Baixe Exercícios de Matemática: Equações, Funções e Geometria e outras Manuais, Projetos, Pesquisas em PDF para Matemática, somente na Docsity!
- Inequa¸c˜oes. Valores aproximados de n´umeros reais
P´ag. 8
( −
× (−1)−^3 :
9 = 3−^2 × (−1) : 3 = − 3 −^2 : 3 = − 3 −^3
[
)− 1 ]− 2
× 1
+ 2 = 6^2 + 2 = 36 + 2 = 38
(0, 1)^2 × 103 + 3
8 : (−2)−^1 =
× 103 + 2 :
= 10−^2 × 103 + 2 × (−2) = 10 − 4 = 6
10 −^100 × 2 −^100 : 24−^2 × 2496 = 24−^100 : 24−^2 × 2496 = 24−^98 × 2498 = 24^0 = 1
10 −^2 +
: 2−^1
× 2
10 −^70 + 3 × 10 −^70
2 × 10 −^7
4 × 10 −^70
2 × 10 −^70
4 × 10 −^70
2 × 10 −^70 =
2 −^3 × 12
2
2
× 12
2
2
= 2^2 = 4
2
2 −^3
× 6 −^2 = 1 −
2
) 3 ×
3 4 1 8
×
×
= 1 − 6 ×
Resposta: Uma flor pode 1 4 127 20 5 6 inspirar um sentimento 1 − 3 −^3 A Matem´atica fortalece 6 2 0 o pensamento
P´ag. 9 2.1. a)
f (x) = − 1 3
- 1(3) − 2 x + 5(3) = − 2 x − 1 3
+^3
+^15
= − 2 x +^17 3 Na forma can´onica: f (x) = − 2 x + (^173)
b)
g (x) = − x 3 − 2 + x(3) = − x 3
3 x 3
x − 2
Na forma can´onica: g (x) = 23 x − 2
f (x) = g (x) ⇔ − (^2) (3)x +
x − (^2) (3) ⇔ − 6 x + 17 = 2x − 6 ⇔ − 6 x − 2 x = − 6 − 17 ⇔
⇔ − 8 x = − 23 ⇔ x =
O conjunto-solu¸c˜ao da equa¸c˜ao ´e S =
8
3.1. − 3 x + 1 = 2 − 2 x − 2 x ⇔ − 3 x + 2x + 2x = 2 − 1 ⇔ x = 1 S = { 1 }. A equa¸c˜ao ´e poss´ıvel e determinada em R.
3.2.
1 2 x − 1 = x(2) − x 2 − 1 ⇔ x = 2x − x ⇔ x − 2 x + x = 0 ⇔ 0 x = 0
S = R. A equa¸c˜ao ´e poss´ıvel e indeterminada em R.
3.3.
− (^3) (2)x + 1(2) =
2 x^ −^4 ⇔ −^6 x^ + 2 =^ x^ −^8 ⇔ −^6 x^ −^ x^ =^ −^8 −^2 ⇔ −^7 x^ =^ −^10 ⇔^ x^ =
S =
7
. A equa¸c˜ao ´e poss´ıvel e determinada em R.
3.4.
1 − x − 1 2
x + 3
x − 1 2
x + 3(2) ⇔ −x + 1 = −x − 6 ⇔ −x + x = − 6 − 1 ⇔ 0 x = − 7
S = ∅. A equa¸c˜ao ´e imposs´ıvel em R.
3.5.
1 − x − 3 2 − 2 (x − 1) = 0 ⇔ (^1) (2) − x − 3 2 − (^2) (2)x + 2(2) = 0 ⇔ 2 − x + 3 − 4 x + 4 = 0 ⇔
⇔ −x − 4 x = − 2 − 3 − 4 ⇔ − 5 x = − 9 ⇔ x =
S =
5
. A equa¸c˜ao ´e poss´ıvel e determinada em R.
