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Func¸ ˜oes - Quarta Lista de Exerc´ıcios
“M ´odulo 1 - Func¸ ˜oes Trigonom ´etricas”
- Converta de graus para radianos:
(a) 30◦^ (b) 10◦^ (c) 45◦^ (d) 135◦^ (e) 170◦ (f) 270◦^ (g) 15◦^ (h) 700◦^ (i) 1080◦^ (j) 36◦
- Converta de radianos para graus:
(a) 53 π (b) π 2 (c) 3π (d) 36 π (e) 10π (f) 32 π
- Um cac¸ador est´a sentado numa plataforma constru´ıda numa ´arvore a 30 metros do ch˜ao. Ele vˆe um tigre sob um ˆangulo de 30◦^ abaixo da horizontal. A que distˆancia est´a o tigre?
- Considere um triˆangulo com lados a, b e c, onde os ˆangulos opostos a estes lados s˜ao  , B̂ e Ĉ , respectivamente. Prove a lei dos senos onde:
sen  a
sen B̂ b
sen Ĉ c
(Dica: Calcule a ´area deste triˆangulo considerando cada um dos lados como a base. Estas ser˜ao todas iguais.)
- Considere um triˆangulo ABC, com lados a, b e c e ˆangulo θ como mostra a figura.
Com base nele, prove a lei dos cossenos:
a^2 = b^2 + c^2 − 2 bc cos θ ,
(Dica: use o Teorema de Pit´agoras.)
- Deduza f´ormulas em termos de sen θ e cos θ de: (a) sen 3θ (b) cos 3θ (c) cos 4θ (d) sen 4θ
- Prove as seguintes identidades trigonom´etricas (a) 1 + tg^2 t = sec^2 t (b) 1 + cotg^2 t = cossec^2 t (c) sen(a ± b) = sen a cos b ± sen b cos a (d) cos(a ± b) = cos a cos b ∓ sen a sen b
(e) tg(a + b) =
tg a + tg b 1 − tg a tg b (f) cos 2θ = cos^2 θ − sen^2 θ = 2 cos^2 θ − 1 = 1 − 2 sen^2 θ
(g) sen^2 θ =
1 − cos 2θ 2
(h) cos^2 θ =
1 + cos 2θ 2
- Utilize o que foi verificado no exerc´ıcio anterior para mostrar que:
(a) sen θ sen φ = 12 [cos(θ − φ ) − cos(θ + φ )] (b) cos θ cos φ = 12 [cos(θ − φ ) + cos(θ + φ )] (c) sen θ cos φ = 12 [sen (θ + φ ) + sen (θ − φ )]
(d) sen θ + sen φ = 2 sen
θ + φ 2
cos
θ − φ 2
(e) sen θ − sen φ = 2 cos
θ + φ 2
sen
θ − φ 2
(f) cos θ + cos φ = 2 cos
θ + φ 2
cos
θ − φ 2
(g) cos θ − cos φ = −2 sen
θ + φ 2
sen
θ − φ 2
- Resolva: (a) 2 cos^2 x + 3 = 5 cos x (b) cos 7x = cos 3x (c) sen 2x + cos x = 0 (d) sen 3x − 2 sen 2x + sen x = 0
- Fac¸a o estudo completo das func¸ ˜oes cossecante e cotangente, definidas respecti- vamente por:
(a) f : t 7 → cossect =
sent
(b) f : t 7 → cotgt =
cost sent
- A seguir temos o triˆangulo ABC, onde AB = BC = CA = 2 e AM = MC.
Com base nele encontre: (a) O comprimento BM (b) θ e β em radianos. (c) sen θ , cos θ , sen β , cos β , tg θ e tg β.
- Dado um triˆangulo ABC, se Ĉ = π/2 e  = B̂ , encontre  em radianos e calcule cos  , sen  e tg Â. (Dica: Aqui  representa o ˆangulo no v´ertice A, B̂ o ˆangulo no v´ertice B, e Ĉ representa o ˆangulo no v´ertice C. Fac¸a um desenho.)
- Calcule os seguintes valores das func¸ ˜oes em cada ˆangulo. (Dica: Use identida- des trigonom´etricas.) (a) sen(π 3 + π 4 ) (b) cos(π 3 + π 4 ) (c) cos(π 2 + π) (d) sen( 3 π) + cos( 3 π) (e) sen( 12 π )
- Em t = 0 dois carros se encontram na intersecc¸ ˜ao de duas estradas retas, com velocidades v 1 e v 2. As duas estradas se cruzam formando um ˆangulo θ.
