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BIBLIOTECA ERNESTO VON RÚCKERT UPLEMENTO DOS TÓPICOS AVANÇADOS A “g Coloncomo, die ab de 196, PSSt 8 OA | (6) | o sS ata OT 194 = á psd o na Enio ER ca FsT=S=1=C=A TÓPICOS AVANÇADOS DO PS SC É DADAS Pa MAO Ad INDICE CAP.1 - MOMENTO ANGULAR E SUA CONSERVAÇÃO Lei das areas iguais . Momento angular . Enengia, momento angular e trajetória . Caso especial: o movimento dos satêtites . Momento angutar: um vetor? . Conservação do momento angular para corpos interagindo. A notação dos corpgs rígidos. Momento angutar dos conpos nigidos: Momento de inência. hd 9. Torque - Razão da variação do momento angutdr. 10 . Momento angutar onbital e Spín os anais = 11 . Conservação do momento angutar em geral. 12 . Separação do movimento do centro de massa. 13 . Problemas. TRODUÇÃO :- 5 7 Maria da Conceição Garneau REVISÃO:- Prof: lWeLgane Cordeiro Prof: Theodotindo Soares DESENHOS: -napoteão Acconsi Obs:- Esta Publicação & para uso interno e exclusivo da EPCAR, não sendo permitida a reprodução ou venda da mesma. =?= de tempo, Em "B" recebe um impulso na direção de "o" e dai se move com uma vetocidade diferente (constante) ate "C"| Em "C" recebe ou- tro impulso para "0" e, portanto, continua se movendo atê "D', Vás- to que os impulsos dados em intervalos de tempo iguais, podemos es- colher a escata de velocidade de modo que 04 vetores ZB, Fê, etc, nepresentem a vetocidade do objc'o nas unidades apropriadas, 04 ve- tones mostrados petas Linhas pontilhadas são as mudanças de vetoci- dade causadas pelo impulso das gonças qe atuam em B, C, eta. Porque o impulso dado ao conpo em B esta na direção Zó, êle deixa o vetor componente da velocidade B perpendicutar a BO, imutã vet. Isto &, o vetor componente AP de AB antes do impulso é o mesmo que o vetor oc de BC depois do impulso. Assim, o vetor componente BR da velocidade Be antes do impulso em C & igual ao vetor componen te de SD depois do impulso. As ancas varnidas pelo destocamento do vetor por unidade de tempo, são iguais às areas dos triângulos 04B, 0BC, OCD, ete Veja- mos, primeiro, os triângutos OAB e O0BC. ÊLes têm uma base comum QB, e acabamos de ver que suas alturas AP e OC são iguais; dai os dois triângulos têm areas iguais. Vejamos agora os triângutos 0BC e OCD. Verificamos que têm também uma base comum 0C e que as atturas BR=S9, portanto OCD = OBC = 0AB, O mesmo raciocinio demonstra que todos 04 triângulos sucessivos têm areas iguais. Vemos, portanto, que a Leá da igualdade das areas continua demonstrando sua veracidade. O ponto crucial na nosso "prova" & baseada na natureza cen- trat dos impulsos sucessivos, todos os quais são dirigidos para o ponto 0 Quantos impulsos são dadospor segundo, ou qual ê a sua du- nação, não nos interessa aqui, Os impulsos recebidos em B, Ce D,pol exempto, são todos diferentes, o necebido em D & zero, É a proprie- dade central da fóônça intermitente que nos garante que o vetor com- ponenteda vetocidade perpendicutar à tinha, do centro, é inattenavel. Na verdade, temos forças que atuam constantemente e gazem o corpa se mover atraves de uma trajetonia curva, Mas sempre podemos aproximar ê84e curso lou percurso) por um outro composto de vários segmentos netos pequenos e apticar a nossa prova a Este curso angu- tan Tonnando os segmentos cada vez menores nos aproximaremos tanto R-A FIG. 4 6 2 P = my” e descobrimos que para corpos interagindo o momento total! quanto desejanmos do curso heat, MOMENTUM ANGULAR Podemos