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CAP Preetalo Ae CUPLEMENTO 104 TÓPICOS ANANÇADOS COMITÉ DE ESTUDOS DE CIÊNCIAS FISICAS Eca reto x” *** FÍSICA x%& *TÓPICOS AVANÇADOS DO PS gs ck asssSsS=SsaSsADOS, DO BS. .SnaL Í-N-D-I-c-E CAPÍTULO II - PROCESSOS IRREVERSÍVEIS 1 . Alguns exemplos. 2 . Uma experiência com "bolas de gude", 3 . Explicação qualitativa da experiência com bolas de gude. 4 » Algumas idéias básicas sôbre Probabilidade. 5 . Estados e distribuição. 6 . Distribuição mais provável. 7 . Expansão livre de um gãs. 8 . Aspéctos quantitativos. 9 . Densidade de flutações. 10 Colisões inelásticas e condução de calor, Obs:- Esta Publicação é para uso interna e exclusivo da EPCAR, não sendo permitido a, reprodução ou venda da mesma, | Um recipiente é dividido em dois compartimentos iguais, Uma parte contém um gãs e na outra faz-se vácuo, Uma janela é aberta na parede de separação e'o gás se ex pande livremente de um modo bastante rápido, ocupando to do o recipiente, Jamais observamos o gãs inverter Êsse movimento expontâneamente, confinando-se outra vez um só compartimento, Como você sabe, todos os processos anteriores obede cem à lei da conservação da energia. Se imaginássemos que os processos inversos se realizassem, êles não viola riam o printípio da conservação da energia, De fato, é- les não precisam violar, para se realizarem, qualquer ou tra lei de conservação conhecida, tal como a conservação da quantidade de movimento ou do momento angular, Desde que os processos inversos não são proibidos por leis de conservação, por que eles nao ocorrem? O último descrito, aquêle de um gás expandindo-se no vácuo, é um dos exemplos mais simples do comportamen- to irreversível, Servirã como protótipo para todos os processos irreversíveis. Quando a razão da irreversíbili dade £ôr entendida nêste exemplo será necessário fazer sômente uma pequena extensão para entender a irreversibi lidade também em exemplos, A afirmação de que processos irreversíveis não vio- lam as leis de conservação conhecidas, provâvelmente sig nifica que os processos ínversos podem realmente ocorrer mas por alguma razao a probabilidade de sua ocorrência é tão pequena que se torna completamente despresível, Mos- traremos que êste é realmente o caso, Mostraremos que a extrema raridade de ocorrência de processos inversos é u ma consequência do fato de que sistemas microscópicos contém um número muito grande de atomos, ia A UMA EXPERIÊNCIA COM BOLAS DE GUDE Começaremos com um exemplo bastante simples, para introduzir alguns dos conceitos usuais na compreensão de um fenômeno irreversível, A máquina mostrada na FIG Ls tem duas pistas e dois compartimentos, construidos de ma neira perfeitamente simetrica em relação ao eixo central, Inclinando a máquina para frente e para trãs pode- mos fazer com que as bolas agrupem-se nos compartimentos ou nas duas pistas. Uma janela de tamanho regulável per- mite que as bolas passem de um compartimento para o ou- tro. Podemos então misturar as bolas nas duas pistas in- clinando o aparelho para trás e para frente. Variando o tamanho da janela que liga os compartimentos, podemos va riar o grau em relação ao qual a mistura elimina a distri buição inicial das bolas. Em outras palavras, podemos variar a "memória"! da máquina. As pistas tem o diâmetro de uma bola de moreira que as bolas se colocam em fila e podem assim ser facilmente contadas, Estamos interessa dos somente no número e não na ordem das bolas em cada pista. A distribuição das bolas é determinada pelo núme- ro N, de bolas na pista » e pelo número N, de bolas na pista 2, O numero total de bolas é Ny + N9= N, des de que N ê constante precisamos dar somente N