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Tópicos de resoluçao da 2ª Frequência - Mecânica, 28 de maio de 2013
- Localize pelo método gráfico a solução da equação x + e^x - 2=0, num intervalo de amplitude um, e efetue 4 iterações do método da bissecção para aproximar a solução, indicando um majorante para o erro.
plot(exp(x),2-x,x=-2..2)
-2.0 -1.5 -1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 2.
1
2
3
4
5
6
7
x
y
A soluçao da equaçao pertence ao intervalo [0,1].
f(x):=x+exp(x)-2:
n:=4: a:=0: b:=1: for k from 1 to n do c:=(a+b)/2: va:=evalAt(f(x),x=a): vc:=evalAt(f(x),x=c): print(Unquoted,"c".k=float(c)): if vc= then k:=n+ elif va*vc< then b:=c else a:=c end end_for:
e:=(1-0)/2^4: // Erro do método print(Unquoted,"A soluçao é aproximadamente ".float(c)." com um erro de ".float(e)):
c1 = 0. c2 = 0. c3 = 0. c4 = 0. A soluçao é aproximadamente 0.4375 com um erro de 0.
- Considere a seguinte tabela de diferenças finitas descendentes de uma certa função f.
Preencha os valores em falta na tabela e determine o polinómio interpolador de f para os pontos dados. Calcule um valor aproximado de f(0.55).
xList:= [0.5,0.6,0.7]: dd:=[1.6,0.2,0.2]: n:=2: h:=0.1: P:=dd[n+1]/(n!h^n): for k from n-1 downto 0 do P:=dd[k+1]/(k!h^k)+ P*(x-xList[k+1]) end: print(Unquoted,"O polinómio interpolador é dado por P(x)=".simplify(P).".") ;
DIGITS:=4: valor:= evalAt(P,x=0.55): print(Unquoted, "Assim, o valor de f(0.55) é aproximadamente P(0.55)=".float(valor)."."):
O polinómio interpolador é dado por P(x)=10.0x^2 - 9.0x + 3.6. Assim, o valor de f(0.55) é aproximadamente P(0.55)=1.675.
- Determine um valor aproximado do integral int_0^{pi/2} e^{x/4}sin(x) dx pela regra dos trapézios, com 5 subintervalos. Mostre que max_{x em [0,pi/2]} |f''(x)| approx 1.4 e determine um majorante para o erro da aproximação.
delete x,y: f:=x->exp(x/4)*sin(x) : print(Unquoted,"f'(x) = ".f'(x)); print(Unquoted,"f''(x) = ".f''(x));
f'(x) = exp(x/4)cos(x) + (exp(x/4)sin(x))/ f''(x) = (exp(x/4)cos(x))/2 - (15exp(x/4)*sin(x))/
plot(abs(f''(x)),#y=1.4,x=0..PI/2,y=0..1.4)
0.0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 1.2 1.3 1.4 1.
x
y
Portanto, o máximo de |f''(x)| no intervalo de integraçao é aproximadamente 1.4 CQD.
n:=5: a:=0: b:=PI/2: h:=(b-a)/n: x:=a: s:=0: for i from 1 to n-1 do x:=x+h: s:=s+2f(x) end_for: IT:=h/2(f(a)+s+f(b)):
DIGITS:=5:
