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Proposta de resolu¸c˜ao
BA ·
DC = BA × DC × cos(90o^ + 60o) = a × a ×
− sin (60o)
= a^2 ×
2 a
2
Op¸c˜ao (D)
log 2 x 5 + log 8 x^3 + (log^4 x)
(^2) = 0 ⇔ log 2 x 5 + log^2 x
3 log 2 8
log 2 x log 2 4
= 0 ⇔ log^2 x 5 +
3 log 2 x 3
+^14 (log 2 x)^2 = 0 ⇔
log 2 x
5 + log 2 x +
log 2 x 4
= 0 ⇔ log 2 x = 0 ∨
4 + 5 log 2 x + (log 2 x)^2 4 (5 + log 2 x) = 0^ ⇔
x = 1 ∨ log 2 x =
2 ∧^ 5 + log^2 x^6 = 0^ ⇔
x = 1 ∨ log 2 x = − 4 ∨ log 2 x = − 1 ∧ x 6 = 2−^5 ⇔
x = 1 ∨ x = 1 16
∨ x =^1 2
∧ x 6 = 1 32
C.S =
r : 2y − x + 1 = 0 ⇔ y =
2 x^ −^
AB ⊥ r ⇒ mAB × mr = − 1 ⇔ mAB ×
= − 1 ⇔ mAB = − 2
A (1, 3) ∈ AB ⇒ 3 = − 2 × 1 + b ⇔ b = 5
∴ AB :^ y = − 2 x + 5 ⇔ 2 x + y = 5
3.2.
y =
2 x^ −^
y = − 2 x + 5
− 2 x + 5 =
2 x^ −^
− 4 x + 10 = x − 1 ⇔
x =^11 5
y =
∴ B
r = AB =
∴ Uma equa¸c˜ao que define a circunferˆencia ´e, por exemplo: (x − 1)^2 + (y − 3)^2 =^36 5
- Seja z = x + yi
z + z ≥ 0 ⇔ x + yi + x − yi ≥ 0 ⇔ 2 x ≥ 0 ⇔ x ≥ 0 ⇔ Re (z) ≥ 0
∴ Semiplano vertical fechado, `a direita do eixo dos imagin´arios.
z · z = 2 ⇔ (x + yi) (x − yi) = 2 ⇔ x^2 + y^2 = 2 ⇔ |z| =
∴ Circunferˆencia centrada na origem e de raio
Arg (z)
≥ π 4
⇔ Arg (z) ≥ π 4
∨ Arg (z) ≤ − π 4 ∴ Regi˜ao exterior `a regi˜ao limitada por duas semirretas com origem na origem do referencial e que formam ˆangulos, respetivamente, de 45o^ e -45o^ com o eixo real.
z + z ≥ 0 ∧ z · z = 2 ∧
Arg (z)
≥ π 4
⇔ Re (z) ≥ 0 ∧|z| =
Arg (z) ≥ π 4
∨ Arg (z) ≤ − π 4
Re (z)
Im (z)
O
Op¸c˜ao (C)
53 = 13 × 4 + 1 ⇒ i^53 = i
w = z^31
z 22 i^53 +^ e
i 32 π
ei^ 12 π^ )^3
[
(2 + i)^2 i −^ i
]
= ei^
π 4 (^ 3 + 4i i −^ i
= ei^
π 4 (4 − 3 i − i) = ei^
π 4 (4 − 4 i)
| 4 − 4 i| =
Arg (4 − 4 i) = − arctan
= − arctan (1) = −
π 4
∴ 4 − 4 i =
2 ei(−^ π^4 )
Assim,
w = ei^
π 4 × 4
2 ei(−^
π 4 ) = 4
2 ei(0)^ = 4
cos θ =
− V A→ · − V B−→
V A × V B
9 + 16 + 9 ×
sin (θ − 5 π) × cos
3 π 2
- tan^2 (3π − θ) = − sin θ × sin θ + (− tan θ)^2 = − sin^2 θ + tan^2 θ
sin^2 θ = 1 −
tan^2 θ =
) 2 =^
Assim, o valor pedido ´e:
17 =^
8. 2 × 5 ×^8 A 4 −^5 A 2 ×^7 A 3
Op¸c˜ao (A)
- 5 representa o n´umero de escolhas para o algarismo ´ımpar para a primeira ou ´ultima posi¸c˜ao
- 2 representa o n´umero de posi¸c˜oes onde colocar esse n´umero ´ımpar (primeira ou ´ultima)
- 8 A 4 representa o n´umero de formas de distribuir 4 dos 8 restantes algarismos pelas restantes posi¸c˜oes
- 5 A 2 ×^7 A 3 representa o n´umero de formas de colocar um algarismo ´ımpar na primeira e na ´ultima posi¸c˜oes e distribuir 3 dos restantes 7 algarismos nas trˆes posi¸c˜oes do meio. Este valor tem de ser subtra´ıdo pois est´a a ser contabilizado em duplicado na primeira parcela.
