Resolução de exercícios, Provas de Matemática

Baixe Resolução de exercícios e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity! 1. Programação Linear: 1.Considere o seguinte programa linear: inZ =x - 3x. - minZ =x,- 3x, - x, + 2x, sa: x - x, +x =3 -x 4X, +x, =3 5x, +x,- 2x, =16 X15 X33 X35 X gs X5 20 a) Verifique que as colunas associadas às variáveis X,»X> € x; constituem uma base do sistema de restrições e classifique a correspondente solução básica quanto à admissibilidade. b) Justifique que a solução encontrada em a) é a solução óptima. 2.Considere o seguinte problema, formulado em p.l. como: minZ =2x, - 3x, - 4x, sa. x, 45x, - 3x, <15 X+X +, <5 5x, - 6x, +4x, <10 XXX =0 a) Escreva-o na sua forma canónica e determine a solução básica admissível associada às variáveis de folga. b) Mostre que a solução encontrada em a) não é a óptima e indique justificando quais as variáveis básicas na próxima iteração. c) Escreva e resolva as equações que levam à obtenção de uma nova S.B.A. 3. Uma fábrica de tintas produz dois tipos de produto: 1 tinta para interiores e uma tinta para exteriores. Para isso recorre a dois tipos de matéria prima, A e B, das quais possuí, respectivamente, 6 e 9 toneladas, em stock, stock esse que não pode ser reforçado . Para produzir uma tonelada de tinta interior são necessárias 1 tonelada de A e 2 toneladas de B. No caso da tinta exterior, para produzir uma tonelada são necessárias 1 tonelada de A e duas toneladas de B. Um estudo de mercado indica que a procura de tinta interior não excede em mais de 1 tonelada a de tinta exterior. O preço de venda da tinta interior é de 30$00 por Kg e o da tinta exterior de 45$00 por Kg. a) Formule o problema. b) Encontre a sua solução óptima, recorrendo ao método do simplex. 4. Considere o seguinte problema de p.l. max Z =20x, +12x, sa.: x, =4 Determine a sua solução óptima recorrendo à forma matricial do simplex. 5. É possível produzir um determinado tipo de óleo misturando 2 outros tipos disponíveis: A e B. O óleo a obter tem de obedecer a vários requisitos: possuir um grau de viscosidade não superior a 60 e um teor de Enxofre que não exceda os 40%. Os óleos A e B têm as seguintes características e preços: Óleo A Óleo B Viscosidade 40 40 (º Baumé) Teor em Enxofre 30 52 Preço 30 20 (u.m1) Pretende-se determinar quais as quantidades de A e de B a misturar para produzir 1001 do novo óleo, por forma a minimizar os custos com a matéria prima. a) Formule o problema. minZ =2x, +3%, sa.:x,+2x, 21 X+x <2 XX, =0 a) Escreva e resolva o problema auxiliar conducente à obtenção de uma solução básica admissível. b) Determine o valor da função objectivo Z para a solução obtida em a) e verifique se é ou não possível melhorá-lo. 10. Uma fábrica de refrigerantes produz dois tipos de refrescos, A e B. De forma a optimizar o seu esquema de produção foi construído o seguinte modelo de programação linear: maxZ =1.5x, + 1x, s.a.20x + 40x, <40 45x, +30x, <60 xpx2 =0 Ia onde x, € x, representam as quantidades (em hectolitros) a produzir de cada um dos refrigerantes e 40 e 60 representam as disponibilidades das matérias primas destinadas à produção (em toneladas). Os preços de venda dos refrigerantes são 1.5 e 1 um., respectivamente. a) Resolva graficamente o problema indicado. b) Apresente o seu dual e calcule a respectiva solução óptima. c) Interprete, em termos económicos, o significado a atribuir aos resultados de a) e b) 11.Considere o seguinte problema, formulado em programação linear, como: maxZ =x, +X2 +x3 sa: x +x3 <l 2x, +x9 +x3 <8 x tx9- x3 <2 Xp,X2,X3 20 a) Verifique que as colunas associadas às variáveis X4.Y> e Y; constituem