes sem coroa, dobre esses números. Ver a norma AGMA para informações mais detalhadas.
3.4 Fatores geométricos I e J
Os fatores de geometria para engrenagens cônicas retas e espirais são diferentes daqueles para engrenagens retas ou helicoidais. A norma AGMA provê gráficos para esses fatores para engrenagens cônicas retas, Zerol e espirais.
3.5 Coeficientes de segurança
Os coeficientes de segurança contra falha de flexão ou crateração são calculados da mesma maneira como delineado para engrenagens retas. Projeto de eixos 10 1 Descrição do procedimento........................................................................................................ 10 2 Layout da geometria .................................................................................................................. 11 3 Seleção do Material.................................................................................................................... 11 4 Projeto do eixo considerando as tensões.................................................................................... 11 4.1 Tensões nos eixos ................................................................................................................ 11 4.1 Aplicação do critério de falha por fadiga ............................................................................ 12
- Cálculo dos mancais ................................................................................................................. 12
- Determinação das Deflexões (de flexão e de torção)................................................................ 12
- Determinação das Velocidades Críticas.................................................................................... 13
Projeto de eixos
Os eixos são utilizados para transmitir movimento de rotação ou torque de uma posição para outra, ou ainda como apoio de rodas ou outros mecanismos fixados ao eixo, é possível ter engrenagens, polias, catracas, volantes, etc. Este texto abordará apenas projeto de eixos em rotação.
1 Roteiro do procedimento
Um projeto de eixo envolve muitos detalhes e interação. O procedimento inicia com a determinação do leiaute da geometria, considerando o espaço disponível, em seguida, são determinados os esforços em função dos componentes de transmissão e as reações nos mancais; como resultado, determina-se os locais potencialmente críticos. O dimensionamento inicia com a escolha do material e suas propriedades. Na fase posterior, determina-se uma estimativa de diâmetro no local potencialmente crítico, aplicando a análise de tensão, considerando um critério de falha de fadiga conservativo para um primeiro passo; verifica-se se as estimativas são aceitáveis aplicando novamente o critério de falha por fadiga. Neste ponto, avalia-se se o
coeficiente de segurança é aceitável, senão, ajustam-se os valores de diâmetro. Os cálculos são repetidos até convergir para uma solução admissível. Em seguida, calcula-se os mancais de rolamento e procede-se com a análise de rigidez através do cálculo da deflexão. Caso as deflexões não satisfaçam a condição de rigidez, altera-se os valores de diâmetro até uma solução admissível, quando então os mancais definitivos são determinados. Finalmente avalia-se a velocidade crítica.
2 Layout da geometria
Na maioria das vezes, um eixo é utilizado como apoio de outros componentes. O posicionamento axial destes componentes é definido pelo tamanho do compartimento e pelos componentes, que são, em geral, alocados entre mancais, a não ser polias e rodas dentadas, que frequentemente necessitam acesso fácil para instalação de correia ou corrente. Nestes casos, o comprimento do balanço deve ser mantido curto para minimizar a deflexão. Recomenda-se a utilização de apenas dois mancais. Em eixos longos, com vários componentes de carga, pode ser necessário mancais de intermediários, mas atenção deve ser dada ao alinhamento dos mancais. Eixos devem ser mantidos curtos para minimizar momentos fletores e deflexões. O meio primário de posicionar componentes é utilizar ressaltos do eixo, que também minimiza deflexão e vibrações. Às vezes, quando as magnitudes das forças são razoavelmente baixas, canais par anéis de retenção podem ser usinados ou ainda, utilizar espaçadores entre componentes. Nos casos em que as cargas axiais são muito pequenas ou insignificantes, ajustes de pressão podem ser viáveis.
3 Seleção do Material
A resistência necessária para suportar às tensões influenciam a escolha de materiais e seus tratamentos. Para tanto, pode-se utilizar as cartas para seleção de materiais de Ashby; no entanto, custo e disponibilidade também devem ser considerado. As deflexões não são afetadas pela resistência do material, mas sim pela sua rigidez. Todos os aços apresentam alta rigidez correspondendo ao seu módulo de elasticidade constante. Desta forma, a deflexão depende apenas da geometria do eixo.
4 Projeto do eixo considerando as tensões
Eixos rotativos sujeitos a flexão, estão submetidos a um estado de tensões completamente reversas. Assim, o modelo de falha predominante para eixos girantes é de falha por fadiga. Se as cargas transversais ou torques variam no tempo, a carga de fadiga fica mais complexa, contudo, os princípios para um projeto considerando fadiga permanecem os mesmos. Este texto abordará a existência de cargas de flexão e de
torção. As cargas de tensão axial serão desconsideradas. Em projeto de eixos, não é necessário avaliar as
tensões em todos os pontos do eixo; um ou mais locais potencialmente críticos serão suficientes. Normalmente, locais críticos estarão na superfície externa e/ou onde existem concentrações de tensão concomitamente a locais onde o momento fletor e o torque são grandes. É aceitável desprezar as tensões axiais induzidas por engrenagens helicoidais ou cônicas quando a flexão está presente em um eixo.
