Métodos de Prova
Leonardo Rocha
http://www.dcc.ufmg.br/~lcrocha
Transp. gentilmente cedidas pelo prof. Antonio Alfredo Loureiro
http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro
DCOMP/UFSJ MD ·Conceitos 1
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Provas Matemáticas sobre Propriedades de Inteiros, Resumos de Matemática Discreta
Este documento contém provas matemáticas sobre diferentes propriedades de números inteiros, incluindo a existência de números primos, divisibilidade, fatoração única e o teorema do quociente-resto. Além disso, são apresentadas as definições de quociente e resto de um inteiro dividido por outro.
Tipologia: Resumos
2019
1 / 40
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Métodos de Prova
Leonardo Rocha
[email protected] http://www.dcc.ufmg.br/~lcrocha
Transp. gentilmente cedidas pelo prof. Antonio Alfredo Loureiro [email protected] http://www.dcc.ufmg.br/~loureiro
Introdução
- Objetivo: ter precisão de pensamento e linguagem para obter a certeza ma- temática a respeito de um determinado problema.
- Métodos de prova:
- Prova direta
- Contra-exemplo
- Divisão em casos
- Prova por contradição
- Prova por contraposição
Prova direta: Definições
- Definição de primo e número composto:
- n é primo ⇔ ∀ inteiros positivos r e s, se n = r × s, n > 1 , então r = 1 ou s = 1.
- n é composto ⇔ ∃ inteiros positivos r e s tal que n = r × s, e r 6 = 1 e s 6 = 1.
- Questão: ∀ inteiro n, n ≥ 2 , n é um número primo ou um número composto? Sim. Uma definição é a negação da outra.
Provando proposições existenciais
- ∃ x ∈ D tal que Q(x) = V sse Q(x) é V para pelo menos um x em D.
- Possíveis métodos de prova: (a) Ache/apresente x em D que faz Q(x) verdadeiro. (b) Mostre como achar x que faz Q(x) verdadeiro. Ü Métodos de prova construtiva de existência.
- Exemplo: Prove: ∃ um inteiro par n que pode ser escrito de duas formas diferentes como a soma de dois números primos.
n = 10 = 5 + 5 = 7 + 3
Provando afirmações universais
- A maioria das afirmações em matemática são universais da forma:
A: ∀x ∈ D, se P (x) então Q(x).
- Qual é uma possível forma de provar A no caso de D ser finito ou existir um número finito de valores x que satisfazem P (x)?
- Método da exaustão.
- Método da exaustão: ∀n ∈ Z , se n é par e 4 ≤ n ≤ 30 , então n pode ser escrito como a soma de dois números primos. 4 = 2 + 2 6 = 3 + 3 8 = 3 + 5 10 = 5 + 5 12 = 5 + 7 14 = 11 + 3 16 = 5 + 11 18 = 7 + 11 20 = 7 + 13 22 = 5 + 17 24 = 5 + 19 26 = 7 + 19 28 = 11 + 17 30 = 11 + 19 Ü Este método é pouco prático porque em geral os domínios não são finitos ou são muito grandes.
Provando afirmações universais
- Método da generalização de um elemento específico genérico: Para mostrar que cada elemento de um domínio satisfaz uma certa propriedade, suponha que x é um elemento específico mas escolhido arbitrariamente de um domínio e mostre que x satisfaz a propriedade.
- Como mostrar que x satisfaz uma propriedade da forma
se P (x) então Q(x)?
- A única forma para a sentença P (x) → Q(x) ser falsa é P (x) ser V e Q(x) ser F.
- Para mostrar que P (x) → Q(x) é V suponha que P (x) é V e mostre que Q(x) também deve ser V.
- Para provar que ∀x ∈ D, P (x) → Q(x), deve-se supor que x é um ele- mento específico mas escolhido arbitrariamente do domínio D que satisfaz P (x), e deve-se provar que x satisfaz Q(x). Ü Prova direta.
