PSSC - Tópicos Avançados - Cap06, Notas de estudo de Física

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QUPLEMENTO DOS TÓPICOS AVANÇADOS COMITÉ DE ESTUDO DE CIÊNCIAS FIGOS CAP VI y PTS LCrA TÓPICOS AVANCADOS DO PSSC = E AAA PLA NDA DAS A ÍNDIC! aNDISS. CAP VI prt A ÁTOMOS MOLÉCULAS E N ÚcLEO Átomos semelhantes ao do Hidrogênio: Níveis de ener gia e tamanho......ccrceracaccarcecoeca nao sa era asasaas O íon e o átomo de Hélio.. Olatomo de LLELO. ci Espéctro de absorção.. Fnergias de ionização. O tamanho dos átomos.. Camadas de elétrons O vríncípio de Paul Partículas numa"Caixa Lígações químicas... Ode terriio sejas,» é afora A fôrça Nuclear.... Núcleos complexos... Exercícios - Para casa, Esta publícação é p Laboratorio. ......... Àeccrcrre sacas classe e ara uso interno e exclusivo da FPCAR, não sendo permitido a reprodução ou venda da mesma. EX RKKX * KARHH * HARE * n Z 3 14 15 18 20 274 Es E total, e portanto elas rão podem explicar as discretas linhas do espé ctro de H. Além disto o átomo de H e muitos outros átomos comportam-se, quando no estado fundamental, como um núcleo positivo circundado por uma nuvem esférica de cargas negativas, melhor do que por um único elél tron girante. Se por exemplo o modêlo anterior fôsse correto, devería mos ser capazes de por alguma experiência determinar em qual plano o elétron se move. Experiências, porém nao nos mostram a existência dês te plano preferido. Devemos concluir que um modêlo ondulatório de simetria esfé rica é uma descrição mais apropriada para o elétron do átomo de H,quan do no estado fundamental do que o modêlo anterior (Veja PSSC - capítu lo 24, secção 5). Como podemos então correlacionar esta descrição a descrição orbital de movimento que se passa numa grande escala? Vimos no PSSC, capítulo 33, secção 9, que a natureza ondula tória das partículas faz-se presente dêsde que tódas as distâncias quel apareçam na experiência são comparáveis ao comprimento de onda de Bro glie. Em nosso caso podemos esperar que a mecânica newtoniana se- ja adequada pois a circunferência da órbita é muito maior que o compri mento de onda de Broglie, isto é: 2m7r>A Agora, da nossa 12 expressão para a energia total do elétron a Ses e = MW k2 temos: 21 r 2 ZE E e da segunda expressão encontramos: A, ads tado a : P V2 mEç V-2me Assim, a mecânica newtoníana, será adequada se: 2mr —. mKz V=2mE 2m 31 E ERR pó VHE Podemos agora tentar e&tender a validade das relações basea das na mecânica newtoniana pela admissão queaté quando 21r/A >» 1.8 onda estacionária numa camada circular difusa é um modêlo melhor do que o da órbita clássica; assim como quando levarmos em consideração a pequenissima difração que um feixe de luz sofre ao atravessar uma lar ga fenda já é um aperfeiçoado para a ótica geométrica. Para o modêlo ondulatório ter uma onda estacionária em sua st camad: circular, o comr mento da circunferência deve ser um multíplo inteíro do compríment: de onda: 2Ur cn er onde n e um n9 inteiro Se n pode ter sômente valores inteiros, então E torna-se discreta tam- bém; denotaremos a energia do n-éximo nível por En: TkZ êm =n EE Elevando ao quadrado e resolvendo por E» encontramos E = Lo Scr z ne ES a constante i- h e R= tim = 13,6 € e é chamada constante de Rydberg. pousada 15” o Para encontrar o aproximado raio. r da camada que no modêlo ondulató- rio corresponde ao n-ésimo nível de energia, nós substituíremos a no- va expressão p/En em En = - KZ/21m, - Resolvendo para rn encontramos. metido T=ar =-Sg - A constante: 4 io q E” a-N =o053x!0 m AMºkm chamada saio de Bohr. en Com base nas nossas deduções confiaremos nas relações: Si E=-RE e =a5 somente para grandes valores