4.1. { x − 1 = 3 − 2 x + 1 = 5y ⇔
x = 4 − 2 × 4 + 1 = 5y ⇔
x = 4 5 y = − 7 ⇔
x = 4 y = − (^75)
S =
2 x − 1 = y − x 2 + 1 = 3y ⇔
y = 2x − 1 − x 2 + 1 = 3 (2x − 1) ⇔
y = 2x − 1 − x 2 + 1(2) = 6(2)x − (^3) (2)
y = 2 × 138 − 1 x = 138 ⇔
y = 1613 − 1 x = 138 ⇔
y = 133 x = 138
S =
13 ,^
P´ag. 13
a =
2; 2 a = 2
2; −a = −
2; a +
; 1 − a = 1 −
a
; a^2 = 2
Como 1 <
e (1, 5)^2 =
2
, ent˜ao: −
2 e 1 −
2 s˜ao n´umeros negativos e −
√^1 2 <^
2 (o inverso de um n´umero positivo maior que 1 ´e menor que o pr´oprio n´umero 1);
2 + 12 < 2, pois
Resposta: −a < 1 − a < (^1) a < a < a^2 < 2 a.
a = −
3 ;^2 a^ =^ −^
3 ;^ −^2 a^ =
3 ;^ a
27 ;^ a
2 =^1
9 ;^ a^ + 2 =
a =^ −^3
=^18
=^45
Resposta: a + 2 > − 2 a > a^2 > a^3 > a > 2 a > (^1) a
3.1. Se x < 1, ent˜ao − 12 x > − 12.
3.2. Se x < 5 e y < 3, ent˜ao x + y < 8.
P´ag. 14
- A = {− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 , 3 }; B = {− 2 , − 1 , 0 , 1 , 2 }; C = {− 1 , 0 , 1 }
- Por exemplo, 0,000 015. H´a uma infinidade de n´umeros reais entre 0,000 01 e 0,000 02.
- N˜ao faz sentido porque s˜ao conjuntos infinitos.
P´ag. 15 Quest˜ao 3
3.1. A = [0 , 3] 3.2. B = ]− 1 , 5[ 3.3. C = [− 2 , 8[
3.4. D = ]− 4 , 4] 3.5. E =
]
]
3.6. F =
]
[
3.7. G =
[√
[
3.8. H = [− 10 , 100[ 3.9. I =
]
]
P´ag. 17 Quest˜ao 4
4.1. A = ]− 1 , + ∞[ 4.2. B = ]−∞ , 5[ 4.3. C =
[ 1
2 ,^ +^ ∞
[
4.4. D =
]
]
1.1. A = [0 , + ∞[ 1.2. B = ]−∞ , 50] 1.3. C =
]
[
1.4. D = ]−∞ , − 10]
2.1. − 1 < x ≤ 3 2.2. 3 ≤ x < 5 2.3. x > − 1 2.4.
− 1 2 < x ≤ − 1 3
2.5. x ≤ 5 2.6. − 4 < x ≤ 7
3.1. –5 +7 = 2. O intervalo pedido ´e ]− 5 , 2]. 3.2. 4 – 12 = 8. O intervalo pedido ´e ]− 8 , 4].
P´ag. 18
1.1. [− 3 , 5] 1.2. ]2 , 3[ 1.3. [0 , 6[ 1.4. ] − 2 ,
]
P´ag. 19 Quest˜ao 5
5.1. 5.2. 5.3. 5.4.
P´ag. 20 Quest˜ao 6
6.1. A ∩ B = ]2 , 5[ ; A ∪ B = IR = ]−∞ , + ∞[
6.2. A ∩ B = ∅ ; A ∪ B = IR = ]−∞ , + ∞[
6.3. A ∩ B = ∅ ; A ∪ B = [− 1 , + 3[ ∪ ]3 , + ∞]
6.4. A ∩ B =
[
]
; A ∪ B = [− 7 , 5]
1.1. A = [0, + ∞[ 1.2. B = ]−∞, 50] 1.3. C =
]
[
1.4. D = ]−∞, − 10]
1.5. E =
]
]
1.6. F = [0 , 4[..
2.1. − 1 < x ≤ 3 2.2. 3 ≤ x < 5 2.3. x > − 1 2.4.
