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Prova Modelo de Exame Nacional de Matem´atica A
Prova 635 | Ensino Secund´ario | Julho de 2020
12 o^ Ano de Escolaridade
Simula¸c˜ao de Prova 635
Dura¸c˜ao da Prova: 150 minutos. | Tolerˆancia: 30 minutos. 8 P´aginas
- Utilize apenas caneta ou esferogr´afica de tinta azul ou preta.
- N˜ao ´e permitido o uso de corretor. Risque aquilo que pretende que n˜ao seja classificado.
- E permitido o uso de r´´ egua, compasso, esquadro e transferidor.
- Apresente apenas uma resposta para cada item.
- As cota¸c˜oes dos itens encontram-se no final da prova.
- A prova inclui um formul´ario.
- Nas respostas aos itens de escolha m´ultipla, selecione a op¸c˜ao correta. Escreva, na folha de respostas, o n´umero do item e a letra que identifica a op¸c˜ao escolhida.
- Nas respostas aos restantes itens, apresente todos os c´alculos que tiver de efetuar e todas as justifica¸c˜oes necess´arias. Quando, para um resultado, n˜ao ´e pedida a aproxima¸c˜ao, apresente sempre o valor exato.
- Itens cujas respostas contribuem obrigatoriamente para a classifica¸c˜ao final:
1 , 7.1, 7.2 e 10
Estes itens est˜ao assinalados no enunciado atrav´es de uma moldura que os rodeia.
- Dos restantes 15 itens da prova, apenas contribuem para a classifica¸c˜ao final os 8 itens cujas respostas obtenham melhor pontua¸c˜ao.
Formul´ario
Geometria
Comprimento de um arco de circun-
ferˆencia
αr (α - amplitude, em radianos, do ˆangulo ao cen- tro; r - raio)
Area de um pol´^ ´ ıgono regular:
Semiper´ımetro × Ap´otema
Area de um sector circular:^ ´ αr^2 2 (α^ - amplitude, em radianos, do ˆangulo ao centro; r - raio)
Area lateral de um cone:^ ´
πrg (r - raio da base; g - geratriz)
Area de uma superf´^ ´ ıcie esf´erica:
4 πr^2 (r - raio)
Volume de uma pirˆamide: 1 3 ×^ Area da base´^ ×^ Altura
Volume de um cone: 1 3 ×^ Area da base´^ ×^ Altura
Volume de uma esfera: 4 3 πr
(^3) (r - raio)
Progress˜oes:
Soma dos n primeiros termos de uma progress˜ao (un):
Progress˜ao aritm´etica: u 1 + un 2 × n
Progress˜ao geom´etrica:
u 1 × 1 − rn 1 − r
Trigonometria
sin (a + b) = sin a cos b + sin b cos a cos (a + b) = cos a cos b − sin a sin b
Complexos
ρeiθ
)n = ρneinθ √ n ρeiθ^ = n
ρei^
θ+2kπ n (^) (k ∈ { 0 , ..., n − 1 } e n ∈ N)
Regras de deriva¸c˜ao
(u + v)′^ = u′^ + v′ (uv)′^ = u′v + uv′ ( (^) u v
u′v − uv′ v^2 (un)′^ = nun−^1 u′^ (n ∈ R) (sin u)′^ = u′^ cos u (cos u)′^ = −u′^ sin u
(tan u)′^ =
u′ cos^2 u (eu)′^ = u′eu (au)′^ = u′au^ ln a (a ∈ R+^ \ { 1 })
(ln u)′^ =
u′ u (loga u)′^ = u′ u ln a
(a ∈ R+^ \ { 1 })
Limites not´aveis
lim
n
)n = e (n ∈ N)
lim x→ 0
sin x x
lim x→ 0
ex^ − 1 x
x→lim+∞
ln x x
lim x→+∞
ex xp^
= +∞ (p ∈ R)
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere a condi¸c˜ao:
z + z ≥ 0 ∧ z · z = 2 ∧
∣Arg (z)
∣ (^) ≥ π 4 Em qual das op¸c˜oes seguintes est´a representada a regi˜ao do plano complexo que verifica a condi¸c˜ao?
Re (z)
Im (z)
O
(A)
2 Re (z)
Im (z)
O
(B)
Re (z)
Im (z)
O
(C)
2 Re (z)
Im (z)
O
(D)
- Em C, conjunto dos n´umeros complexos, considere z 1 = ei^ 12 π e z 2 = 2 − i.
Determine w = z^31
z 22 i^53
na forma alg´ebrica.
- Sejam Sn e Sn+1, respetivamente, a soma de todos os elementos de duas linhas consecutivas do triˆangulo de Pascal. Qual dos seguintes ´e o valor de log 2 Sn − log 2 Sn+1?
(A) − 2 (B) − 1 (C) 1 (D) 2
Na figura encontra-se representado geometricamente um cone e o plano α que cont´em a base do cone.