aceitar a Lei da iguatdadesdas areas como uma exte são da Lei de inência de Gatiteu: na auxência de qualquer tônça Inão em equitibrio] a vetocidade de um objeto permanece constante.Em pre) sença de uma górça central a vetocidade mudc:, mas o produto do veta deslocamento da gónça central vêzes a componente perpendicutar da vetocidade, permanece constante: nv, = constante, (Esta constante é o dôbro da ânea percontida por unidade de tempo], A massa do corpo em movimento não aparece em nenhuma dessas duas Leis, Usamos quantidades com v e rw quando descrevemos o movi- mento de um corpo, Quando desejamos netacionar o movimento a 404- ças, a massa se torna um fator importante. Introduzimos o momentum ê conservado enquanto que a soma das velocidades não o é, Da mesma tonma introduzimos a quantidade L = APq E MAVG, à qual damos o nome de momento angutar . Veremos brevemente Ina Seção 6) que 40b cár- cunstâncias tavonrâveis o momento angutan total permanece constante tambêm para 04 corpos em interação, enquanto que a soma individual Avp, não permanece, E Na dig, 4, notamos que o produto AVy é igual ao produto A4v visto que qualquer um dos dois é o dôbro da ârea do triângulo OAB, Podemos também escrever o mesmo produto simplesmente como nv sen 6. Usaremos isto para escrever L = mv, é mv = mav sen 6, para nossa conveniência, Observe que a definição de momento angutar contêm ve- tor X, que é medido de um determinado ponto. Assim, mesmo um conpo simples em movimento com vetocidade constante tem, garatmente, vató| nes de momento angutan diferentes, dependendo do ponto ao qua? se netere. * Algumas vêzes nos negerimos ao momentum p como momento. Line ar para distingul-to do momento angutar) Continuaremos a chamã-to: simplesmente de momentum, 3 =4= ENERGIA, MOMENTO ANGULAR E TRAJETÓRIAS A enengia total [cinttica mais potencial) de um corpo em mol vimento num campo de tônça central permanece constante durante tô- da a trajetonia, Assim tambêm o momento angutar de um corpo quanto ao centro da gônça. Para vatôres digerentes da energia e do momento angular deviamos esperar thajei. rias diterentes Considere, por exemplo, o movimento de uma particuta alfa no campo de um núcteo de outo, Perto do núcteo a panticuta alga se move num campo de tônça de neputsão. (Veja PSSC, capitulo 32) A me- dida que se aproxima do núcteo do ouro sua energia cinttica diminui ea enexgia potencial aumenta, Atê quando poderã a panticuta alça se aproximar do núcteo? A conservação da energia nos diz que, na me- Lhon das hipóteses, podera se aproximar ate que tôda a sua enengia cinttica inicial (que possuia quando afastada do núcleo) seja con - vertida em enengia potencial; pa pre mv” inicial = U Aquela distância a panticuta alfa estanã em nepouso; não tem portanto, momento angular, A conservação do momento angutar diz-nos que a panticuta alfa não tinha, em principio, momento angutar, isto 2. mv, = 0, Desde que 4 não ê zero, então Vigia 0, ec a particuta atça estava se movendo diretamente em direção ao núcteo do ouro (qig 5). Se, ao contrânio, a particuta atga (começando com a mesma veto- cidade) não estã, inicialmente, se movendo em direção ao núcleo, en- tão tem, necessariamente, momento angutar, Se o seu objetivo esta à distência "b", o momento angutar da particular atga em volta do nã cleo & L=mavy = mus; «mv inicial b, Vemos, imediatamente, que a particuta alga não chegara tão pertórdo núcteo quanto antes porque à distância mais curta n! have- nã uma vetocidade v,º tal