− 1 2 < x ≤ − 1 3
6.4. A = [− 3 , 3] ; B = ]−∞ , − 1] ∪ { 0 , 1 }
A ∩ B = [− 3 , −1] ∪ { 0 , 1 } ; A ∪ B = ]−∞ , 3]
P´ag. 22
- Nas op¸c˜oes (A) e (B) verifica-se a monotonia da adi¸c˜ao. Nas op¸c˜oes (C) e (F) verifica-se a monotonia parcial da multiplica¸c˜ao. Na op¸c˜ao (E) a condi¸c˜ao x < 3 ´e equivalente a 3 > x. Resposta: (D)
2.1 x −→ N´umero em que o Ant´onio pensou 2 x −→ N´umero que o Ant´onio obteve depois de o multiplicar por 2. A express˜ao que representa os n´umeros em que o Ant´onio pode ter pensado ´e 2x > 6. Resposta: (C)
2.2. O Ant´onio pensou num n´umero maior do que 3. Resposta: (D)
P´ag. 24 Quest˜ao 7 Sejam f (x) = − 12 x + 3 − 5 e g (x) = 12 x − x + 7 Se escrevermos f e g na forma can´onica, tem-se:
f (x) = −
2 x^ + 3^ −^ 5 =^ −^
2 x^ −^2
g (x) =
2 x^ −^ x^ + 7 =^ −^
2 x^ + 7 Como os coeficientes de x das fun¸c˜oes afins f e g n˜ao s˜ao distintos, a condi¸c˜ao − 12 x + 3 − 5 < 12 x − x + 7 n˜ao ´e uma inequa¸c˜ao do 1.◦^ grau.
P´ag. 25 Quest˜ao 8
8.1. −x + 3 > 5 x + 1 ⇔ −x − 5 x > 1 − 3 ⇔ − 6 x > − 2 ⇔ 6 x < 2
8.2. 5 x − 1 < 3 x − 7 ⇔ 5 x − 3 x < −7 + 1 ⇔ 2 x < − 6
8.3.
2 x − 1 3
(^7) (3) + 3(3)x ⇔ 2 x − 1 > 21 + 9x ⇔ 2 x − 9 x > 21 + 1 ⇔ − 7 x > 22 ⇔ 7 x < − 22
P´ag. 26 Quest˜ao 9
9.1. 1 2 x <^3 (2)^ ⇔^ x <^6 S = ]−∞ , 6[
9.2.
− 3 x ≥ 1 ⇔ 3 x ≤ − 1 ⇔ x ≤ − 1 3 S =
]
]
x ⇔
x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 S = [0 , + ∞[
9.4. − 3 x ≥ 0 ⇔ 3 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0 S = ]−∞ , 0]
9.5. 1 (^3) (3)^ x >^
(^2) (3)^ ⇔^ x >^
S =
]
[
x ≤
x ≥ −
⇔ x ≥ −
S =
[
[
Quest˜ao 10
10.1. x − 5 < 10 ⇔ x < 15 Logo, S = ]−∞ , 15[
10.2. 9 < 3 x ⇔ − 3 x < − 9 ⇔ x > 3 Logo, S = ]3 , + ∞[
10.3. − 5 x ≥ 25 ⇔ x ≤ − 5 Logo, S = ]−∞ , − 5]
7 x − 4 > −x + 3 ⇔ 8 x > 7 ⇔ x >
Logo, S =
] 7
8 ,^ +^ ∞
[
− 12 ≤ − 15 x + 17 ⇔ 15 x ≤ 29 ⇔ x ≤
Logo, S =
]
]
10.6. − 5 x > −2 (x − 3) ⇔ − 5 x > − 2 x + 6 ⇔ − 3 x > 6 ⇔ x < − 2 Logo, S = ]−∞, −2[
10.7. x − 1 (^2) (3)
− x^ −^2 (^3) (2) ⇔ 3 x − 3 ≤ 6 − 2 x + 4
⇔ 5 x ≤ 13 ⇔ x ≤
Logo, S =
]
]
1 − x 2 ≤ 1 − 3 (x − 5) ⇔ 1 − x 2 ≤ 1 − 3 x + 15
⇔ 1 − x ≤ 2 − 6 x + 30 ⇔ 5 x ≤ 31 ⇔ x ≤
Logo, S =
]
]
−3 (x − 5) ≥ − 2 −^ x 3 ⇔ − 3 x (^1) (3)
+^15
≥ − 2 −^ x 3
⇔ − 9 x + 45 ≥ −2 + x ⇔ − 9 x − x ≥ − 2 − 45 ⇔ − 10 x ≥ − 47 ⇔ x ≤
S =
]
]
5 (x + 2) 7
2 x − 6 5
5 x + 10 7 (5)
2 x − 6 5 (7)
⇔ 25 x + 50 − 14 x + 42 ≥ 0 ⇔ 11 x ≥ − 92 ⇔ x ≥ −
S =
[
11 ,^ +^ ∞
[
x + 1 ≤
(x + 1) ⇔ x 1 (5)
x +
⇔ 5 x + 5 ≤ 3 x + 3 ⇔ 2 x ≤ − 2 ⇔ x ≤ − 1 S = ]−∞, −1]
1.10.