de n. Mas como vimos no capítulo 34, sec ção 4, a expressão para os níveis da energia nos dá as energiasdas li nhas espectrais observadas surpreendentemente bem. De fato, Rydberg - “encontrou o valor da constante R experimentalmente antes dela ser cal culada por um raciocínio similar ac que apresentamos aqui. Nós podemos não estar bem seguros na aplicação da expressão de rn para pequenos valores de n, dêsde que não sabemos até que ponto o modêio de órbita difusa dado anteriormente nos informa do estado fun] damental no átomo. Entretanto,paan = 1, e Z = 1, temos rl = 0,53 x 10105) que é em 12 aproximação o tamanho de um átomo de H. Na próxima seção tentaremos estender a expressão de En e rn paraátomos mais complicados; onde êstes valores nos serão úteis para a compreensão da estrutura dêsses átomos. 2 - O fON E O ÁTOMO DE HÉLIO elementares. Nota-se qr: possuem pequena variação na regiao do ultra- -víoleta (de P.G. Kruger, "Arc and Apark Spectrum of He", Physical Re view, vol 36, síries 2, julho - Dezembro 1930). Fig.2 - Esquema da secção transversal de um átomo de He num estado próximo ao íonizado quando n é grande (não traçado em escala). | Fig. 3 - Esquema da secção transversal do mais baíxo estado excitado do He. (não traçada em escala). De fato o campo de fôrça é mais complicado, sendo conpostaaa fôrça devida ao núcleo e daquela devida ao outro elétron. Estas tôrças| são comparáveis em módulo desde que o núcleo tem sômente 2 vêzes a car ga do elétron. Nós não podemos, entretanto, esperar descrever as ondas associadas dos 2 elétrons em têrmos das ondas associadas do átomo de E Sômente quando os 2 campos, aquêle do núcleo e aquêle de um elétron, sao adicionados de modo a torná-los um campo símílar a um campo invers mente proporcional ao quadrado da distância, teremos o que foi usado no modêlo do átomo de H. e Isto é realmente o que ocorre se a anda associada de um elé- tron está muito externa à do outro elétron. Nossa aproximação consisti| ra entretanto se kévarmos em consideração o decréscimo de linhas de - fôrças do campo égétrico do núcleo quando as ondas dos elétrons se so-, brepoem; mas ignoraremos a distorção do campo inversamente ae am ao quadrado da distância. Se usarmos esta aproximação esperaremos en- contrar níveis de energia como os do H, como um valor de Zz entre le 2 Vamos nos referir a êstes valores de Z como sendo 'Z ef (Z efetivo).Lon- ge do núcleo o 29 elétron se moverá num campo onde Z ef será no máximo a carga do núcleo, Isto é Z ef = 2; mas é provável que seja menor.Pode mos calcular Zef para o estado fundamental observando a energia de io- nização do He que é 24,6 ev. a Com n = 1 encontraremos. — 24,6 = 8,6 = e Es rg = ” Os níveis excitados têm diferentes cargas efetivas, mas p/ a maior parte dêles Zef = 1 isto é o elétron interior apodera-se de uma das cargas positivas do núcleo. Você pode convencer-se da validade “fes ta aproximação analizando o espéctro visível do He no laboratório. v0 simples espectrômetro da figura 4 será suficiente. 3 - O átomo de Lítio (Li) *5* 199, 3» não se encaixarão neste esquema:voltaremos a ele vret-mente. O fim do espéct q infravermelho do Lí é apresentado na Tabe- la II. Aquí encontrarenos que os níveis símples de 1 (em Rydbeizs) dão valores razoavelmente bons para as energias dos fotohs correspon- dentes às linhas. Tomemos a la.línha da tabela como exemplo,sua ener- gia fotônica é 0,0715 Ryábergs, em boa concordância com a diferença de nível de mergia de 32 - = “ 5 - + = 0,0710, como você poderá ve- rificar as outras línhas mostram correspondência semelhante: EABELA-I: Pre do espectro imfravermelho do lilig A (A) E (ev) E (eydeberos) 