para veri ficar a distribuição de bolas nas duas pistas. Tentaremos agora uma experiência com (100) bolas. Inicialmente, estão tôdas na primeira pista, i. é Nj= N, Agitamos então as bolas, inclinando o aparelho pa ra trãs e para frente. Ao fim da primeira operação a dis tribuição é caracterizada por um novo valor de N que anotamos. Agitando repetidamente obtemos uma sequência de distribuições que podem ser colocadas em um gráfico de Ny/N, apôs a operação, como função de um inteiro n. Podemos pengar em n como sendo o tempo, De fato, n po- de ser o tempo em segundos se agitamos com intervalos de Dus ! ] ' | i ) ! ! ! * 480 E Ea EERRrrErEE ES oso Abertuwa x a 2 belas da difmalta (o) S 3 080 dir ar E) Pp ] [T q 2 oão TrrEr , Rr EA 5% E: q 920 E Ôoo o 5 o) 2 2 30 q 2 € da Ópera ças q areas rErRRErA -O —i ago bartuva A e a 5 balsc de digmaio (b) TV 2 o8o JA Mei qe vhs fp tp 5 ER ; E EP aoo - o 5 o] 20 25 so rexa de Dperaçãos Ee FERE E o,8o Abevk ra oi neo : 40 bal a de diámelia =" - anna 19 o AO as É o sto & E qoo À THHL E) 5 40 45 20 as 3o Yulmera FS 2 > B um segundo. Se a janela entre os compartimentos da maqui na está completamente bloqueada, teremos sempre N, = Nc Para diferentes tamanhos da janela esperamos obter diferentes resultados experimentais, Êstes são mostrados nos gráf (a)(b)(dda £ig-2 para três tamanhos da janela. Os resultados experimentais mostram que, enquanto tor possível as bolas passarem de uma písta para outra a dis tribuíção inicial tenderá a-uma distribuição! igual. O tempo gasto para que seja estabelecido o estado de igual distribuição depende do tamanho da abertura, Depois que a igualdade de distribuição tiver sido estabelecida ela não variará com operações posteriores, a menos de peque= nas flutuações irregulares, A transição da distribuição desigual para uma distribuição final uniforme É aparente mente irreversível. A FIG III mostra com mais detalhes como a distribui ção inicial tende à distribuição uniforme, Os dados com= binados das três experiências se localizam todos aproxi= madamente sobre uma única curva contínua. Isto mostra que a distribuição aproxima-se da uniformização de um mg do definido e reproduzível independente de pequenas flu= ” tuações, Qual seria o resultado se começãssemos com somente 3/4 de número total de bolas (N) na písta (1)? Sem fazer realmente a experiência podemos adiantar que tal distri- buição inicial tenderã também a uma distribuição unifor= me. Por exemplo, para uma abertura de tamanho igual ao u sado na experiência da FIG III; o gráfico experimental serã o mesmo independente das flutuações, exceto que de vemos dévlocar, a orígem das abcissas para a direita do ponto LI, mostrado na figura III, Resumíremos nossas descobertas segundo a regra empí rica: "Independentemente da distribuição inicial e do ta manho da janela,as bolas tendem a se distribuir de uma maneira uniforme nas duas pístas independentemente de pequenas alm a ee ra ae mea arraia e te mer emma q ta (2), Na operação seguinte algumas outras bolas serão provavelmente colocadas na pista (2), porque existem mais bolas na pista (I) que na pista (2). Então cada operação representa uma pérda líquida para a písta (I) e um ganho líquido para a outra pista, até que a distribuição atin- ge a uniformização. Operações subsequentes tendem a man- Ter uniformização porque a possibilidade de que a pista (I) perca bolas é -contrabalançada pela possibilidade de que ela as ganhe, “| Mas uma explicação qualitativa apenas não nos satis faz plenamente, Ainda que a explicação acima mostre que uma distribuição não uniforme tende a se uniformizar, e que uma distribuição uniforme tende a se conservar, ela não fornece qualquer resultado