1 ≤ 1 − 2 x 3
x + (^12)
1 − 2 x 3 (2)
5 x + (^52) 6 ⇔
4 x 1 (2)
5 x 1 (2)
⇔ 12 ≤ 4 − 8 x + 10x + 5 ⇔ − 2 x ≤ − 3 ⇔ x ≥ 3 2 S =
[
[
(3x + 10) > 5 12 (x − 1) ⇔ 3 x (^6) (2)
+^10
5 x 12
⇔ 6 x + 20 > 5 x − 5 ⇔ x > − 25 S = ]− 25 , + ∞[
1.12.
−
x − 1 2
4 − x 3 ⇔^
3 x − 3 (^4) (3)^ ≥^
1 (12)^ −^
4 − x (^3) (4) ⇔ 9 x − 9 ≥ 12 − 16 + 4x ⇔ 5 x ≥ 5 ⇔ x ≥ 1 S = [1, +∞[
- As medidas dos lados do retˆangulo s˜ao n´umeros po- sitivos. O per´ımetro do retˆangulo ´e dado por: 2 x + 2 (3x + 1) = 2x + 6x + 2 = 8x + 2 No contexto do enunciado, vem: 8 x + 2 ≤ 82 ⇔ x > 0 ∧ 8 x ≤ 80 ⇔ x > 0 ∧ x ≤ 10 Resposta: x ∈ ]0 , 10].
- Seja x o n´umero de quilogramas de uvas que o Gaspar escolheu. Tendo em conta o enunciado, vem:
x +
x +
×
x > 544 ⇔ x (^1) (8)
x +
x >
⇔ 8 x + 6x + 3x > 4352 ⇔
⇔ 17 x > 4352 ⇔ x > 4352 17 ⇔ x > 256
Resposta: No m´ınimo, o Gaspar colheu 256 kg de uvas.
72 + 67 + 82 + 79 + 2x 6 ≥ 60 ⇔ 300 + 2x ≥ 360 ⇔ 2 x ≥ 60 ⇔ x ≥ 30
Resposta: A classifica¸c˜ao do teste dever´a ser, pelo menos, 30 % (entre 30 % e 100 %, inclusive).
P´ag. 28
C ≥ − 4 ⇔ 5 9
(F − 32) ≥ − 4 ⇔ 5 F − 160 ≥ − 36 ⇔ 5 F ≥ 124 ⇔ F ≥ 124
⇔ F ≥ 24 , 8 ◦
C ≤ 39 ⇔ 5
(F − 32) ≤ 39
⇔ 5 F − 160 ≤ 351 ⇔ 5 F ≤ 511 ⇔ F ≤ 511
⇔ F ≤ 102 , 2 ◦
Resposta: Em Viana do Castelo, em 2000, a temperatura m´ınima registada foi de 24,8 ◦F, em dezembro, e a temperatura m´axima foi de 102,2 ◦F, em julho.
P´ag. 29 Quest˜ao 11
11.1. x − 1 2 ≥ 0 ⇔ x − 1 ≥ 0 ⇔ x ≥ 1
x − 1 2 < 3 ⇔ x − 1 < 6 ⇔ x < 7 Resposta: S = [1 , 7[
11.2. − 2 < x + 3 ⇔ −x < 5 ⇔ x > − 5 1 2 x −
x < 6 ⇔ x < 12
Resposta: S = R
11.3.
−
5 x 1 (2)
⇔ − 1 − 10 x < 4 ⇔ − 10 x < 5 ⇔ x > −
3 x (^1) (2)^ −^
2 ≥ −^
(^1) (2)^ ⇔^6 x^ −^1 ≥ −^2 ⇔^6 x^ ≥ −^1 ⇔^ x^ ≥ −^
Resposta: S =
[
[
P´ag. 30
1.1. − 12 < −x ⇔ x < (^12)
−x < − 2 ⇔ x > 2 Resposta: S = { }
− 2 x ≤ − 5 ⇔ x ≥ 5 2 Resposta: S = { 3 , 6 , 9 }
2.2.