Prova direta: Exemplo
- Teorema :
- Se a soma de dois números inteiros é par, então a sua diferença também é par. [Linguagem natural]
- ∀ inteiros m e n, se m + n é par então m − n é par. [Linguagem formal]
- Prova:
- Suponha m e n são inteiros [específicos mas escolhidos arbitrariamente] tal que m + n é par. Ü Deve-se mostrar que m − n é par.
- Pela definição de par, m + n = 2k para algum inteiro k.
- Subtraindo n dos dois lados, m pode ser expresso como: m = 2k − n
- A diferença entre m e n pode ser expressa como m − n = (2k − n) − n substituindo m pelo valor acima = 2 k − 2 n = 2(k − n)
- A expressão k − n é um número inteiro que multiplicado por 2 é um inteiro par. [O que devia ser mostrado.]
Regras para escrever provas de afirmações
universais
- Escreva o teorema a ser provado.
- Marque o início da prova com a palavra PROVA.
- Escreva a prova de tal forma que ela seja auto-contida.
- Identifique cada variável usada na prova juntamente com o seu tipo. Exemplos: Seja x um número real maior que 2. Suponha que m e n são inteiros. Ü Similar a declaração de variáveis e seus tipos numa linguagem de progra- mação.
- Escreva provas em linguagem natural usando sentenças completas.
Erros comuns
- Usando a questão a ser provada: Assumir como verdadeiro o que deve ser provado—variação de pular para uma conclusão. Exemplo:
- Suponha m e n são números ímpares.
- Se m · n é ímpar, então m · n = 2k + 1 para algum inteiro k.
- Também pela definição de ímpar, m = 2a + 1 e n = 2b + 1 para inteiros a e b.
- Então m · n = (2a + 1)(2b + 1) = 2k + 1, que é ímpar por definição.
- Uso incorreto do vocábulo SE.
- Exemplo: Suponha que p é um número primo. Se p é primo, então p não pode ser escrito como o produto de dois números menores que são inteiro.
- O vocábulo SE, nesta última sentença, coloca em dúvida se de fato p é primo ou não.
Prova por contra-exemplo
- Para negar uma afirmação da forma
∀x ∈ D, P (x) → Q(x) ache um valor de x em D para o qual P (x) é V e Q(x) é F. O elemento x é chamado de contra-exemplo.
- Exemplo: Negue a seguinte afirmação: ∀a, b ∈ R , (a^2 = b^2 ) → (a = b). Contra-exemplo: a = 1 e b = − 1.
Prova e contra-exemplo
- Seja p(n) = n^2 + n + 41.
- Conjectura: ∀n ∈ N , p(n) é primo. Evidência: n 0 1 2 3... 20... 39 p(n) 41 43 47 53... 461... 1601
- Isto não pode ser uma coincidência!
- A hipótese deve ser verdadeira! Ü Mas não é, p(40) = 1681, que não é primo!
- Em 1769, Euler (1707–1783) conjecturou que a^4 + b^4 + c^4 = d^4 não tinha solução no conjunto dos números inteiros positivos.
- Em 1987, ou 218 anos depois, Noam Elkies provou que 958004 + 217519^4 + 414560^4 = 422481^4.
Prova e contra-exemplo
- Hipótese:
313 · (x^3 + y^3 ) = z^3 não tem solução no conjunto dos números inteiros.
Ü Falso, mas o menor contra-exemplo tem mais de 1000 dígitos.
Definição de racional e irracional
- Um número real r é racional ⇔ ∃ inteiros a e b tal que r = a/b e b 6 = 0.
- Um número real que não é racional é irracional.
Definição de racional e irracional
- Exemplos: (a) 10 / 3 é racional? Sim. Quociente de inteiros. (b) 0. 281 é racional? Sim. Número na notação decimal que representa 281 / 1000. (c) Qualquer número representado numa calculadora tradicional é racional? Sim. O “display” da calculadora é finito e por essa razão todos os números representados são racionais. (d) 0. 121212... é racional? Sim. Seja x = 0. 121212... e 100 x = 12. 121212.. ..
100 x − x = 12. 121212... − 0. 121212... 99 x = 12 x = 12 / 99