que ma'v;! = mv (inicial) b. Consequente- mente, hã sempre energia cinttica, e para uma fônça de repulsão is- to signigica que a particuta atga nunca 4e aproxima tanto quanto de verta quando não tem momento angutar. ($ig.5). Vemos que duas panti- cutas atga aproximando-se do mesmo núcteo na mesma direção, com a mesma Energia cinética, terão trajetônias diferentes se tiverem mo- mentos angutares diferentes, em netação ao núcleo, 4. UM CASO ESPECIAL: O MOVIMENTO DOS SATELITES Na seção anterior discutimos qualitativamente a netação en- tre energia, momento angutar, e a trajetônia de um objeto em mová- mento num campo de Gonça central. Para 08 movimentos dos satetites estudaremos esta netação detalhadamente, Em nossos calculos usaremos apenas a dependência da tôrça de gravidade; cem o inverso do quadnado da distância; nossas conctusões serão vatidas para quatquer outra fônça que obedece « a Lei do inverso do quadrado e em particular para tônças eletricas. Como sabemos, os satetites da terna se movem em ônbitas eli pticas tendo a terna como foco. Uma eLipse & definida como o Lugar dos pontos P de tal forma que a soma das distâncias de P a cada um dospontos gixos lconhecidos como "goco") é uma constante Zalgig. 6). Cada etipse podera sen caracterizada por Este comprimento constante e peta separação 2e dos gõcos. Uma elipse também pode sen desenrita em tênmos do semi-eixo, maior a e do semi-eixo menor b. A netação entre os dois & demonstra da na tig, 6 Como estao netacionados a e ba enengia total E e o momenl to angular L do satelite? Primeiro acharemos uma equação que neta- cionana E e L. Decompomos a velocidade do satélite Vem duas direções, uma segundo o vetor de posição, e outra perpendicutar a ête. Ver + (449.7) 2 2 2 is a E ; Dai v' = Ue+ Ui O Sea egg po genti tado escrita como. Enc mu" = 7 moço + 7 mv Expressamos agora v, em tênmos do momento angular L: Eid im = mA - e inscrimos a expre.são para vi na equação para Ep* AB SD E RS ERR E É 2 mr A energia total sera, então i 2 1 A o A A sd onde Mem são as massas da terna e do satelite, nespeciivamente, e E Ga constante de gravitação universal. Esta expressão para a ener- gta & vatida para todos os pontos da ônbita, Nos pontos mais afasta dos e mais próximos da tenha v, = 0, Denominaremos as distâncias a Éstes pontos como 1,. Assim, nêsses pontos, a expressão para a enex gia gica reduzida a: q Ee - c Mm mn tg Sa 2 Muttipticando ambos os tênmos por tg , encontramos uma e = == E quação do 29 grau em 4, 2 Ghim 12 paso asE > etos ACRE ESSO Sabemos, peta Fig. 6, que as duas soluções desta equação são: lr; = saleio “SE Ng ousa =*€ Atêm disso, o estudo das equações do 20 grau diz-nos que a soma das soluções é igual ao corgicente de n, com o sinal negativo, Assim: RECO E E qu am Também o produto das sotuções é igual ao têrmo que não contêm 4,: la+c) la - c) = “ME” Desta equação temos: Vi de em ou qm = cs Da segunda equação, usando a netação entre a e c, e o semi-eixo me- nor b lveja tig, 6), temos , z Vá = do as - cone bo = me ou. ch E 2mE (Sendo o satêtite guiado, a energia total E & negativa), Assim es- tamos extraindo a naiz quadrada de uma quantidade positiva, Veja PS SC, Capitulo 24, Seção 5). Estas equações mostram como a gonma da ohbita etiptica depen de da energia e do momento angutar dos sateétites. Observe que o se- mi-cixo maior da etipse leixo a) depende, únicamente, da enengia.Se Lançamos um satélite o eixo maic” de sua ônbita eliptica dependerá, apenas, de onde ête se separana