12782,2 0,970 0,0715 18697,0 0,663 0,0488 40475,0 0,306 0,0225 74360,0 0,167" 0,0123 Estas linhas parecem serem produzídas por 1 elétron que se mo ve num campo inversamente proporcional ao quadrado da distância em tôrno de 1 carga central com Z = 1, como fizemos no caso do He, pode- mos pensar na carga central como se composta velo núcleo hermêtícamen te blindado pelos outros 2 elétrons do átomo de Li - Num campo dêste tipo o máximo para a onda associada do elétron exterior está a uma distância de n2a da carga central. Para estas linhas do infravermelho longínquo esta é uma distância de 9 a 36 raios de Bohr. Isto é sufici ente para assegurar que não há nenhuma superposiçao &s ondas estacio nárias dos elétrons blindantes. O que sabemos a respeito do estado fundamental dos átomos de Li? Se a blindagem do núcleo permanece completa, esperamos que o 39 e létron tenha a energia de ligação do H, 13,6 ev ou 1 R. Se houver al- guma penetração das ondas associadas, esperamos Zef maior do que um e que a energia de ligação seja maior que 1 Rydberg como é o caso do He Na realidade a energia de ligação do 19 elétron é menor: 5,39 ev ou 0,306R. Como explicar êste abaixamento surpreendente de energia? Observemos novamente nossa fôrmula para a energia de ligação: Eb=En=Rziy? Zef não pode ser menor que 1. Se nossa aproximação é válida, a única possibilidade restante é que a onda associada estacionária do 39 elé- tron corresponde a um valor de n maior que 1. O valor experimental da energia de ligaçao indica fortemente que o 39 eletron foi mara o estado com n = 2. Usando o valor n = 2 na nossa fórmula temos um vala! =7- 4 - ESPECTRO DE ABSORÇà Vimos no PSSC - Capítulo 34, secção 3 que se fizermos pas- sar luz branca através de um gás, muitos dos fótons atravessam-no,mas alguns são obsorvidos e estas ausências podem ser notadas. no espectro da luz por uma série de intervalos prêtos que aparecem. Um fóton é ob sorvido se puder transferir energia a um átomo do gás, e isto aconte ce quando a energia do fóton é exatamente a necessária para deslocar um elétron do estado fundamental para um estado de maior energia,hv= E final - E inicial. Um espectro de obsorção dêste tipo é apresenta do na figura 5. Cada uma de suas.línhas dá a diferença de energia en tre o estado fundamental e um dos estados enxertados, e elas se ajun tam no extremo de maior energia a medida que os estados excitados se aproximam para valores cada vez maiores de ne Figura 5: A região de Pequenos comprimentos de onda do es- péctro da absorção do Na. Como esta é uma reprodução de um negativo, os comprimentos de onda absorvidos aparecem como linhas cláras só- bre uma extenção escura contínua(de H. Kvhn, Zeitschrift (urPhysix, vol. 76, 1932.). O limite do espectro de absorção é alcançado quando o fó- ton tem “energia suficiente para remover completamente o elétron do átomo,ist é, para ionizar o átomo. Ionização Pela luz já foi vista an teriormente, nós a chamamos de efeito foto —elétrico e lembrando-nos tambem que no efeito foto-elétrico, o elétron pode deixar o átomo com qualquer energia cinética. Isto é o mesmo que dizer que qualquer fóton que tenha ener gia maior que a mínima necessúria para que haja ionização do áto mo, pode ser absorvido. A eliminação de todos êstes fótons no espéc- tro deixa larga faixa manchada logo depois do límíte da série fina . Esta faixa está representada no extremo direito da figura 5, se você se lembrar que ela representa um negativo no qual, claro e escuro es tão invertidos. Raios X são mais penetrantes que luz visível ou ultra-vio- leta, mas são absorvidos por materiais densos. Se fazemos passar Rai os X de todos os comprimentos