−
x > 0 ⇔ x < 0 Resposta: S = ]– 2 , 0[
2.3.
0 ≤
2 x^ ⇔ −^
2 x^ ≤^0 ⇔^ x^ ≥^0 Resposta: S = { 0 }
2.4. { x < 2 x 0 , 5 x < 0 , 2 ⇔
x − 2 x < 0 x < 00 ,,^25 ⇔
−x < 0 x < 25 ⇔
x > 0 x < (^25)
S 1 =
]
[
2 x >^1 ⇔^ x <^ −^2 S^2 = ]−∞,^ −^ 2[ Resposta:
S = S 1 ∪ S 2 ]−∞ , −2[ ∪
]
[
3.1. Sabe-se que F A = AB = 8 cm. Logo F B = 16 cm.
A[F BE] = b^ ×^ h 2 b = 16 ; h = x
A = 16 × x 2 = 8x
Logo, a ´area do triˆangulo [FBE ] ´e dada por 8x.
3.2.
A[EBCD] = B + b 2 × h
B = 8 ; b = DE = 8 − x ; h = 8
A = 8 + 8 − x 2 ×^ 8 = (16^ −^ x)^ ×^ 4 = 64^ −^4 x Logo, a ´area do trap´ezio [EBCD] ´e dada por 64 – 4x, c. q. m.
3.3.
64 − 4 x ≥ 2 × 8 x ⇔ 64 − 4 x ≥ 16 x ⇔ − 20 x ≥ − 64 ⇔ x ≤
⇔ x ≤ 3 , 2 Como x > 0 , 0 ∧ x ≤ 3 , 2 Resposta: x ∈ ]0 ; 3, 2]
P´ag. 31 4.1. Por exemplo: Determina h de modo que a ´area do triˆangulo [ABC ] seja maior ou igual a 20 cm^2 e menor ou igual a 40 cm^2.
20 ≤ 10 h 2 ≤ 40 ⇔ 20 ≤ 5 h ≤ 40 ⇔ 20 5 ≤ h ≤ 40 5 ⇔ 4 ≤ h ≤ 8
Logo, S = [4 , 8].
5.1. 10 – x ´e a medida da base do retˆangulo [ABCD]. Logo, 10 – x representa um n´umero positivo, pelo que 10 – x > 0.
5.2. A[ABCD] = 3 (10 − x) = 30 − 3 x
A[BEC] = x × 3 2 =
2 x Vem,
30 − 3 x ≤ 3 ×
x ⇔ 60 − 6 x ≤ 9 x ⇔ − 15 x ≤ − 60 ⇔ x ≥ 4
Por outro lado, temos que 10 − x > 0 ⇔ −x > − 10 ⇔ x < 10. Logo, x ∈ [4 , 10[.
6.1. A m´edia dos cinco testes ´e dada por:
86 + 80 + 93 + 90 + 2x 6
349 + 2x 6 sendo x a classifica¸c˜ao obtida no ´ultimo teste. A Teresa obt´em classifica¸c˜ao “excelente” se verificar a seguinte conjun¸c˜ao de condi¸c˜oes: { (^) 349+2x 6 ≥^90 0 ≤ x ≤ 100
6.2. { (^) 349+2x 6 ≥^90 0 ≤ x ≤ 100 ⇔
349 + 2x ≥ 540 0 ≤ x ≤ 100 ⇔
2 x ≥ 191 0 ≤ x ≤ 100 ⇔
x ≥ 95 , 5 0 ≤ x ≤ 100
Resposta: No ´ultimo teste, a Joana obteve uma classifica¸c˜ao entre 95,5 e 100, inclusive.
- O n´umero de jogos que a Aimi tem de ganhar (x ) ´e dado pela express˜ao,
0 , 5 < 40 + x 160
40 + x 160 ⇔^0 ,^8 <^ 40 +^ x^ ⇔^40 < x^ ⇔^ x >^40
40 + x 160 < 0 , 8 ⇔ 40 + x < 128 ⇔ x < 88
Como 0 = x = 60, x ∈ ]40, 60]. Resposta: A Aimi tem de ganhar mais de 40 jogos dos 60 que vai jogar.