(a) Qual ´e a distˆancia entre os carros t horas depois deles passarem pelo cru- zamento? (b) Calcule a distˆancia entre os carros 1 hora ap´os passarem pelo cruzamento se: (a) v 1 = v 2 e θ = π 3 (b) v 1 = v 2 e θ = π 4 (c) v 1 = v 2 e θ = 0 (d) v 1 = 2 v 2 e θ = π 3
- Dadas as func¸ ˜oes f e g a seguir, obtenha f ◦ g e g ◦ f e seus respectivos dom´ınios de definic¸ ˜ao: (a) f (x) =
9 − 9 x^2 e g(x) = cotg x. (b) f (x) = cos x e g(x) =
1 − 4 x^2
- Encontre func¸ ˜oes f e g de modo que a func¸ ˜ao h possa ser escrita como h = f ◦ g. Nem f nem g devem ser a func¸ ˜ao identidade. (a) h(x) = sen 2x (b) h(x) = sen x^2 (c) h(x) = sen^2 x (d) h(x) = sen(cos x) (e) h(x) = sen^2 3 x (f) h(x) = | sen x| (g) h(x) = cos |x| (h) h(x) = tan(x^2 + 1 ) (i) h(x) =
sen x (j) h(x) = 2 cossec^ x (k) h(x) = 3 sen^2 x + sen x + 1 (l) h(x) = sen(cos^2 x)
- Dizer como as func¸ ˜oes f (x) = x^2 , g(x) = 4 x^ e h(x) = tg x devem ser compostas
para que se obtenha a func¸ ˜ao h(x) = 4 tg^ x
2 .
- Escavac¸ ˜oes arqueol´ogicas encontraram um antigo aparelho que, ao que tudo in- dica, era utilizado para tocar LP’s. As marcac¸ ˜oes de velocidade do aparelho eram 33^12 , 45 e 78 rotac¸ ˜oes por minuto. Em cada caso, qual ´e o per´ıodo do movimento?
- Calcular o per´ıodo das func¸ ˜oes
(a) tg 4x (b) sen(x^2 ) (c) tg(π 4 x). (d) cos(^23 x^2 ) (e) cossec(π 7
x) (f) cotg( 7 Bx) (onde B > 0).
- Esboce o gr´afico das seguintes func¸ ˜oes, identificando cuidadosamente as ampli- tudes e per´ıodos. N˜ao use calculadora gr´afica ou computador. (a) y = 3 sen x (b) y = 3 sen 2x (c) y = −3 sen 2θ. (d) y = 4 cos 2x (e) y = 4 cos(^14 t) (f) y = 5 − sen 2t
- Relacione as func¸ ˜oes abaixo com os gr´aficos da figura, explicando os por quˆes.
(a) y = 2 cos(t − π 2 ) (b) y = 2 cost (c) y = 2 cos(t + π 2 ).
- E dado que duas func´ ¸ ˜oes trigonom´etricas tˆem per´ıodo π e que seus gr´aficos cortam-se em x = 3 , 64, mas n˜ao ´e dado nada mais.
(a) Vocˆe sabe dizer se os gr´aficos dessas func¸ ˜oes se cortam em algum outro valor de x, positivo e menor? Se for o caso, qual ´e esse valor? (b) Encontre um valor de x, maior que 3,64, para o qual os gr´aficos se cortam. (c) Encontre um valor negativo de x para o qual os gr´aficos se cortam.
- (a) Usando uma calculadora gr´afica, ou um computador, encontre o per´ıodo de 2 sen 3t + 3 cost. (b) Qual ´e o per´ıodo de sen 3t? E de cost? (c) Use a resposta da parte (b) para justificar sua resposta da parte (a).
- (a) Usando uma calculadora gr´afica, ou um computador, encontre o per´ıodo de 2 sen 4x + 3 cos 2x. (b) Dˆe a resposta exata ao item anterior (como um m´ultiplo de π). (c) Determine o per´ıodo de sen 4x e de cos 2x e use esses valores para explicar sua resposta na parte (a).
- Se m e n s˜ao dois n´umeros naturais, obtenha o per´ıodo da func¸ ˜ao cos(mx) + sen(nx).
- Defina e trace o gr´afico das inversas das seguintes restric¸ ˜oes principais de fun- c¸ ˜oes trigonom´etricas (n˜ao dˆe resultados aproximados): (a) cos : [ 0 , π] → [− 1 , 1 ] (b) cotg :] 0 , π[→ R (c) sec : [ 0 , π 2 [∪]π 2 , π] → [ 1 , +∞[∪] − ∞, − 1 ] (d) cossec : [−π 2 , 0 [∪] 0 , π 2 ] →] − ∞, 1 ]∪] 1 , ∞[
- Calcule:
(a) arcsen 12 (b) arccos 12 (c) arctg 1 (d) arctg
(e) arcsen √^12 (f) arccos
√ 3 2 (g) arctg 0^ (h) arcsen 1 (i) arcsen 0 (j) arccos 1 (k) arccos 0 (l) arccotg(− 1 ) (m) arctg(− 1 ) (n) arccotg
3 (o) arcsen(−^12 ) (p) arccos √^12
- Prove que sen : [−π 2 , π 2 ] → R ´e estritamente crescente.