de ondas possíveis atraves de uma camada fina de matetial e tomarmos o espectro do que emerge do outro lado ve mos que muitos fótons a atravessam. *9* A absorção é limitada a poucas faixas largas que diminuem gracuslmen- te para energias altas e são suprimídas por píco agudo no lado de bai- xa energia. Pig 6 = Muitos elemento têm espéctro de absorção de raio X como êste apresentado pelo chumbo. Muitos elementos têm só um corte, O Gr te K, que representa a energia associada com a maioria dos elétrons in || teriores (De Introdução à Moderna Física, de Richtmyer, Kennard & Lau- ritsen. Copyright 1955. Mac Graw - Hill Book Company. Usado com permis, são J A diminuição gradual da intensidade das linhas sugere que Este é um outro processo de ionização, mas um sem a série de línhas de absorção conduzindo a isto. Os elétrons envolvidos na absorção de rai- os X parecem não serem estados vizinhos excitados para mudanças. Êste poderia ser o caso se houvessem elétrons internos, que teriamde ser removidos inteiramente para fora do átomo em um úníco movimento. Nós poderíamos então entender a linha aguda que corta a região de baixa energia da banda. Nenhum fóton com energia menor que a energia de ionização poderia ser absorvido, e qualquer fóton com ener gia maior que êsse mínimo poderia ser absorvido. Suponha que vamos testar esta idéia pelo exame da energia do fóton dos cortes de absorção dos diferentes elementos. Esta poderia se a energia de ligação para um elétron interno, e se as idéias que desen volvemos para o H forem ainda válidas para átomos mais complexos, nós poderíamos expressar isto como Ejsg = Err +. Muítos Pementos têm mais n que 1 banda de absorção de Raio X. A que representa a mais elevada ene gia de fóton poderia pertencer ao elétron mais interno, bem provavelme te com n=l e Zef muito próximo à carga nuclear completa. Um teste conveniente poderia ser um gráfico no qual ...... ER = £ (Z). Poderíamos esperar que Este gráfico fósse uma linha reta cuja equação poderia ser escrita como VE =VR (Z - s), onde s é uma pequena constante devida a blindagem que aparece, como vimos com O hélio e lítio. A figura 7 mostra o gráfico. Foi sugerido 'na Secção 32-4 que a carga nuclear para cada Memento poderia ser a mesma que seu número atômico, isto é, seu número de série na anterior lista química onde os elements foram arranjados na ordem de suas massas atômicas. Nós *10% gregsee VE (emos estes gêussê EM = 3,6) ha L vd: to do so 6o 7% 8o Nº atOMICO Z Fe 7 MA de um crescimento uniforme à medida que vamos para números atômicos ma is elevados, nós encontramos, apesar das flutuações, um decréscimo geral A energia de ligação do «elétron mais externo depende evidentemente de outros fatores além da carga do núcleo. Na figura 8, Observamos especialmente os picos agudos(He , Ne, Ar, Kr, Xe) e os vales que se lhes seguem diretamente (Li, Na,K,Rb Cs). Os picos pertencem aos gases nobres. Os vales pertencem aos meta- is alcalinos que reagem com grande vigor, oxidando rápidamente no ar e decompondo água quando são nela dissolvidos. Entre cada metal alcalino e o gãs nobre seguinte o gráfico ascende irregularmente. Há uma mudança periódica aqui que é muito parecida com a mudança periódica da lista química dos elementos (Tabt: 3). Ela repe- te-se exatamente nos mesmos lugares. Os metais alcalinos ocupam a primeira dentre as colunas em que a tabela periódica está dividida; os gases nobres a última. Estas energias de ionização são, evidentemente, estreitamente relacionadas com as propriedades químicas dos átomos. Vimos que a queda na energia de ionização (ou energia de ligação) entre hélio e lítio corresponde a um acréscimo