P´ag. 32
1.1. l^2 = 2^2 + 2^2 ⇔ l^2 = 8 ⇔ l = ±
- Como l > 0, l =
8 ou l = 2
4 × 2 = 2
Resposta: O comprimento do lado do quadrado ´e
8u. c. ou 2
2u. c.
1.2.
Resposta: O comprimento do lado do quadrado ´e, aproximadamente, 2,8 u. c.
1.3. p = 4 ×
8 = 4 × 2
Resposta: O per´ımetro do quadrado ´e 4
8 u. c. ou 8
2 u. c.
r = 0, 1 =
; 102 × 10 = 1000
312 < 102 × 10 < 322 ⇔
Logo,
10 ∈ ]3, 1 ; 3, 2[
P´ag. 37 Quest˜ao 16
16.1.
r = 0, 5 =
; 23 × 2 = 16
23 < 23 × 2 < 33 ⇔
Logo, 3
]
[
r = 0, 5 =
; 23 × 3 = 24
23 < 23 × 3 < 33 ⇔
Logo, 3
]
[
r = 0, 5 =^1 2
; 23 × 5 = 40
33 < 23 × 5 < 43 ⇔
Logo, 3
] 3
2 ,^2
[
Quest˜ao 17
r = 0, 1 =
; 103 × 5 = 5000
173 < 103 × 5 < 183 ⇔
Logo, 3
P´ag. 38
- 2 , 1 < x < 2 , 5 ; 5 , 2 < y < 5 , 6 ; 2 , 3 + 5, 4 = 7, 7
1.1. r = 2 × 0 , 2 = 0, 4 7 , 7 − 0 , 4 = 7, 3 ; 7 , 7 + 0, 4 = 8, 1 7 , 3 < x + y < 8 , 1 Logo, x + y ∈ ]7, 3 ; 8, 1[ e r = 0,
5 , 4 − 0 , 2 < y < 5 , 4 + 0, 2 ⇔ − 5 , 4 − 0 , 2 < −y < − 5 , 4 + 0, 2 Logo, –5,4 ´e uma aproxima¸c˜ao de y com erro inferior a 0,2. x − y = x + (−y) r = 2 × 0 , 2 = 0, 4 − 3 , 1 − 0 , 4 = − 3 , 5 ; − 3 , 1 + 0, 4 = − 2 , 7 − 3 , 5 < x − y < − 2 , 7 Logo, x − y ∈ ]− 3 , 5 ; − 2 , 7[ e r = 0,
1.3. 2 , 3 × 5 , 4 = 12, 42
2 , 1 × 5 , 2 < xy < 2 , 5 × 5 , 6
10 , 92 < xy < 14 , 00
10 , 92 − 12 , 42 < xy − 12 , 42 < 14 − 12 , 42
− 1 , 50 < xy − 12 , 42 < 1 , 58
Logo, x y ∈ ]10, 92 ; 14[ e r = 1,
- Seja x = 2, 9 ou x = 3, 1 e 5, 8 < y < 6 , 2
2.1. 2 , 9 + 5, 8 < x + y < 3 , 1 + 6, 2
8 , 7 − 9 < x + y − 9 < 9 , 3 − 9
− 0 , 3 < x + y − 9 < 0 , 3
Logo, o erro m´aximo cometido ´e de 0,3.
2 , 9 × 5 , 8 < xy < 3 , 1 × 6 , 2
16 , 82 < xy < 19 , 22
− 19 , 22 < x × (−y) < − 16 , 82
− 19 , 22 − (−18) < x × (−y) − (−18) < − 16 , 82 − (−18)
− 1 , 22 < x × (−y) − (−18) < 1 , 18
Logo, o erro m´aximo cometido ´e de 1,22.