uma base do sistema das restrições, quando reduzido à sua forma canónica e encontre a correspondente solução básica. Justifique que não é óptima para o problema. b) Construa o quadro do simplex associado à solução básica encontrada em a) e prossiga com o método até encontrar a solução óptima. c) Indique o intervalo de variação para b; no qual a base se mantém admissível.?. d) Admita que o valor de c; é alterado para 4 (se resolveu o problema alternativo considere c;=45). Determine a solução óptima do problema modificado e) Admita que é introduzida uma nova restrição ao problema, a saber: x ú IA NR ou x, +, <30 para o caso do problema alternativo. 2 Caso não tenha resolvido a) considere o quadro: X1XX371)2)32121525/20015/2100x,121/3101/3-1/30x5215/6012/32/30y315-5/300-1/3-1/31 Que se sabe ser óptimo para o problema: max Z =30x, + 40x, +35x3 sa: 3x +4x, +2 x <90 2x, +X, +2x, <54 x, +3x, +2x; <93 Xp, X2,X3 20 Estude as consequências da introdução da referida restrição no plano óptimo determinado. 12.Considere um programa linear de máximo, onde todas as restrições são de tipo <. As variáveis de decisão foram designadas por x, e x, e as variáveis auxiliares por Y,-Y» e Ys. Após a aplicação do método do simplex chegou-se ao quadro óptimo: Xo XY y2 y3 Z 5 0 0 1/4 14 0 xi 3/2 1 0 -18 3/8 0 x2 2 0 1 1/2 -12 0 ys 4 0 0 1 -2 1 Formule matematicamente o problema em causa. 13.Considere a seguinte instância de um problema P, formulado em programação linear como: (P): minz=-x - 2x, +3x5 sa. -3x +2x3 =5 -X tax taxa £7 -X-X2+txg <-2 2% S0,x9,x3 20 a) Recorrendo à primeira fase do método das duas fases determine uma solução básica admissível e o seu valor para o problema P b) Classifique a solução encontrada em a) quanto à optimalidade. Caso a solução não seja ainda a óptima, escreva e resolva as equações conducentes à obtenção da próxima solução. 14.Considere o seguinte problema de programação linear: minZ =x,- 3x, +2x, sa: 2x, 43x, <7 5x, +3x, + 2x, <8 5x +2x, + x, 27 XX, X 20 a)Verifique que as colunas associadas às variáveis Y1,Y> € xy constituem uma base do sistema das restrições e classifique a correspondente solução básica quanto à admissibilidade. b)Construa o quadro do simplex respeitante à solução básica encontrada em a) e discuta a sua optimalidade. Caso a solução encontrada não seja ainda a óptima, continue com o método até à optimalidade. 18. Considere o problema em P.L.. (P) minz =x, +3x, Sa. X,- X, <2 x, <4 X+X 25 x, <6 Xp X =0 a) Represente graficamente o conjunto das soluções admissíveis de P. Identifique as soluções básicas admissíveis. b) Indique qual a solução óptima de P e identifique as restrições activas. Determine o valor associado às variáveis de folga de cada uma das restrições. c) Construa o dual de (P) e, recorrendo à complementaridade, determine a sua solução óptima. 19. Numa fábrica podem produzir-se 4 tipos de solventes diferentes. Tendo em vista a maximização dos lucros, pretende definir-se qual a quantidade de cada um dos produtos 10 x; (i=1,2,3,4) que se deve produzir mensalmente. Sabe-se que o lucro unitário associado a cada um dos produtos é de 300, 725, 200 e 450 u.m./KI, respectivamente. A quantidade a produzir de cada um destes produtos é limitada por restrições ao consumo de matéria prima, à disponibilidade de mão de obra e ao espaço de armazenagem destinado ao produto acabado. Na tabela seguinte apresentam-se as necessidades em cada uma das linhas de produção, bem como a disponibilidade mensal de cada um dos recursos mencionados: Produto 1 | Produto 2 Produto 3 | Produto 4 | Disponibilidade Matéria-Prima 1 3 1 2 60 (Kg/mês) Mão de obra 2 8 2 3 140 (horas —homem/mês) Espaço de| 3 5 6 3 100 armazenagem (mº/mês) Com base em todas estas informações foi possível formular o problema em termos de Programação Linear na seguinte forma: max Z =300x, + 725x2 + 200x3 + 450x4 sa. :xy +3x9 +x3 +2x4 <=60 2x4 +8x2 +2x3 +3x4 <140 3x +5x, + 6x3 +3xy <100 Xp X2,X3,X4 20 Aplicando o método do simplex ao problema obtém-se o seguinte quadro óptimo (; denota a variável de folga associada à restrição i): x1 x2 x3 x yí y2 ys3 1 Z 14350 0 0 242.5 0 142.5 3675 475 x4 8 0 0 -315 1 715 215 -1/5 x> 14 0 1 -310 0 -310 3/10 -1/10 x 2 1 0 3110 O -910 -110 7/10 a) Descreva a solução obtida, indicando o que se produz e em que quantidades. Refira também o consumo de recursos e indique se há, ou não, vantagem em aumentar a disponibilidade de algum dos recursos necessários à produção dos solventes. b) Considere que o lucro unitário do solvente 3 passa para 400 u.m. Averigúe se a solução óptima se mantém. c) Imagine, agora, que se estuda a hipótese de passar a produzir um quinto tipo de solvente. Este novo solvente seria vendido por 250 u.m/kl, sendo as suas necessidades em matéria prima, mão de obra e espaço de armazenagem de 2, 3 e 5, respectivamente. Deverá a empresa rever o seu esquema de produção de forma a passar a produzir este novo tipo de solvente? 20. Uma empresa de refrigerantes está a estudar a possibilidade de passar a produzir dois novos produtos, cujos preços de venda são 2 e 1 u.m./], respectivamente. Na produção destes novos produtos são utilizadas três matérias-primas distintas, a saber: A,Be C. Por litro de refrigerante 1 produzido são consumidas 3 unidades da matéria prima A e 1 da matéria prima B. Por sua vez, por litro de refrigerante 2 produzido são consumidos 1 unidade de matéria-prima A, 2 unidades de matéria-prima B e 1 unidade da matéria- prima C. A empresa tem assegurado um fornecimento de 70 unidades da matéria-prima A, 60 unidades da matéria-prima B e 25 unidades da matéria-prima C, e pretende planear a produção, maximizando o valor das vendas sem exceder as disponibilidades. a)Formule o problema em Programação Linear”. 3 Caso não responda à alinea a), considere, para resposta as questões b) e c) o seguinte programa linear: 12 Soluções- Exerc. P.L.: 1) a) x=3,x,=6e x, =I.ÉSBA. b) É óptima visto que os valores dos custos reduzidos das variáveis não básicas mostram que não é possível melhorar o valor actual da função objectivo. 2) a) » =15,y, =5e y; =I0.ÉSBA. b) Novas variáveis básicas: Y4, Y>, Xs c) Nova solução básica: y, =45/2, y, =5/2, x, =5/2, 3) a) Sejam: x, = "Quantidade de tinta para interiores a produzir (Kg)” x, = "Quantidade de tinta para exteriores a produzir (Kg) O problema enunciado pode ser formulado como: MaxZ =30x, + 45x, sa. x, +2x, =6 2x, +x, <9 X,- X, <1 XX, =0 b) x =(8/3,5/3); y" =(0,2,0); 2" =155 55. 4) x =01/3,5); y' =0/3,0,0); 2º =400/3. 5) a) Sejam: x, = — "Quantidade de óleo A no novo óleo (1) x, = *Quantidade de óleo B no novo óleo (1)” O problema enunciado pode ser formulado como: 15 MinZ =30x, + 20x, sa. 40x, + 40x, <60(x, + x,) 0.3x, +0,52x, <0.4(x, + x,) x1+x, =100 XX 20 b) x” =t0,100); y" =(2 000,10); 7" =3000. Logo o novo óleo será constituído por 100% de óleo A e 0% de óleo B. 6) a) Sejam: X = “Quantidade de papel fino a produzir (ton)* x, = "Quantidade de papel médio a produzir (ton) Xs = “Quantidade de papel pesado a produzir (ton)* O problema enunciado pode ser formulado como: MaxZ =5x, + 4x, + 6x, sa. x, +x,+2x, <30 5x, +2x, +2x, <40 XXX, 20 b) x =(0,10,10); =(0, 0); z' =100. 