A
V
B
Sabe-se que:
- a reta AV cont´em a altura do cone e ´e definida por:
(x, y, z) = (− 2 , − 4 , 6) + k (3, 4 , −3) , k ∈ R
- A pertence ao plano xOz e o ponto V pertence ao plano xOy
- [AB] ´e um raio da base do cone
- o ponto B pertence `a reta definida por: z = 1 ∧ y = 0
7.1. Mostre que o plano α ´e definido por 3x + 4y − 3 z + 6 = 0. 7.2. Seja θ a amplitude, em radianos, do ˆangulo AV B. Determine o valor de:
sin (θ − 5 π) × cos
3 π 2
- Considere todos os n´umeros com cinco algarismos distintos formados a partir dos algarismos 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 e 9. Quantos destes n´umeros come¸cam por um algarismo ´ımpar ou terminam com um algarismo ´ımpar?
(A) 2 × 5 ×^8 A 4 −^5 A 2 ×^7 A 3 (B) 2 × 5 ×^8 A 4
(C) 5 A 2 ×^7 A 3
(D) 2 × 5 ×^8 A 4 +^5 A 2 ×^7 A 3
- Seja Ω o espa¸co amostral (espa¸co de resultados) associado a uma certa experiˆencia aleat´oria.
A e B s˜ao dois acontecimentos (A ⊂ Ω e B ⊂ Ω), tais que:
A|B
= P (A) • P
A ∪ B
O valor de P (B) ´e?
(A)
(B)
(C)
(D)
Tal como a figura sugere:
- as faces do dado dodeca´edrico est˜ao numeradas de 1 a 12, estando os n´umeros pares dese- nhados a azul e os n´umeros ´ımpares desenhados a vermelho
- as faces do dado c´ubico est˜ao numeradas de 1 a 6, estando os n´umeros pares desenhados a vermelho e os n´umeros ´ımpares desenhados a azul
Considere a experiˆencia aleat´oria que consiste lan¸car uma vez cada um dos dados e assinalar a cor e o n´umero marcado na face que fica voltada para cima.
11.1. Determine a probabilidade da soma dos valores obtidos nos dois dados ser superior a 10. Apresente o valor pedido na forma de fra¸c˜ao irredut´ıvel. 11.2. Considere os acontecimentos:
- A: “O n´umeros obtidos nas faces voltadas para cima nos dois dados tˆem a mesma cor”
- B: “O produto dos n´umeros obtidos ´e par” Justifique que P
B|A
= 1, numa composi¸c˜ao, come¸cando por explicar o significado de P
B|A
no contexto da situa¸c˜ao descrita.
- Na figura est´a representado um triˆangulo retˆangulo [ABC].
x
A
B P C
Considere que um ponto P move-se ao longo de [BC] nunca coincidindo com o ponto B nem com o ponto C. Sabe-se que:
- x ´e a amplitude, em radianos, do ˆangulo BAP
- AB = a e BC = 2a, com a > 0
Qual das seguintes express˜oes d´a, em fun¸c˜ao de x e de a, a ´area do triˆangulo [AP C]?
(A) a 2 2 tan^ x^ (B)^ a^2
1 − 12 sin x
(C) a^2
1 − 12 cos x
(D) a^2
1 − 12 tan x
- Seja g a fun¸c˜ao, de dom´ınio R, definida por:
g(x) =
3 xex^ + 1 ex^ se x ≥ 0 √ x^2 + x + 1 − x 1 − x
se x < 0
13.1. Utilizando a defini¸c˜ao de derivada de uma fun¸c˜ao num ponto, prove que g′^ (1) = 3 e − 1 e
13.2. Averigue a existˆencia de assintotas n˜ao verticais ao gr´afico de g. Caso exista(m), defina-a(s) pela sua equa¸c˜ao reduzida.
- No referencial o.n. xOy da figura encontra-se parcialmente representado o gr´afico de h′, primeira derivada da fun¸c˜ao h, de dom´ınio R+.
h′
O x
y
Atendendo aos dados da figura, qual das seguintes afirma¸c˜oes ´e necessariamente verdadeira?
(A) O gr´afico de h tem apenas um ponto de inflex˜ao (B) h tem dois m´ınimos relativos (C) h tem dois m´aximos relativos (D) h′′^ ´e estritamente crescente
- Seja (an) a sucess˜ao de termo geral an = n^2 e−n^ + ln (n) n
Qual ´e o valor de lim (an)?
(A) 1 (B) 0 (C) −∞ (D) +∞
FIM
Cota¸c˜oes
- As pontua¸c˜oes obtidas nas respostas a estes 4 itens da prova contribuem obrigatoriamente para a classifica¸c˜ao final.
Itens 1 7.1 7.2 10 Subtotal Cota¸c˜ao (pontos) 16 16 20 20 72
- Destes 15 itens, contribuem para a classifica¸c˜ao final da prova os 8 itens cujas respostas obtenham melhor pontua¸c˜ao.
Itens 1 3.1 3.2 4 5 6 8 9 Subtotal 11.1 11.2 12 13.1 13.2 14 15 Cota¸c˜ao (pontos) 8 × 16 pontos 128