quantitativo. Para dar u- ma explicação quantitativa satisfatória, precisamos ex- plicar não somente o fato de que Nj/N tende para um va- lor médio 1/2, mas também o fato de que as flutuações ir regulares são pequenas. ALGUMAS IDÉIAS BÁSICAS SÔBRE PROBABILIDADE Antes de discutir a experiência das bolas de um mo- do quantitativo, precisamos rever nossas idéias sobre chance e probabilidade. Considere um j0go de "cara ou co '“roa", Se voce lança uma moeda um grande numero de vezes, ao acaso, verá que quase sempre o número de vêzes que vo cê obtém cara não difere muito do número de vêzes que vo cê obtêm corda. Se você lança. q moeda mil vêzes, você Po de estar certo de que a frequência de "caras", isto é, o número de vêzes nas quais aparece "cara", dividido pelo número total de lances, difere do valor 1/2 por menos Ol se; você considera casos nos quais o número de lan- ces é maior, você terá diferenças cada vez menores. Para um número extremamente grande de lances a razão acima tende para o valor 1/2, Expressamos Esse fato dizendo dis a mca rem reta e 2 EEE EDS DST O e * Voce encontrara aproximadamente igual numero de caras e coroas em todos os quatros no caso anterior. como nte exatame lances, que as possibilidades à priori de se obter "cara" ou "co rõa" são iguais. Desta experiência de "cara ou corda" você aprende alguma coisa a mais. Considere por exemplo, um conjunto de quatro lances, três dos quais tenham dado "cara";qual serã o resultado do quarto lance? Se você realiza um grande número de conjuntos de quatro lances, consideran- do somente aqueles nos quais os três primeiros tenham da do "cara e corda" no quarto lance de cada conjunto, como no caso anterion(o)A mesma coisa acontece se você conside ra os resultados dos enêsimos lances, em conjuntos de N lances, nos quais os N-1 primeiros tem qualquer dado re sultado fixo. Podemos expressar êsse fato dizendo que a probabilidade do resultado de qualquer lance é indepen- dente dos resultados de lances anteriores; os resultados de diferentes lances são independentes entre si. Com essas noções podemos responder várias questões "cara ou coroa", Por exemplo, se realizo sobre jogos de um grande número de conjuntos de dois lances, em quantos conjuntos aparecerão duas cordas? Se temos N conjuntos de dois lances podemos dizer que em aproximadamente N/2 conjuntos o primeiro lance darã coroa, Nesses N/2 conjun tos (cujos primeiros lances dao corõa), podemos esperar igual número de cara e corõa nos segundos lances. Então em mais ou menos 1/4 de todos os conjuntos de dois lances ou seja, em N/4 conjuntos, ambos os lances de um par da- rão corõa, Dizemos que a probabilidade de obter duas co- rõas em um par de lances é 1/4, Analogamente, em dois lances a probabilidade de uma corõa seguida de uma cara é 1/4. Isto vale também para a probabilidade de obter em dois lances uma cara e uma coroa independentemente da or dem? Em N pares de lances, N bastante grande, mais ou me nos N/4 pares dao corõa seguida de cara e N/4 pares dao cara seguida de corõa, portanto você terá mais ou menos N/4 + N/4 = N/2 pares de lances com uma cara e uma co- roas. Ea 1/3, o que estã errado como já vimos. O êrro nesse caso estã no fato de termos considerado como um único evento dois eventos diferentes: cara seguida de corda e corda seguida de cara, Na discussao quantitativa de nosga expe- riência com bolas, veremos exemplo de outro tipo de êrro na classificação dos eventos. ESTADOS E DISTRIBUIÇÕES A fim de concluir uma descrição quantitativa da ex- periência com bolas deveremos saber quais os eventos são igualmente prováveis. Podemos descrever aquêles resulta- dos de muitas maneiras. Primeiro, podemos distinguir