- Prove que tg x e estritamente crescente em´ ] − π 2 , π 2 [.
- Para simplificar a express˜ao cos(arcsen x), comec¸amos colocando θ = arcsen x, com as restric¸ ˜oes
π 2
6 θ 6
π 2
e − 1 6 x 6 1.
Como sen θ = x, pela definic¸ ˜ao de arcsen, podemos construir um triˆangulo re- tˆangulo e calcular o terceiro lado pelo Teorema de Pit´agoras:
Observe que cos(arcsen x) e cos´ θ. Desta forma, o desenho nos mostra que:
cos(arcsen x) =
1 − x^2
Usando uma id´eia semelhante a essa, simplifique e calcule: (a) cos(arcsen x) (b) sen(arccos x) (c) cos(arctg x) (d) cos(arcsec x) (e) tg(arccos x) (f) sen(arccos 1) (g) cos(arcsen 12 ) (h) tg(arccos 0)
M ´odulo 2 - Polin ˆomˆıos e Func¸ ˜oes Racionais
- Se f (x) = x^2 , g(x) = x^2 + x^4 e h(x) = x^2 + x^4 + x^6 e k(x) = 3 x^6 − 6 x^4 + 2 x^2 encontre n´umeros reais a, b e c tais que k = a f + bg + ch.
- Obtenha α ∈ R de modo que os polinˆomios f (x) = x^4 + 20 x^3 − 4 αx + 4 e g(x) = x^2 + 2 x + 2 verifiquem a condic¸ ˜ao f = g^2.
- Em cada caso, determine um polinˆomio do segundo grau f (x) de modo que:
(a) f ( 0 ) = 1, f ( 1 ) = 4 e f (− 1 ) = 0. (b) f ( 1 ) = 0 e f (x) = f (x − 1 ) para todo x
(a)
1 x −^
1 y x − y
(b) 24xy
x
y
(c)
x
y
(d)
x
y
(e)
1 x^2 −^
1 3 x x − 3
(f)
1 + t^2
2 + ( 1 + t) ( 1 + t^2 )^2
(g)
x + (^) x−^12 x − 1
(h)
x^2 + 4 x
(^2) + 1 x^2 − 2 (x^2 + 1 )^2
(i)
( 3 x^2 − (^) x^32 )^2 + 1 (j)
(x^3 − (^) x^13 )^2 + 1
(k) 1 +
x^2 −
4 x^2
(l)
x^2 +
x
x − 1
(m)
x^2
xy
(n) x − 1 +
2 x
- Em cada item efetue as divis˜oes de polinˆomios indicadas, conforme ilustra o exemplo a seguir: x^2 + 3 x + 1 2 x − 1
x 2
4 ( 2 x − 1 )
(a)
(x − 2 )^2 x
(b)
4 x^2 + 4 x + 1 x
(c)
5 + t 5 − t
(d)
x^2 1 − x^2
(e)
3 x − 2 2 x + 3
(f)
4 x + 1 3 x − 1
(g)
x^2 + 1 x^2 − 1
(h)
x^2 1 + x^2
(i)
−x^3 x + 3
(j)
x^3 − 3 x(x^2 − 9 )
(k)
x^3 − 3 x + 2 x + 3
(l)
x^5 + 1 x + 1
(m)
x^2 + 1 x + 1
(n)
x^3 − 1 x − 1
- Nos itens a seguir:
- Encontre todos os valores de x para os quais a func¸ ˜ao n˜ao est´a definida.
- Expresse a func¸ ˜ao f (x) na forma
p(x) q(x)
, onde p e q s˜ao polinˆomios. Ent˜ao fatore e simplifique onde for poss´ıvel.
- Determine para quais valores de x se tem f (x) = 0.
- Determine para quais valores de x se tem f (x) > 0, e para quais se tem f (x) < 0.
(a) x − 4 +
x
(b) 4x + 4 +
x
(c)
5 − t
− 1 (d)
1 − x^2
(e)
2 x + 3
(f)
3 ( 3 x − 1 )
(g) 1 +
x^2 − 1
(h)
1 + x^2
(i)
−x^3 x + 3
(j)
x^3 − 3 x(x^2 − 9 )
(k)
x + 3
− x^2 + 3 x − 9 (l)
9 x − 3 x^3 − 9 x
(m) x^2 − 3 x + 6 −
x + 3
- Dividindo o polinˆomio f (x) por x^2 − 3 x + 5 obtemos quociente x^2 + 1 e resto 3 x − 5. Determine f (x). (H´a v´arias possibilidades.)