de 1 em n. Va- mos ver se a mesma explicação será adequada para a queda entre neônio e sódio. A energia de ligação é R zetyn? Então para o neon temos 216 = 13,6 Zê£, tal que Zef = Vo,3s nê= 2,52; à para o sódio, --- 5,14 = 13,6 22et/3?2 » tal que Zef =V3,41 = 1,85. Êstes são maiores - que as cargas efetivas que tínhamos para o hélio (1,35) e lítio (1,26) mas lembremos que as cargas nucleares sao agora 10 e 11 ao invés de 2 e 3. Todavia é animador que a carga efetiva tenha aproximadamente o mes mo valor em cada caso. Com muito aproximadamente o mesmo número de elé trons nos 2 àtomos, nós poderíamos esperar cêrca do mesmo grau de blin dagem. 6 - O TAMANHO DOS ÁTOMOS:- Vamos agora estimar o tamanho dos átomos de néônio e sódio Quando pensamos em têrmos das ondas associadas aos seus elétrons vemos ue não podemos falar como pensando que o átomo tivesse limites defini dos para medida entre eles. Todavia podemos ter idéia do tamanho usan- o nossa expressão para o raio no qual a maior parte da onda associada e localiza, Lá e -« Isto nos dá para o neônio, Zef e *12* 2 a Es = 1,59 a, e para o sódio qa à 32/1,85 = 4,85 a. Os ra- Ne ios calculados para os átomos de hidrogênio ao potássio estão na figu- r ma 9, Figura 9. O gráfico da razão r/a X Z Pari os 19 primeiros elementos na tabela periódica. Os valores foram calculados de Zef como determinados da energia de ionização. Nós gostaríamos de testar isto, medindo os tamanhos de do- is átomos, mas precisamos tomar cuidado ao escolher os instrumentos com os quais vamos medir. Precisamos de algo suficientemente delicado para "sentir" os elétrons externos do átomo sem perturbá-los. De fato, a investigação mais conveniente poderia estar em um outro elétron. Experiências foram feitas, fazendo passar um feixe & elétrons atraves do gás neônio e através do vapor de sódio e observan- do como éles são desviados. Os raios atômicos obtidos de duas dessas experiências estão colocados no gráfico da fig. 10. Como você pode ver o "raio" de um átomo desta experiência decresce com a energia dos elé- trons do feixe, o que significa que;o resultado das medidas depende dos instrumentos de medida. De tódas as medidas ,o átomo de sódio é cla ramente maior que o átomo de neônio. Figura 10.-0 valor de r/a para sódio e neônio como função da velocidade dos elétrons que são bombardeados. 7 . CAMADAS ELETRÔNICAS:- SATADto volitcNitAoS Vimos que o átomo de hélio tem dois elétrons, comn = 1 e o átomo de lítio também tem dois elétrons com n = 1, mas o 39 com n=2. Os espéctros dos elementos que se seguem ao átomo de lítio foram estu- dados com faísca violentas que arrancavam fora os elétrons, e sabemos que mesmo quando subimos mais na lista química dos elementos, como o sódio e magnésio nenhum átomo tem mais que doís elétrons comn = 1. Os 10 elétrons do átomo de neônio poderiam então estar em 2 grupos; 2 dêles com n= 1 e os outros 8 elétrons com n = 2.0 119 elé tron do sodio parece tomar n = 3. Outra vez o estudo dos espéctros con firma isto e nos diz também que do sódio, no mínimo, até alcançar ga lista. q cálcio, nenhum elemento tem máis que 8 elétrons com n = 2. Não podemos dizer onde um elétron qualquer esta dentro de um átomo, mas as ondas “associadas nos dizem a que distância do núcleo [éres são mais facilmente encontrados. Do nosso gráfico das energias DR A tados um do outro para -ssegurar-nos que suas ondas associadas não se superpõem. A situação evidentemente diferente quando tratamos de um âtomo com muitos elétrons. Então todos os elétrons estão ligados pelo mesmo campo elétrico, o do núcleo, tal que suas ondas devem se eobre- porem. Entretanto, é plausível que no estado fundamental