Exame de Qualifica¸c˜ao de An´alise no Rn.
1) Seja A={(x, y)∈R2:x > 0,0< y < x2}.
(a) Prove toda reta passando pela origem cont´em um intervalo em torno
de (0,0) contido em R2\A.
(b) Considere f:R2→Rdada por f(x, y) = 0 se (x, y)/∈Aef(x, y) =
1 se (x, y)∈A. Para (h, k)∈R2definimos g(h,k):R→Rpor
g(h,k)(t) = f(th, tk). Prove que cada g(h,k)´e cont´ınua em (0,0) mas
que fn˜ao o ´e.
2) Seja f:R2→R. Prove que se existirem e forem cont´ınuas as derivadas
parciais ∂f
∂x e∂f
∂y em um aberto contendo (a, b) ent˜ao f´e diferenci´avel em
(a, b).
3) ´
E poss´ıvel resolver o sistema de equa¸c˜oes
xy2+xzu +yv2= 3
u3yz + 2xv −u2v2= 2
para u(x, y, z) e v(x, y , z) pr´oximos de (x, y, z , u, v) = (1,1,1,1,1). Calcule
∂v
∂y (1,1,1).
4) Use o Teorema de Fubini para derivar uma express˜ao para o volume
de um conjunto em R3obtido ap´os a rota¸c˜ao de um conjunto Jordan-
mensur´avel no plano yz em torno do eixo z.
5) Calcule RRSrot −→
F .−→
n ds onde −→
F= (x−x2z, yz 3−y2, x2y−xz) e S´e
qualquer superf´ıcie cujo bordo seja uma curva fechada no plano xy.
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