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Universidade Federal de Itajub´a
Prova de MAT-00D - EQUAC¸ OES DIFERENCIAIS A˜
(UNIFICADO – TARDE)
Observa¸c˜oes:
i. Prova sem consulta;
ii. N˜ao ´e permitido o uso de calculadora, IA, ou similares;
iii. A prova ´e baseada nos cont´eudos ministrados de 20/10;
iv. Justifique todas as suas respostas e apresente seus c´alculos.
1.a^ Quest˜ao.(2,5 pts) Encontre a solu¸c˜ao geral da equa¸c˜ao diferencial linear n˜ao ho-
mogˆenea dada por
y′′′^ − 2 y′′^ + 2y′^ = 20 cos 2t.
Solu¸c˜ao:
Solu¸c˜ao da homogˆenea: A equa¸c˜ao caracter´ıstica da homogˆenea assoicada ´e
r(r^2 − 2 r + 2) = 0.
As ra´ızes s˜ao r 1 = 0, r 2 , 3 = 1 ± i.
Portanto, a solu¸c˜ao homogˆenea ´e
yh(t) = c 1 + et
c 2 cos t + c 3 sen t
Solu¸c˜ao particular da n˜ao homogˆenea (coeficientes indeterminados): O termo n˜ao homogˆeneo ´e 20 cos(2t). Como 2 n˜ao ´e raiz da equa¸c˜ao caracter´ıstica,
tentamos
Y (t) = A cos(2t) + Bsen (2t).
Calculamos: Y ′(t)′^ = − 2 Asen (2t) + 2B cos(2t), Y ′′(t) = − 4 A cos(2t) − 4 Bsen(2t), Y ′′′(t) = 8Asen(2t) − 8 B cos(2t).
Substituindo na equa¸c˜ao obtemos:
(8A − 4 B) cos(2t) + (4A + 8B)sen (2t) = 20 cos(2t).
Igualando coeficientes: (^) {
8 A − 4 B = 20, 4 A + 8B = 0.
Resolvendo o sistema:
A = 2, B = − 1.
Logo,
Y (t) = 2 cos(2t) − sen (2t).
Solu¸c˜ao geral:
y(t) = c 1 + et^ (c 2 cos t + c 3 sen t) + 2 cos(2t) − sen (2t)
2.a^ Quest˜ao.(2,5 pts) Considere o problema de valor inicial
x′^ =
x , x(0) =
(a) Encontre a solu¸c˜ao geral para o sistema linear. (b) Encontre a solu¸c˜ao do problema de valor inicial. (c) Esboce o retrato de fase do sistema linear.
Gabarito – Quest˜ao 2
(a) Solu¸c˜ao geral:
Autovalores: r 1 = 1, r 2 = −1.
Autovetores: r 1 = 1 ⇒ v(1)^ =
, r 2 = − 1 ⇒ v(2)^ =
x(t) = c 1
et^ + c 2
e−t.
(b) Problema de Valor Inicial:
x(0) =
: c 1
+c 2
=⇒ c 1 +c 2 = 7, c 1 −c 2 = 7 =⇒ c 1 = 7, c 2 = 0.
x(t) = 7
et.
(c)Retrato de Fase:
0
5
10
4.a^ Quest˜ao.(2,5 pts) Resolva o sistema linear n˜ao homogˆeneo
x′^ =
x +
tet 2 tet
sabendo que os autovalores da matriz A =
s˜ao r 1 = 1 e r 2 = 0, cujos autovetores
associados s˜ao v(1)^ =
e v(2)^ =
, respectivamente.
Solu¸c˜ao:
Seja T =
a matriz de autovetores, cuja inversa ´e dada por T−^1 =
Observe que:
T−^1 g(t) =
tet 2 tet
tet
Fazendo x = Ty, obtemos o sistema
y′^ = Dy + T−^1 g(t) =
y +
tet
onde D = T−^1 AT. Isso implica que { y′ 1 = y 1 y′ 2 = tet.
Resolvendo as equa¸c˜oes escalares, encontramos que:
- y′ 1 = y 1 ⇒ y 1 (t) = c 1 et, c 1 constante arbitr´aria.
- y′ 2 = tet^ ⇒ y 2 (t) =
tet^ dt. Integrando por partes, tome u = t e dv = et^ dt e ent˜ao du = dt e (^) ∫v = et:
tet^ dt = tet^ −
et^ dt = tet^ − et^ + c 2 = (t − 1)et^ + c 2.
Logo, y 2 (t) = (t − 1)et^ + c 2 , c 2 constante qualquer.
Voltando `as coordenadas originais, encontramos
x(t) = Ty(t) =
c 1 et (t − 1)et^ + c 2
= c 1
et^ + c 2
tet^ −
et.
Formul´ario
(1)
u dv = uv −
v du