P
A|B
= P (A) ⇔ P^ P(A (^ ∩B^ )B )= P (A) ⇔ P (A ∩ B) = P (A) × P (B)
P (A) = 0, 3
P
A ∪ B
= 0. 8 ⇔ P
A
+ P (B) − P
A ∩ B
= 0. 8 ⇔ 0 .7 + P (B) − P (B) + P (A ∩ B) = 0. 8
⇔ P (A) × P (B) = 0. 1 ⇔ 0. 3 × P (B) = 0. 1 ⇔ P (B) =^1
Op¸c˜ao (C)
mr =^1 −^0 0 + 2
=^1
r : y =^1 2
x + 1
Seja (an) a sucess˜ao das ´areas dos triˆangulos:
a 1 =
1 ×
1 2 ×^
1 2 + 1
a 2 =
1 ×
2 ×^
3 2 + 1
=^7
a 3 =
1 ×
1 2 ×^
5 2 + 1
=^9
Repare-se que an+1 − an ´e constante e igual a a 2 − a 1 =
∴ (an) ´e uma p.a. de raz˜ao^1 4
Assim, an = a 1 + (n − 1) × r =^5 8
=^1
n +^3 8
Sn = 127. 5 ⇔ a^1 +^ an 2
× n = 127. 5 ⇔
5 8 +^
1 4 n^ +^
3 8 2
× n = 127. 5 ⇔ n^2 + 4n − 1020 = 0 ⇔
n =
2 ⇔^ n^ = 30^ ∨^ n^ =^ −^34 ⇒^ n^ = 30 Como j´a existiam 6 triˆangulos, o Jo˜ao desenhou 30 − 6 = 24 triˆangulos.
x→^ lim+∞^ g^ (x) x
= (^) x→lim+∞
3 xex^ + 1 ex x
= (^) x→lim+∞^3 xe
x (^) + 1 xex^
= (^) x→lim+∞
xex
x→lim+∞
g (x) − 3 x
= (^) x→lim+∞
3 xex^ + 1 x −^3 x
= (^) x→lim+∞
3 x +
ex^ −^3 x
x→lim+∞ e^1 x^ =^ +^1 ∞ = 0 A reta de equa¸c˜ao y = 3x ´e ass´ıntota obl´ıqua ao gr´afico de g quando x → +∞.
x→−∞lim g^ (x) =^ x→−∞lim
x^2 + x + 1 − x 1 − x =^ x→−∞lim
x^2
1 + (^1) x + (^) x^12
− x
x
1 x −^1
x→−∞lim
|x|
1 + (^1) x + (^) x^12 − x
x
x −^1
) = (^) x→−∞lim
−x
1 + (^) x^1 + (^) x^12 + 1
x
x −^1
) = − (^) x→−∞lim
1 + (^1) x + (^) x^12 + 1 1 x −^1
A reta de equa¸c˜ao y = 2 ´e ass´ıntota horizontal ao gr´afico de g quando x → −∞.
- (A) ´e falsa, h tem dois pontos de inflex˜ao, correspondentes aos dois extremos (m´ınimo e m´aximo) de h′. Repare-se que a monotonia de h′^ “inverte” duas vezes. (B) ´e falsa, h tem apenas um m´ınimo relativo, correspondente ao “segundo” zero de h′^ (o sinal de h′^ “vem” de negativo para positivo). (C) ´e verdadeira, h tem dois m´aximos relativos, correspondem aos “primeiro” e “terceiro” zeros de h′. (D) ´e falsa. Como h′^ “come¸ca” por decrescer, at´e atingir o m´ınimo relativo, depois cresce, at´e atingir o m´aximo relativo e “torna” a decrescer em seguida, ent˜ao o sinal de h′′^ “come¸ca” por ser negativo, depois positivo e, de seguida, novamente negativo. Assim, no intervalo entre a abcissa do m´aximo de h′^ e +∞ a fun¸c˜ao h′′^ ´e decrescente. Op¸c˜ao (C)
lim (an) = lim
n^2 e−n^ +
ln (n) n
= lim
n^2 en^ + lim
ln (n) ︸ ︷︷^ n ︸ limite not´avel
lim e
n
︸ ︷︷ ︸^ n^2 limite not´avel
Op¸c˜ao (B)