7) a) Sejam XxX = “Quantidade de matéria prima A a produzir (ton)' XxX, = *Quantidade de matéria prima B a produzir (ton)” O problema enunciado pode ser formulado como: MinZ =16x, + 24x, sa. x, =4 x, 210 2x, + x, <30 XX =0 16 A solução óptima obtida é x =(4,10); y” =(0, 0,12) e tem valor z"=304. A solução é única e estão activas as primeira e segunda restrições. O lucro gerado é 304 000$00. b) Problema Dual: MaxG =4w, +10w, +30w, s.a. w +2w, <16 w, + w, <24 Wi Wo, Wa =0 A solução óptima dual é w” =(16,24,0) e vº =(0,0) e tem valor G'=304 c) A resposta deverá ser negativa pois o recurso mão de obra não é esgotado com o plano actual. 8) a) A solução óptima obtida é x" =(35); y” =(0, 3,0)e tem valor z*=540. b) i) A solução permanece admissível e, como tal não é necessário reoptimizar. So o valor de y> e alterado passando a valer 2. ii) A nova solução óptima é x” =(0,6); y' =(12,6,0) com valor z*=360. 9) a) SB.A: x =(01/2); y =(0,3/2), b) Valor da solução: z =3/2. A solução é óptima. 10) a) 6e,x,)=4 (11/2)+ (1- 2) (4/30), com e 04. b) Problema Dual: 17 e) 19) a) b) e) 20) z4s|0| 0 5 0 o | 0 x l4[1/0o [12/4120 [0 x» |2/0[1 [14 [14 [0 | 0 y»jofolo [a2fiz|ailo ya 0 0 0 -1/4 -1/4 0 1 A solução básica encontrada é x =(7/5,0,0); y =(21/5,1,0) . Trata-se de uma S.B.A. A solução óptima é x* =(11,0); =(2,0,0) e tem valor z*= - 2. O conjunto das soluções admissíveis de P é o poliedro cujos pontos extremos são: A(0,5); B(0,6); C(4,6); D(4,2) e E(7/2,3/2). A solução óptima é x* =(7/2,3/2) e tem valor z*= 8. Estão activas as primeira e terceira restrições. Os valores associados às variáveis de folga são: Y, =Ys =0; y, =1/2; y, =9/2, Problema Dual: MaxG =2w, + 4w, + 5w, + 6w, sa. m tw, +w, <l -mtw tw <3 Wis Wo, Wi so w, =z0 A solução óptima dual é w” =(- 1,0,2,0) e v' =(0, 0) etem valor G"=8. Produzem-se os solventes 1, 2 e 4 nas quantidades de 2KI, 14 Kl e 8 KI, respectivamente. Consomem-se todos os recursos disponíveis, havendo vantagem em aumentar a sua disponibilidade, desde que esse aumento não traga custos superiores a 142.5 u.m., 367.5 u.m. e 47.5 u.m, por unidade de matéria prima, mão de obra e espaço de armazenagem disponibilizados. A solução permanece óptima. Não há vantagem em alterar o plano de produção, logo a solução permanece óptima. Sejam: 20 XxX = “Quantidade de refrigerante 1 a produzir ” XxX, = “Quantidade de refrigerante 2 a produzir ” O problema enunciado pode ser formulado como: MaxZ =2x, + xy s.a. 3x, +), <70 x, +2x, <60 x, <25 XX, =0 b) A solução óptima é x* =(16,22) e tem valor z*=54. Assim, produzem-se 16 1 de refrigerante 1 e 22 1 de refrigerante 2. As matérias primas A e B são consumidadas na totalidade, havendo um excesso de 3 unidades de matéria prima Cc. c) Problema Dual: MinG =70w, + 60w, + 25w, sa. 3w +w, =2 W Wo W,W, =0 +2w, +w, =1 A solução óptima dual é w” =(3/5,1/5,0) e v" =(0, 0) etemvalor G"=54. A matéria prima C não é consumida na totalidade, pelo que o seu preço sombra é zero. As matéria primas A e B são bens escassos, havendo vantagem em adquirir quantidades extra, desde que o custo de aquisição não ultrapasse 3/5 u.m. e 1/5 u.m., por unidade adquirida, respectivamente. 21) a) A solução básica encontrada é x =(30,0,0): y =(0,10) . Trata-se de uma S.B.A b) x1 |x2 x3 yi y2 Z150) 0 |23 | 7 5 0 x |30[1 | 5 2 1 0 21 2 10 | 0 -10 -8 1 1 c) Seb, E [30,4 , à base permanence admissível. d) A solução actual deixa de ser admissível. A nova solução óptima é »* =(20,0,5); y* (050,0) e tem valor 2*=115. 22) a) A solução óptima é x* =(0,2,6); Y, =0;y, =0; y; =6e tem valor z*=8. b) A solução óptima é X* =(059); Y, =0:Y, =3; Y; =0 e tem valor z*-14. 23) a) A solução é admissível, mas não básica admissível. b) Se existe uma solução não básica que é óptima, existem óptimos alternativos. 22