as N bolas numerando-as de 1 a N; uma descrição mais detalha da então especificaria não somente quais as bolas estao em cada, ta, mas também a ordem das bolas em cada pis- ta. Tal descrição é chamada um "arranjo" s Em segundo lu- gar, podemos nos contentar dizendo quais as bolas estão em cada pista independentemente de sua ordem; estaremos falando de um "estado", Em terceiro lugar, podemos dar so mente o número de bolas em cada pista sem identificá-las; isto é chamado uma "distribuição" (Figura 4). Observe que muitos arranjos podem pertencer a um estado, e muitos es- tados podem pertencer a mesma distribuição. Um evento se- rã a realização de um arranjo, de um estado ou de uma dis tribuição. Sabemos previamente, da experiência, em que as bolas são misturadas que tôdas as possíveis distribuições nao sao igualmente prováveis. Deveremos olhar a cada um dos estados ou arranjos para eventos igualmente prováveis Para isto, considere primeiro o comportamento de uma bola particular. Examinemos isto experimentalmente, Com esta finalidade, vamos repetir a experiência de misturar as bolas. Neste ponto uma das bolas é idêntica às outras em todos os aspectos exceto em côr. (Podemos es tar seguros que a cor não influencia o resultado da expe- Reef N riência). Se seguirmos a bola colorida em um número sufi cientemente grande de operações, descobriremos na longa corrida os seguintes fatos: A probabilidade de encontrar a bola colorida numa dada pista é 1/2, e esta probabilida de é independente da maneira pela qual as outras (não co loridas) bolas estão distribuidas em cada pistas, Para ver que isto é verdade, suponha que a bola co- lorida começa na pista 1. Estará ela na pista 1 ou na pista 2 após n sucessivas reações? Com uma pequena abertura sabemos que para n=1 é al- tamente provável que a bola esteja na pista 1, Para n=2, nossa resposta torna-se precisa, porque para terminar na pista 2 o resultado depende da primeira operação, que é algo incerta, Quando n cresce, a incerteza também au- menta, porque onde a bola estã após n operações depende dos resultados de todas as operações intermediárias, que são elas próprias incertas. Para n suficientemente gran- de; são iguais as probabilidades de encontrar a bola co lorida na pista 2 bem como na pista 1, O mesmo é verda- deiro para qualquer bola, e desde que todos os diferentes estados são determinados por quais bolas estão em qual pista, todos os estados são igualmente prováveis a priori, Para estarmos seguros, o destino de uma dada bola de pois de n operações está em princípio completamente deter minado. Contudo, êle depende, criticamente, de cada míni- mo detalhe do processo de mistura: quais outras bolas co- lidem com nossa bola, com qual bola ela se choca, as cor- rentes de ar na máquina, etc. Uma pequena mudança dêsses detalhes mudaria o resultado, Quanto maior for n, mais críticos se tornam êsses detalhesgs Eles não são somente desconhecidos para nós mas também estão além de nosso con trôle, Por exemplo, quando inclinamos o aparelho nao pode remos fazê-lo exatamente com a mesma velocidade todo tem- po. Considerando a simetria da máquina, parece razoável supor que apos um número suficientemente grande de opera- ções, uma bola esteja geralmente provável de terminar na GEO cc e De fato, nesta experiência particular, a distribui ção inicial se repete na 34a (trigésima quarta) opera- ção. Isto não contradiz o que foi dito antes (1024 ope- rações) porque a predição anterior é para o comportamen to médio em um grande número de operações. Em nossa experiência com 100 bolas, teríamos que agitar a maquina 2100 vêzes antes de podermos esperar obter as bolas de volta à pista (1). Se realizarmos uma EOU seg « 1023 anos operação por segundo, isto levaria 2 Êste intervalo de tempo é tão grande que falta-lhe significado físico, pois a idade do universo é estimada em apenas 1010 anos. Antes que tenhamos tempo de ver a repetição da distribuição inicial, o aparelho teria se desintegrado em poeira, o sol teria esfriado e as leis da física poderiam ter mudado, É por isso que no caso N = 100 podemos dizer que a chance de tornar a obter a distribuição inicial é nula, A transição de uma distri- buíção inicial não uniforme para uma distribuição uni- forme é, para tôdas as finalidades práticas, irreversi- vel. No entanto, é inteiramente possível que obtenhamos novamente a distribuiçao inicial N = N depois de algu- mas poucas operaçoes, Se isto acontecer, sera sem dúvi- da um fato extravagante mas que no entanto não viola qualquer lei natural que conhecemos, De um ponto de vis ta puramente probabilístico, um matemático não hesita- ria em apostar com você uma enorme fortuna, caso a dis- tribuição inicial se repetisse. — >> Um modo conveniente de resumir tudo o que dissemos é colocar em gráfico P Ny) contra N4/N para diferentes valores de N. Fizemos isto para N = 10 na FIG VII, onde os pontos teóricos são mostrados com círculos cheios e os pontos experimentais, obtidos depois de 2000 opera- ções, são mostrados como cruzes. Êles tendem a coínci- dir se aumentarmos o número de operações. Você pode fa- zer um gráfico semelhante, mostrando uma comparação en- tre a teoria e a prática, para N = 100, EANES, pa RAS peg=— , P=j= o Zee] é Cá pe MeÉ ; ES E=+ ' A R E E) e Pra E —pé + Ee E Ham sete Sal dd” y 7 o TEEITITITE PESQ pp PU Yúmera deObe rapazes Fia 6 ema 8 A Ed = ro F; Fie. 8 PS sudo ata 4 3 na fai EE I Es 7 L 1 n n 4 A + À A : Doi RE ROA Cornpeatig E: e sê 738 NE, É z já RAR E Ee B E red iz é ss |- PS gs 2 poco e |u E 4 s dt iss dg Sssissssszsias N 444 artes entra tais como, o tamanho da abertura, a dinamica das colisões das bolas, etc, Ainda que não possamos dar uma resposta quantitativa para isto usando apenas as idéias simples de senvolvidas atê agora, podemos entender suas implicações gerais, Um exame dos gráficos da FIG II, mostra que inde- pendentemente do tamanho da abertura N 1/N tende a decres- cer para o valor N/2, Isto significa que a distribuição tende a passar de uma menos provável para outra mais provável, de acórdo com a idéia de que as bolas tendem a se distribuir cada vez mais ao acaso entre as duas pistas, ê medida que fi- zer um número maior de operações. LIVRE EXPANSÃO DE UM GÁS voo Retornamos agora à discussão da livre expansão de um “gãs no vácuo que mencionamos no início do capítulo. Vamos considerar um gãs como uma coleção de moléculas confina- das por paredes completamente refletoras, As moléculas co lidem frequentemente com as paredes e umas com as outras como bolas perfeitamente elásticas, Uma figura esquemáti- ca de um gãs durante uma expansão livre é mostrada na FIG IX. Para dar uma idéia da ordem de grandeza das quantida- des usadas suponhamos que o volume total do recipiente se ja 22,4 litros, Podemos então imaginar que o número total de moléculas na FIG IX é o número de Avogadro, 6 x 1023 (capítulo 8, secção 7; capítulo 26, secção 2). As molécu- las se movimentam com uma velocidade média de 300m/s no ar, e cada molécula sofre aproximadamente 10º colisões Por segundo. Desde que a energia é conservada nas coli- sõoes, o movimento molecular nunca cessa, e a energia to- tal do gãs permanece constante, Na livre expansão de um gás, estamos interessados a penas na distribuiçao espacial das moléculas e não nas ve locidades das mesmas. =16=- 164 x EA (us 2) FIG. O 3 SE 4 Ea a Sáias Es EE R É? tempa FIG 42 