- Determine os n´umeros a e b de modo que o polinˆomio f (x) = x^4 − 3 ax^3 + +( 2 a − b)x^2 + 2 bx + (a + 3 b) seja divis´ıvel por g(x) = x^2 − 3 x + 4.
- Determinar p e q de modo que x^4 + 1 seja divis´ıvel por x^2 + px + q.
- Se x^3 + px + q ´e divis´ıvel por x^2 + ax + b e por x^2 + rx + s prove que b = −r(a + r).
- Determinar a de modo que a divis˜ao de x^4 − 2 ax^3 + (a + 2 )x^2 + 3 a + 1 por x − 2 tenha resto 7.
- Determinar um polinˆomio do terceiro grau que se anula em x = 1 e que dividido por x + 1, x + 2 e x − 2 tenha resto 6.
- Qual deve ser o valor do coeficiente c para que os restos da divis˜ao de x^10 + ax^4 + bx^2 + cx + d por x + 12 e x − 12 sejam iguais?
(c) A intersecc¸ ˜ao do gr´afico com o eixo dos y e (0,6)?´ (d) Encontre uma func¸ ˜ao quadr´atica que satisfac¸a todas as trˆes condic¸ ˜oes an- teriores.
- Encontre um polinˆomio cujas ra´ızes sejam -2, -1, 1 e 4, todas com multiplicidade
- Em cada caso, encontre um polinˆomio com coeficientes inteiros cujas ra´ızes sejam:
(a)
2 + 1 e
(b)
2 e
(c)
5 e -
- Para cada um dos itens a seguir: encontre uma poss´ıvel f´ormula para o gr´afico; obtenha os intervalos aproximados onde a func¸ ˜ao ´e crescente e onde ´e decres- cente.
- Encontre os polinˆomios c´ubicos que representam o gr´afico de:
- Transladando o gr´afico de x^3 encontre o polinˆomio c´ubico com gr´afico seme- lhante ao da figura
- Encontre todas as ra´ızes racionais dos seguintes poinˆomios
(a) f (x) = x^3 − x^2 − x − 2 (b) f (x) = x^3 + 8
(c) f (x) = x^3 +
x^2 6
2 x 3
(d) f (x) = 3 x^4 − 7 x^2 + 2.
- Quais as poss´ıveis ra´ızes inteiras da equac¸ ˜ao x^3 + 4 x^2 + 2 x − 4 = 0?
- Resolva a equac¸ ˜ao x^3 − 2 x^2 − x + 2 = 0.
- O gr´afico de uma func¸ ˜ao racional ´e dado pela figra abaixo:
Se f (x) = g(x)/h(x) com g(x) e h(x) ambas func¸ ˜oes quadr´aticas, obtenha as f´ormulas para g(x) e h(x). (H´a v´arias possibilidades.)
- Determine uma condic¸ ˜ao necess´aria e suficiente para que f (x) =
a 0 + a 1 x + a 2 x^2 b 0 + b 1 x + b 2 x^2 seja uma func¸ ˜ao constante, onde a 0 , b 0 , a 1 , b 1 , a 2 , b 2 s˜ao n˜ao nulos.
- (a) Calcule as ass´ıntotas (verticais e horizontais) e esboc¸e o gr´afico de
f (x) =
2 x x − 2
- Construa o gr´afico de f (x) = x^3 + 2 x e, a partir dele, obtenha o n´umero de ra´ızes reais de f (x) = 0.
- Quantas s˜ao as ra´ızes da equac¸ ˜ao x^3 − 10 x^2 + 5 x − 1 = 0 no intervalo [ 0 , 3 [?
- Determine α de modo que f (x) = x^3 + x^2 + 5 x + α tenha pelo menos uma raiz no intervalo ] − 2 , 0 [.
- Dizemos que um n´umero ´e alg´ebrico se ele ´e a raiz de um polinˆomio com coe- ficientes inteiros. Prove que os seguintes n´umeros s˜ao alg´ebricos: (a)
2 (b)
3 (c)
2 (d)
2 (e)
- Mostre que o n´umero α = 3
3 ´e inteiro. (Dica: construa um polinˆomio tendo α como raiz, e mostre que todas suas ra´ızes s˜ao inteiras.)
- Desafio. Indicamos por Q[x] o conjunto dos polinˆomios de todos os graus na vari´avel x, com coeficientes racionais. Chamamos um subconjunto I ⊂ Q[x] de ideal se:
- para todos os p(x), q(x) ∈ I tem-se p(x) + q(x) ∈ I.
- para todos os f (x) ∈ Q[x] e p(x) ∈ I tem-se f (x)p(x) ∈ I
Prove que se I e um ideal de´ Q[x] existe um polinˆomio h(x) de modo que todo elemento de I pode ser obtido multipicando h(x) por algum polinˆomio de Q[x].