Contudo, se uma carga axial é aplicada ao eixo de alguma outra maneira, não é seguro assumir que seja
desprezível sem verificar as magnitudes.
4.1 Tensões nos eixos
Em projeto de eixos, antes da análise de fadiga, é suficiente combinar os diferentes tipos de tensões em tensões alternante e média, utilizando a teoria da máxima energia de distorção ou de von Mises. Dessa forma, as tensões flutuantes devido à flexão e torção são dadas por: 𝜎 = 𝐾 ெೌ ூ
ெ ூ
்ೌ (3) e 𝜏 = 𝐾௦ ் (4), em que 𝑀 e 𝑀 são os momentos fletores alternante e médio e 𝑇 e 𝑇 são os torques alternante e médio. 𝐾 e 𝐾௦ são os fatores de concentração de tensão de fadiga para flexão e torção respectivamente, I é o 2° momento, J o 2° momento polar e c o raio do eixo. Assumindo um eixo sólido com seção transversal circular, os termos geométricos e apropriados podem ser introduzidos para c, I e J, resultando em: 𝜎 = 𝐾 ଷଶெೌ గௗయ^
ଷଶெ గௗయ^
ଵ்ೌ గௗయ^ (7) e 𝜏 = 𝐾௦ ଵ் (^) గௗయ^ (8). Visto que 𝑀 = 𝑇 = 0 e combinando as tensões de acordo com a teoria de von Mises para eixos rotativos, onde 𝜎^ ᇱ^ = (𝜎^ ଶ^ + 3𝜏^ ଶ) భ మ (^) (9a), e 𝜎^ ᇱ^ = (𝜎^ ଶ^ + 3𝜏^ ଶ^ ) భ మ (^) (9b), encontramos: ou 𝜎^ ᇱ^ = 𝐾 ଷଶெೌ గௗయ^ (10) e 𝜎^ ᇱ^ = 3 ቀ𝐾௦ ଵ (^) గௗయ^
ଶ ൨ భ మ (11). Uma vez definida as tensões equivalentes em termos das tensões alternante e média, é possível analisar
diâmetro pode ser encontrado por meio de 𝑑௩ = 𝑑௩ ቂ ௗೣ /ௗ .ೌ (^)
భ ర (18), em que 𝑖𝑛𝑐𝑙.ௗ é a inclinação admissível.
7. Determinação das Velocidades Críticas
Sistemas contendo elementos inerciais, de rigidez e de dissipação, quando excitados com movimentos cíclicos, possuirão um conjunto de freqüências naturais. Se essas forças de excitação coincidirem com a freqüência natural do sistema, diz-se então que o sistema está em um estado conhecido como ressonância, em que vibrará com amplitudes potencialmente grandes. A Figura (1) mostra a resposta da amplitude de uma vibração forçada em função da razão da freqüência da força pela freqüência natural do sistema 𝜔/𝜔(19). Quando essa razão se aproxima da unidade, na ausência de amortecimento, a amplitude da resposta aproxima-se do infinito. Qualquer elemento de dissipação (amortecimento), mostrado ζ reduz a relação de amplitudes na ressonância. Uma frequencia natural também é chamada de freqüência crítica ou velocidade crítica. Quando a geometria é simples, como em um eixo de diâmetro uniforme e apoio simples, A velocidade crítica pode ser expressa por 𝜔ଵ = ቀ గ
ଶ ට ாூ
గ
ଶ ට ாூ ఊ (20), onde em m é a massa por unidade de comprimento, A é a área de seção transversal e é o peso específico. Para um eixo com um conjunto de componentes, o método de Rayleigh-Ritz para massas discretizadas fornece 𝜔ଵ = ට ∑^ ఠ௬ ∑ ఠ௬మ^ (21), em que 𝜔 é o peso da i-ésima localidade e 𝑦 é a deflexão da i-ésima localidade do corpo, no entanto, esta equação superestima a velocidade crítica. A estratégia usual de projeto é manter todas as freqüências de força, ou auto-excitantes, abaixo da primeira freqüência crítica com alguma margem de segurança. Quanto maior for essa margem, melhor, recomenda-se um coeficiente de pelo menos 3 a 4 é desejável. Em algumas aplicações, isto não é possível, ou seja, a freqüência de rotação deve ser maior que a freqüência natural do sistema de eixos. Neste caso, sugere-se acelerar o sistema, suficientemente rápido, para passar pela ressonância, antes que as vibrações provoquem grandes amplitudes