de seu transportador e de sua veto- cidade naquête momento. Não dependenã da direção de seu movimento. Pon outro tado, o semi-eixo menor dependerã da direção de - seu movimento no instante da separação, Visto que L = mav sen 6,e b é proporcional a L para uma enengia gixa, vemos que o maior b ocon- N =B= somam ou se subtraem como destocamentos. Em suma podemos decompor qualquer vetor em seus componentes segundo eixos de um sistema he- tangutar coordenado, Poderemos gazê-Lo com uma quantidade que te- nha a magnitude np, e que seja perpendicular tanto a x como ap? Você se Lembranã que 4py é m vêzes a ârea abrangida peto vetor de posição por unidade de tempo, Se essa ârca tiver as propriedada do vetor, suas projeções em tres planos mituamente perpendiculares poderão ser somadas como vetores; à soma dos quadrados das âreas projetadas deve ser igual ao quadrado da ârea cráginal. À figuras mostra o modêto de um triânguto projetado em três planos mutuamen- te perpendicutares . Medidas exatas mostram que a ârea dos três irá ângulos projetados seguem, nealmente, a negra da adição do vector: ásto é: x? + y2 + a - A?, onde X, Y, 2, 4ão as areas dos três tná ângulos projetados e À é a ârea do triângulo criginal, Outros thi- ângutos, com orientação diferente, têm a mesma retação, Decidimos provar a natureza do vector do momento angutan de um modo empírico a fim de uma meLhor compreensão deste vector. Hã mais um ponto que deve ser esctarecido. Os vetores MO P detinem um ptano que pode ger caracterizado por uma Linha que lhe seja perpendicular, Mas um vetor tem um sentido definido, Qual dos sentidos ao Longo desta Linha & o sentido vetoa momento rangular? Pode ser qualquer um dos dois, À nesposta é uma questao de escolha, desde que sejamos consistentes e sempre escolhamos da mesma forma, O seguinte processo & geralmente usados com sua mão direita gaça com que o potegar aponte no sentido de x eo dedo indicador no sm tido de p. O dedo médio deverá apontar em direção perpendicutar a ambos. Esta sehã a direção e o sentido do momento angular, Uma notação padrão para esta espêcie de produto de dois ve tores, chamada produto vetorial ou produto em cruz. é Te7x Ty ANç Em geral, a expressão Tea x õ, onde % e > podem 4eh quaisquer ve tones, signigica que T é um vetor perpendicutar ao plano degini- do por | e b com magnitude , . nn sao be Usando a regra da "mão direita", se o 4eu polegar apontar no mesmo sentido de a e seu indicador no sentido de z, o dedo medi 8A o O oo co co (0) (09) SP Fi& 40 Oo 00 fojo) fo) Oo Q Oo (O) Oo o) Oo (9) fo) “FIG 1 Fi6 43 =10= 1. O momento angutar, antes da colisão, é (1,50) (2,51) + (1,00)! (7,90) = 11,7. Depois da colisão sena (1,50 + 1,00) (4,65)= 11,6. Vemos que a soma do momento angular & a mesma antes “e depois da cotisão. Note que ambas as botas se movem no mesmo sentido, Assim seus vetores momento angular são, paratetos. Muitas outras experiên. “as podem sen feitas com cotisões e Lasticas ou não, inclusive situações em que os objetos que cotidem se movem em planos diferentes, fornecendo nesuttados semelhantes;o vetor soma do momento angular dos corpos em cotisão conserva-se o mesmo, [veja seção 10). ANTES DA COLISÃO APÓS A COLISÃO BOLA DE GOLFE BOLA DE MASSA DE COMBINAÇÃO DAS BOLAS VIDRACEIRO A va Ava LA Vi Avi 4 vi Ava EO 0.76 2.52 4124 1,87 7,93 3.81 1.8) 4.6 2.52 0.99 2.49 4.78 1.66 7.93 3.75 1.25 4.69 BRO 1.40 2.49 5,13 1.53 7,85 3.50 tas 4.62 EE 1.54 2.51 5.13 1.53. 