Baixe prova comentada pelo professor e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!
Universidade Federal de Itajub´a
Prova de MAT-00A - C´alculo A
1.a^ Quest˜ao.(1,0 pt) Calcule o limite, se existir, e caso n˜ao exista, explique por quˆe.
(a) (^) xlim→− 4
x^2 + 9 − 5 x + 4 Exerc´ıcio 30 Se¸c˜ao 2.3 e similar ao exemplo 6 p´agina 95 do Stewart 7a^ edi¸c˜ao Racionalizando o numerador e simplificando obtemos pelo 2o^ item do formul´ario abaixo que (^) xlim→− 4
x^2 + 9 − 5 x + 4 =^ xlim→−^4 √^ x^ −^4 x^2 + 9 + 5
. Aplicando as propriedades de
limite segue que (^) xlim→− 4 √^ x^ −^4 x^2 + 9 + 5
= ... = √ −^4 −^4
(−4)^2 + 9 + 5
= −^45.
(b) (^) xlim→ 0 −
x
|x|
Exerc´ıcio 45 Se¸c˜ao 2. Como x → 0 −, ent˜ao x < 0, e do 3o^ item do formul´ario |x| = −x, logo
xlim→ 0 −
x −^
|x|
= lim x→ 0 − x^2 = −∞.
(c) (^) xlim→ 0
x^3 + x^2 cos πx (Adaptado) Exerc´ıcio 36 Se¸c˜ao 2.3 e similar ao exemplo 11 p´agina 97 do Stewart 7a^ edi¸c˜ao Veja que − 1 ≤ cos πx ≤ 1, ent˜ao para todo x ̸= 0, obtemos −
x^3 + x^2 ≤
x^3 + x^2 cos π x
x^3 + x^2. Como lim x→ 0
x^3 + x^2 = lim x→ 0 (−
x^3 + x^2 ) = 0 das propriedades de limite, segue do Teorema do Confronto (4o^ item do formul´ario) que lim x→ 0
x^3 + x^2 cos πx = 0. Obs.: Observe que para x suficientemente pr´oximo de 0, pela direita (x > 0) ou pela esquerda (x < 0), x^3 + x^2 > 0, logo
x^3 + x^2 est´a bem definida.
2.a^ Quest˜ao.(1,0 pt) Encontre os pontos nos quais f ´e descont´ınua e esboce o gr´afico de f no intervalo (−∞, 3].
f (x) =
x + 1 se x ≤ 0 , (^1) √/x se 0 < x < 3 , x − 3 se x ≥ 3. (Adaptado) Exerc´ıcio 42 Se¸c˜ao 2.5 e similar aos exerc´ıcios 41 e 43 da 2a^ lista de exerc´ıcios Basta tomar os limites laterais a direita e a esquerda dos pontos onde a fun¸c˜ao dada por senten¸cas muda, neste caso nos pontos x = 0 e x = 3, pois exceto nestes pontos as fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas (polinomial, racional e raiz). Usando a continuidade ou as pro- priedades de limite nas proximidades de x = 0 temos:
lim x→ 0 −^
f (x) = lim x→ 0 −
(x + 1) = 0 + 1 = 1
2
e
xlim→ 0 +^ f^ (x) = lim x→ 0 + x^1 = +∞. Como um dos limites laterais n˜ao existe, temos uma descontinuidade em x = 0. Agora repetimos o processo nas proximidades de x = 3, obtendo:
xlim→ 3 −^ f^ (x) = lim x→ 3 −^1 x =^13 e
xlim→ 3 +^ f^ (x) = lim x→ 3 +
x − 3 =
Como os limites laterais s˜ao distintos, ent˜ao lim x→ 3 f (x) n˜ao existe, e portanto f n˜ao ´e cont´ınua em x = 3 tamb´em. Portanto f ´e descont´ınua nos pontos x = 0 e x = 3. O gr´afico est´a no arquivo Gab P1 Mat00A20231.
3.a^ Quest˜ao.(1,0 pt) Considere a fun¸c˜ao g dada por
g(x) =
cos x se x < 0 , K se x = 0, 1 − x^2 se x > 0 ,
onde K ´e uma constante. Para qual valor de K a fun¸c˜ao g ´e cont´ınua em R? Justifique. Esboce o gr´afico de g para o valor de K encontrado.
(Adaptado) Exerc´ıcio 21 Se¸c˜ao 2. A fun¸c˜ao ´e dada por trˆes senten¸cas como na quest˜ao anterior, mudando em x = 0. As fun¸c˜oes cos x e 1 − x^2 s˜ao cont´ınuas nos seus dom´ınios, que no caso ´e R (trigonom´etrica e polinomial), em particular para x ̸= 0. Usando as propriedades de limite analisemos portanto nas proximidades de x = 0:
xlim→ 0 −^ g(x) = lim x→ 0 −^ cos^ x^ = 1 e
xlim→ 0 +^ g(x) = lim x→ 0 +(1^ −^ x^2 ) = lim x→ 0 +^1 −^ xlim→ 0 +^ x^2 =^ ...^ = 1. Assim, segue do 5o^ item do formul´ario abaixo que
lim x→ 0 g(x) = 1.
Para continuidade em x = 0 devemos ter
xlim→ 0 g(x) =^ g(0) =^ K. Logo, basta tomar K = 1. Portanto g ´e cont´ınua em R se K = 1. O gr´afico est´a no arquivo Gab P1 Mat00A20231.
4.a^ Quest˜ao.(1,0 pt) Esboce o gr´afico da fun¸c˜ao h dada por
h(x) =
2 x + 1 x − 2 encontrando as interse¸c˜oes com os eixos e as ass´ıntotas horizontais e verticais. (Adaptado) Exerc´ıcio 41 Se¸c˜ao 2.6 da 3a^ lista de exerc´ıcios