tados os elé trons tenham a mesma onda estacionária. Esta hipótese é consistente com os resultados experimentais para o He, mas não para o Li (Seção 3) 99 2 êlétrons ligados ao núcleo pelo campo de Coulomb podem ter uma onda associada caracterízada pelo número quântico n = 1. Está éapro- priedade fundamental dos elétrons, tão fundamental quanto sua carga e massa, Se mais de dois elétrons não podem ter a mesma onda associa- da em tôrno do mesmo núcleo, Porque mais de dois elétrons na camada n = 2? A resposta é que para descrever uma onda associada no espaço tridimensional, requer-se 3 números e não somente um, como temos vis- to nesta seção. O fato de que não mais que dois elétrons possam ter a mes ma trajetória de onda é conhecida como o Princípio de Pauli e não se limita ao campo de Coulomb; é válido independente da natureza do campo no qual os elétrons se movem“ * (nota:- Hã uma outra propriedade do elétron que não tem nada a ver com a probabilidade da onda associada no espaço.) É o seu momento angular intrínseco ou spín. Quando dois elétrons têm a mesma trajetória de onda, êles sempre têm spíns opostos. Assim a formulação usual do Princípio de Pauli diz que somente um elétron pode ter uma dada onda associada e spin). É interessante notar que se os elétrons pudessem ter todos a mesma onda associada, seria difícil haver qualquer química. Todos os átomos, independente da carga no núcleo, seriam semelhantes um ao outro. Nós não existiríamos para observar um mundo de tal maneira inerte. Elétrons não são as únicas partículas cujo comportamento é descrito pelo Princípio de Pauli. Prótons e neutrons estão na mesma classe, Por outro lado, fótons não estão. 9 - PARTÍCULAS NUMA “CAIXA” De modo a apreciar as consequências do princípio de Pauli, vamos estudar com algum detalhe os níveis de energia de partículas con, tidas numa "caixa". Sabemos certamente queypartículas como elétrons, prótons ou neutrons não são mantidas em caixas, mas com um pouco de imaginação podemos dizer que um camundongo numa gaíola e,um elétron ligado ao nú- cleo de um átomo,têm uma coisa em comum: ambos estão confinados a um volume limitado, Para calcular os níveis de energia de um átomo que contém muitos elétrons devemos levar em conta detalhadamente tôdas as fôrças que atuam sóbre êles; mas,para dar uma idéia geral do espaçamen to dos níveis de energia, podemos proceder do seguinte modo: conside- rando primeiro um elétron. Quando temos um elétron confinado a um volume limítado por causa de um campo de fórça atrativo nós substituímos o campo de fórça por uma caixa de igual volume ao que á partícula se encontra delimita- da (confinada). Dentro da caixa nenhuma fórça é exercida sôbre o elétron, exceto a que as paredes exercem: aí a fórça é tão grande que as partí- culas não podem abandonar a caixa. Tomando nosso nível de referência de energia potencial co- como zero dentro da caixa, a energia total do elétron é tôda energia 2 24 2 . ER Py +P, 2m O elétron não pode escapar da caíxa, assím a onda deve ser cinética: p E = uma tridimensional onda estacionária. Tal onda pode ter diferentes com primentos de onda ao longo dos 3 eixos da caixa. Para uma caixa cúbica de comprimento de aresta d, elas devem preencher as condições: a My dy. Po de 5) = d ) = d Z =d Os 3 comprimentos de onda x, Ay, e “Az então determinam as 3 componentes do po tda e = ERA í Ps h/» eps h/àaz (PSSC - Capítulo 33,seção 8). e a energia cinética então torna-se: 2 2 2 2 a 2 2 é ERR eNDO opte Pip de Caio ask mea nte, ) ha 2m 8 m d? Os números non en, chamados números quânticos, são com, y |pletamente independentes um do outro e cada um toma os valores E etc.. *16*,