7.85 3,4 1.45 4.67 2.62 0.96 2.52 4.11 1.66 7.92 3.07 1.51 4,64 AV Moto. 2.51 Ay, Meto ERA Av, Urge 4.65 ROTAÇÃO DOS CORPOS RÍGIDOS Atê aqui discutimos apenas os movimentos dos coxpos ao ton go de trajetórias que são bastante grandes em comparação ao tama - nhosdos próprios corpos, Estastimitação justificou a nossa Ágnorãn cia das pequenas digerenças. nas trajetórias das varias partes “do corpo. (Veja fig 1). Se o tamanho do corpo em movimento 4ôr compa- xado ao tamanho da ónbita, não poderemos mais ignorar estas digera ças, e a descrição do movimento se torna, em geral, mais complica- da. Nesta seção chegaremos ao outro extremo e discutinemos a nota- ção de um corpo em volta de um eixo gixo que passa atravês do cor- po, Os pontos ao Longo do eixo de notação não se movem, emquanto que aquêtes que estão 4ôna do eixo se movem com mais napídez quan- £o mais dête se afastam, Aqui, naturalmente, podemos ignorar a di- «11s ferença no movimento das vârias partes do corpo; contudo, a descri ção do movimento se torna simples se nos Limitamos a discutir sôbre, Corpos cuja gonma permanece, para todos 04 tins práticos, imutâve (corpos rigidos, Consideremos um b£oco de madeira que gira em tôrno de um xo gixo. Pequenas particutas de madeira no vloco se movem com vel, cidades diferentes dependendo de sua distância do eixo, Assim a v tocidade individual não sexã um meio conveniente para descrever q movimento do btoco, como um todo, Agora imagine que traçamos uma nha neta que estã gixa no bloco e passa através do eixo de notação em ânguto neto (449.12). À medida que o bloco gira, a Linha gira com ête. A quantidade de rotação da Linha é expressa em íênmos d ângulo entre a direção origina? e sua direção posterior, Se o bto co é rigido a posição de qualquer das pequenas particutas que com pôem o btoco, em retação à Linha neta, não muda, Cada pequena particuta gina através do mesmo ânguto ( O tigura.12) e o ânguto de notação descreve o movimento do bloco in teiro., E À medida que o btoco gtra o ânguto & muda, Sua nazão de m dança durante um tempo At éêa vetocidade angutar média . Ab Me DE Como na velocidade Linear, podemos definia uma velocidade angutar ; = - [a instantânea peta netação ..., W= Lim at>o At É conveniente medin o ânguto de notação em radianos, isto &, medi % como o comprimento do arco cincutar 4 dividido pelo naio 4 (449 13). Assim, o comprimento do anco percorrido por um ponto a uma dé tância n do eixo é 4 = xb e sua vetocidade É v « HW. A velocidade angular, assim como O ânguto de notação,4e plica ao bloco inteiros A situação não senta tão sémples se, vêz de um btoco de madeira, usassemos um bloco de getêia, vânias particutas no btoco de getêia teriam não somente vetocidades dit rentes mas tambem vetocidade angulares diterentes, porque a getê poderia se cuntorcer e mudar sua torma durante a notação. Não se a um corpo rigido, CC af Essas massas estão a distâncias hj, hg, ete.,do centro. O momento angutar do disco inteino sena: 2 2 L= (AMaçU + AM,açóo + coesa) - (AMA; 2, Au, Ao E Vemos que L & constituido de dois fatores: a soe an gutar W e outro fator independente de w. Ête contêm a massa do dis co, mas não a soma direta das massas de todos os aneis que compõem o disco, A contribuição de cada AM aumenta com o quadrado de sua distância ao centro do disco. Catcutamos o momento angutar de um disco sino netativamen- te ao 4eu centro, Qual seria o momento angular em netação a um pon to no eixo tona do disco (0! na gig. 16)? Consideremos, primetra- mente, o eLemento da