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Álgebra Linear
1.1 Noção e operações com matrizes
Ficha Suplementar
- Construa a matriz A ∈ M 3 × 3 (R) tal que:
(a) Aij =
0 , se i = j 1 , se i ̸= j
. (b)
1 , se i > j 0 , se i = j − 1 , se i < j
. (c)
1 se i + j é par − 1 se i + j é ímpar
- Em cada um dos itens a seguir, ache a matriz 4 × 4 A = [aij ] que satisfaz a condição dada:
(a) aij = j − i (b) (i − 1)j
(c) aij = (−1)i+j (d) sin
(i + j − 1)π 4
- Sejam A=
; B=
; C=
; D=
; E=
h 4 2
i ;
F =
; G=
e H=
Calcule a matriz indicada (se possível). (a) A + 2D; (b) 3 D − 2 A; (c) B − C; (d) B − Ct; (e) AB; (f) BD;
(g) D + BC; (h) BtB; (i) E(AF ); (j) F (DF ); (k) F E; (l) EF ;
(m) BtCt^ − (CB)t; (n) DA − AD; (o) A^3 ; (p) (I 2 − D)^2 ; (q) (2Gt^ − 3 Ht)t; (r) G^2 − GH.
- Justi que as a rmações: (a) Se A ∈ Mm×n(K) tem a linha i nula então, qualquer que seja B ∈ Mn×p(K), a matriz AB tem a linha i nula. (b) Se B ∈ Mn×p(K) tem a coluna k nula então, qualquer que seja A ∈ Mm×n(K), a matriz
1
AB tem a coluna k nula. (c) Se A ∈ Mm×n(K) tem as linhas i e j iguais, com i ̸= j , então, qualquer que seja B ∈ Mn×p(K), a matriz AB tem as linhas i e j iguais. (d) Se B ∈ Mn×p(K) tem as colunas k e l iguais, com k ̸= l , então, qualquer que seja A ∈ Mm×n(K), a matriz AB tem as colunas k e l iguais.
Indique, se existirem, as matrizes A, B ∈ M 2 × 2 (R) tais que: (a) A^2 = I 2 , com A ̸= I 2 e A ̸= −I 2. (b) A^2 = O, com A ̸= O. (c) AB = O, com A ̸= B e não tendo A e B elementos nulos.
Conhecendo-se somente os produtos AB e AC, como podemos calcular A(B+C), BtAt, CtAt, e (ABA)C?
Considere as matrizes A=
e B=
, determine as matrizes X e
Y, matrizes do tipo 2 × 3 tais que
2 X − Y = A − B
X + Y = B − A
- Sejam A=
e X=
x y z
Veri que que xA 1 + yA 2 + zA 3 = AX, em que Aj é a j-ésima coluna de A, para j = 1, 2 , 3.
Se A é uma matriz de ordem m × n e B é outra matriz tal que ambos produtos AB e BA estão de nidos, quais deverão ser as dimensões de B?
Mostre que se A e B são matrizes que comutam com a matriz M =
então AB = BA.
- Seja A=
. Encontre as matrizes 2 × 2 B e C tais que AB = AC mas B ̸= C.
- (a) Determine todas as matrizes A, 2 × 2 , diagonais (os elementos que estão fora da diagonal são iguais a zero) que comutam com toda matriz B, 2 × 2 , ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2 × 2.
(b) Determine todas as matrizes A, 2 × 2 , que comutam com toda matriz B, 2 × 2 , ou seja, tais que AB = BA, para toda matriz B, 2 × 2.
- Dada a função f (x) = x^2 − 2 x, calcule f (A), onde A=
- Dada a função f (x) = x^2 − 2 x, calcule f (A), onde A=
(c) Mostre que se A e B são simétricas, então AB é simétrica se, e somente se, AB = BA. (d) Mostre que se A e B são anti-simétricas, então A + B e αA são anti-simétricas, para todo escalar α. (e) Mostre que para toda matriz A, n × n, A + At^ é simétrica e A − At^ é anti-simétrica. (f ) Mostre que toda matriz quadrada A pode ser escrita como a soma de uma matriz simétrica e uma anti-simétrica. ( Sugestão: Observe o resultado da soma de A + At^ com A − At.)
- Determine x e y tais que
(a)
2 x + y 2 x − y
(b)
x^2 y x y^2
- Dadas as matrizes A=
1 x 3 4
e B=
x y − z 3 z
. Deremine x, y e z de modo que A = B.
- Determine a, b e c para que
a 3 2 a c 0 − 2
b − 3 − 1 1 4 3
- Ache x, y , z e w se
x y z w
- Em cada um dos itens a seguir, ache X, dadas A=
e B=
(a) X − 2 A + 3B = O (b) 2 X = A − B
(c) 2(A + 2B) = 3X (d) 2(A − B + X) = 3(X − A)
- Determine os valores de a e b, para que as matrizes A e B sejam simétricas:
A=
2 4 2 a − b a + b 3 0 − 1 0 5
e B=
b 1 b 1 1 b 1 1 1 1 b b
- Encontre os valores de t, w , x, z , a e b, para que as matrizes C e D sejam anti-simétricas:
C=
a 2 0 −t x b w 0 z −z 0 0 1 0 0 0
e D=
2 x a + b a − 2 b − 6 t^2 2 w 5 8 z − 1
- Sejam A e B matrizes simétricas, justi que se os enunciados a seguir são falsos ou verdadeiros:
- A + B é uma matriz simétrica.
- AB é uma matriz simétrica. Nota. Se sua resposta for verdade, prove. Se for falsa, apresente um contraexemplo.