3.1.
r = 0, 25 =
; 42 × 3 = 48
62 < 42 × 3 < 72 ⇔
Logo,
] 3
2 ,^
7 4
[
r = 0, 25 =
4 ;^4
2 × 10 = 160
122 < 42 × 10 < 132 ⇔
Logo,
]
[
2.1. A = [− 1 , 10[ 2.2. B = [−π , − 3] 2.3. C =
]√
[
D =
]
[
2.5. x + 1 > 5 ⇔ x > 4 E = ]4 , + ∞[
2.6. x^2 ≤ 0 ⇔ x = 0 F = { 0 }
2.7. x^2 ≥ − 4 ⇔ x ∈ R G = R
3.1. x ≥ − 2 ∧ −x > − 4 ⇔ x ≥ − 2 ∧ x < 4 S = [− 2 , 4[
3.2. b ≤ − 2 ∧ 4 ≤ b ⇔ b ≤ − 2 ∧ b ≥ 4 S = ∅
3.3. x ≥ − 2 ∨ x < 2 S = R
3.4. − 1 < t <
S =
]
[
2 ≤ a ∨ a < 3 ⇔ a ≥ 2
2 ∨ a < 3 S = R
5 > x ∨ x < 0 ⇔ x <
5 ∨ x < 0 S =
]
[
− 2 > −x ∧ − 2 x ≤ 1 ⇔ x > 2 ∧ x ≥ −
S = ]2 , + ∞[
3.8. x > 3 ∨ (− 1 < x ≤ 4) S = ]− 1 , + ∞[
4.1. A op¸c˜ao correta ´e (C).
4.2. O menor n´umero inteiro que pertence ao intervalo ´e –2 e o maior ´e 3.
5.1. Resposta: A = ]−π ; − 3 , 14[
5.2. π = 3, 14159 ... Por exemplo, o n´umero racional –3,141 pertence ao conjunto A.
6.1. O ´unico n´umero natural que pertence ao conjunto A ´e 1.
6.2. Os n´umeros inteiros que pertencem ao conjunto A s˜ao –1, 0 e 1.
Resposta: A op¸c˜ao correta ´e (A).
P´ag. 41
8.1.
0 ≤ − 1 2 x ⇔ 1 2 x ≤ 0 ⇔ x ≤ 0 Resposta: S = ]−∞, 0]
8.2. − 5 x + 4 ≤ −4 (x − 1) ⇔ − 5 x + 4 ≤ − 4 x + 4 ⇔ −x ≤ 0 ⇔ x ≥ 0 Resposta: S = [0, +∞[
8.3. 2 3 (x + 1) ≤ x (^1) (3)
⇔ 2 x + 2 ≤ 3 x + 3 ⇔ −x ≤ 1 ⇔ x ≥ − 1
Resposta: S = [− 1 , +∞[
8.4. 2 x − 1 (^2) (2)^ −^
3 x − 6 4 ≥^0 ⇔^4 x^ −^2 −^3 x^ + 6^ ≥^0 ⇔^ x^ ≥ −^4
Resposta: S = [− 4 , +∞[
8.5. 1 2
x − 1 2 ≤ 0 ⇔ 1 − x + 1 ≤ 0 ⇔ −x ≤ − 2 ⇔ x ≥ 2 Resposta: S = [2 , + ∞[
8.6.
1 − 2
x − 1 2
≤ 1 − x^ −^1 3 ⇔ (^1) (×3) − 2 x(×3) + 1 ≤ 1 − x^ −^1 3
⇔ 3 − 6 x ≤ −x + 1 ⇔ − 6 x + x ≤ 1 − 3 ⇔ − 5 x ≤ − 2 ⇔ x ≥
S =
[
[
x + 1 2
(^2) (×2) ⇔ x + 1 > 4 ⇔ x > 3 S = ]3 , + ∞[
9.2. x^2 + 1 ≥ 0 ⇔ x^2 ≥ − 1 ⇔ x ∈ R A inequa¸c˜ao ´e poss´ıvel em R. (^1) (×2) − x − 1 2
0 ⇔ 2 − x + 1 > 0 ⇔ −x > − 3 ⇔ x < 3 S = ]−∞ , − 3[
9.3. x 2 ≤ 0 ⇔ x ≤ 0 2 x + 3 2
−x(×2) ⇔ 2 x + 3 > − 2 x ⇔ 2 x + 2x > − 3 ⇔ 4 x > − 3 ⇔ x > − 3 4
S = ]−∞ , + ∞[
9.4.
x − 1 2 < (^3) (×2) ⇔ x − 1 < 6 ⇔ x < 7
x^2 = 50 ⇔ x = ±
S =