massa Am, do tado dineito da figura, cotoca- do a uma distância 1 do eixo. O vetor posição deste etemento "de massa para 0" tem o comprimento n' = sa . Seyvetor de vetoci dade aponta para o ptano do papel e tem modulo v = xl como anteni- ormente. () mera angutar do etemento de massa tem, portanto, mo - duto AL = Am? w/sen O e direção perpendicutar a n' no plano do papet, como estã demonstrado na figura, Devido à simetria, o momen to angutar do eLemento da massa à esquenda terna o mesmo módulo e à mesma inclinação para o eixo de notação que o elemento a direita, Vemos que os componentes do vetor dos dois momentos angulares para tetos ao disco se anutam, enquanto que os componentes paratetos ao eí xo de notação se somam. (gig 17). Os componentes verticais têm mô dito AL sen 6. Substituindo por hLa ESA sea que acabamos de cateutar, encontraremos : EL sen 0 =Bm e - ben O = Am? [0] O vetor da soma dos momentos angutares dos eLementos de m sa iguais e cotocados simêtricar nte com netação ao ponto 0! senã íguat a soma dos momentos angulares do mesmo etemento da maasa res Pativamente a 0, Visto que o ponto 0" 04 escolhido arbitraniamen te, nossa conclusão é vatida para qualquer ponto ao Longo do eixos Atêm disso, nosso argumento é tambêm vatido para dois etementos d massa iguais em tamanho e simitricamente Localizados em netação a eixo de notação. j : e Visto que cada elemento dê massa Am do disco tem um "com- panheiro” Locatizado a uma mesma distância do eixo, mas do Lato o- posto, vemos que o momento angular total do disco, em netação a qualquer ponto ao Longo do eixo, é igual ao momento angular em he- tação ao centro do disco. Dai, podemos tirar dua. conclusões importantes. Primeiro , não teremos mais que restringir nossas considerações ao disco, Po- demos imaginar um disco fino dividido cm muitos outros, e assim pa na a notação em tônno do eixo de simetria, o momento angular de cadacum em netação a qualquer ponto do eixo, & o mesmo; o momento angular do disco inteiro 2 também independente do ponto do eixo êm netação ao qual avatiamos aqui Tóto e valido também para quatquer objeto em que o eixo de notação seja simétrico, tais como blocos netangubares uniformes em eixo de notação perpendicutar a uma das supergicies e que passe pe Lo centro do bloco, Para tuis objetos, o momento angutar ao Longo do eixo de notação tem módulo: 2 Le AMA? Exa o e ho onde a expressão em parênteses é a soma dos produtos dos elementos da massa vêzes o quadrado das distâncias do eixo de notação, e que & chamado de momento de inincia, e demominado peta Letra ToAssim, L => 1 W. O momento de inércia de qualquer objeto depende de sua massa, gorma e da Localização do eixo de Lotação. Pode ser determi nado experimentalmente e - para formas que nad são muito comptica- das - tambem calcutados. Para o momento de inência do disco em ne- tação ao eixo perpendicutar que passa.peto seu centro o resultado Dera Tiisco * ú Rê onde M E a massa e Rê o nâdio do disco. Um anet com massa e naio iguais ao do disco tera um momento de inênrci a duas vêzes maior: Lmerr ur2. Se ambos giram com a mesma vetoci: dade angular, o ane« tem o dôbro do memento angutan. Nosaa segunda conclusão é que, se o eixo de notação não for simttrico, pelo menos alguns dos etementos da massa de um Lado de um eixo de notação, não terão etementos da massa correspondentes do outro tado, e portanto, o momento angular não sena ao Longo do ei- xo de notação, Atêm disso, seu modulo e dineção podem depender do 
