Funda¸c˜ao Centro de Ciˆencias e Educa¸c˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro Centro de Educa¸c˜ao Superior a Distˆancia do Estado do Rio de Janeiro

Gabarito da APX2 – Elementos de An´alise Real – 2/

Quest˜ao 1. Considere f : D → R, g : D → R e x 0 ∈ D tal que (^) x lim→ x 0 f ( x ) = L 1 e (^) x lim→ x 0 g ( x ) = L 2.

a) [1,0pt] Suponha que max{ a, b } = a + b + 2 | a − b |. Determine (^) x lim→ x 0 max{ f ( x ) , g ( x )}, mencionando as propriedades do limite utilizadas. Solu¸c˜ao: Da hip´otese, podemos escrever: (^) x lim→ x 0 max{ f ( x ) , g ( x )} = lim x → x 0^ f^ ( x )+ g ( x )+ 2 | f^ ( x )− g ( x )|. Como os limites de f e g existem em x 0 , podemos usar as seguintes propriedades do limite: o limite da soma ´e a soma dos limites; o limite da diferen¸ca ´e a diferen¸ca dos limites; o limite do m´odulo ´e o m´odulo do limite. Da´ı, temos (^) x lim→ x 0 max{ f ( x ) , g ( x )} = L^1 + L^2 + 2 | L^1 − L^2 |. Da hip´otese, L^1 + L^2 + 2 | L^1 − L^2 |= max{ L 1 , L 2 }. Conclus˜ao: (^) x lim→ x 0 max{ f ( x ) , g ( x )} = max{ L 1 , L 2 }.

b) [2,0pt] Considere a express˜ao a + b −| 2 a − b |. Mostre que (^) x lim→ x 0 min{ f ( x ) , g ( x )} = min{ L 1 , L 2 }. Solu¸c˜ao: Vamos mostrar que min{ a, b } = a + b −| 2 a − b |. Se a ≥ b , ent˜ao b = min{ a, b } e | a − b | = a − b. Nesse caso, a + b −| 2 a − b |= 22 b = b = min{ a, b }. Sen˜ao, temos a < b ; da´ı a = min{ a, b } e | a − b | = b − a. Assim, a + b −| 2 a − b |= a = min{ a, b }. Nos dois casos, a + b −| 2 a − b |= min{ a, b }; portanto a igualdade ´e v´alida para quaisquer a, b ∈ R. Usando as mesmas propriedades do limite mencionadas no item a) podemos concluir o seguinte: min{ L 1 , L 2 } = L^1 + L^2 −| 2 L^1 − L^2 |= lim x → x 0^ f^ ( x )+ g ( x )−| 2 f^ ( x )− g ( x )|= (^) x lim→ x 0 min{ f ( x ) , g ( x )}.

Quest˜ao 2. Seja h : R → R uma fun¸c˜ao cont´ınua e peri´odica de per´ıodo T > 0.

a) [1,0pt] Existem x 1 e x 2 em [0 , T ] tais que, ∀ x ∈ [0 , T ], vale que h ( x 1 ) ≤ h ( x ) ≤ h ( x 2 )? Solu¸c˜ao: Sim. A fun¸c˜ao h ´e cont´ınua e o intervalo [0 , T ] ´e fechado e limitado. Pelo teorema dos valores extremos, uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo fechado e limitado possui m´ınimo e m´aximo. Da´ı conclu´ımos que existem x 1 e x 2 em [0 , T ] tais que, h ( x 1 ) ≤ h ( x ) ≤ h ( x 2 ) ∀ x ∈ [0 , T ]. b) [1,0pt] Mostre que, se { xn } n ∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy em [0 , T ] ent˜ao { h ( xn )} n ∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy.

Solu¸c˜ao: Uma fun¸c˜ao cont´ınua num intervalo fechado e limitado ´e uniformemente cont´ınua nesse intervalo. Por resultado anterior, uma fun¸c˜ao h ´e uniformemente cont´ınua se, e s´o se, dada qualquer sequˆencia de Cauchy no dom´ınio, a imagem dessa sequˆencia pela h tamb´em ´e uma sequˆencia de Cauchy. Da´ı conclu´ımos que se { xn } n ∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy em [0 , T ] ent˜ao { h ( xn )} n ∈N ´e uma sequˆencia de Cauchy.

c) [2,0pts] Podemos afirmar que h : R → R possui valor m´ınimo e valor m´aximo? Solu¸c˜ao: Como h ´e peri´odica de per´ıodo T , dado x ∈ R e um inteiro n , temos h ( x ) = h ( x + nT ). Seja x ∈ R. O ponto x est´a contido em algum intervalo de comprimento T. Seja k o inteiro tal que kT < x ≤ ( k + 1) T. Subtraindo kT , teremos 0 < x − kT ≤ T. Assim, x − kT ∈ [0 , T ]. Pelo item a), h ( x 1 ) ≤ h ( x − kT ) ≤ h ( x 2 ). Como h ( x ) = h ( x − kT ), vale h ( x 1 ) ≤ h ( x ) ≤ h ( x 2 ). Como o x foi tomado arbitrariamente, podemos afirmar que, dado qualquer x ∈ R, vale h ( x 1 ) ≤ h ( x ) ≤ h ( x 2 ); da´ı conclu´ımos que h tem valor m´ınimo e valor m´aximo em R.

Quest˜ao 3. Considere f : ] − 2 , 2[ → R uma fun¸c˜ao limitada.

a) [1,5pt] Se p ( x ) = xf ( x ), podemos afirmar que p ′(0) = f (0)? Solu¸c˜ao: Como f est´a definida em x = 0, f (0) ´e um n´umero real. Da´ı, p (0) = 0 · f (0) = 0. Pela defini¸c˜ao de derivada, p ′(0) = lim x → 0^ p ( x x )^ −−^ p 0 (0) = lim x → 0^ xf^ ( x x )^ −^0 = lim x → 0 f ( x ). A hip´otese n˜ao garante a existˆencia do (^) x lim→ 0 f ( x ). Logo n˜ao podemos afirmar que p ′(0) = f (0).

b) [1,5pt] Se q ( x ) = p ( x ) p ( x ), podemos afirmar que q ′(0) = ( p (0) f (0))^2? Solu¸c˜ao: Por defini¸c˜ao, q ′(0) = lim x → 0^ p ( x ) p ( x x )^ −−^ p 0 (0) p (0)= lim x → 0^ x

(^2) ( f ( x )) (^2) − 0 x = lim^ x →^0 x ( f^ ( x ))

Por hip´otese, f ´e limitada. Pelo teorema do confronto, teremos q ′(0) = lim x → 0 x ( f ( x ))^2 = 0. Como p (0) = 0, temos que ( p (0) f (0))^2 = 0. Logo, podemos afirmar que q ′(0) = ( p (0) f (0))^2.