A Combinatória é o ramo da matemática que estuda a contagem, arranjo e seleção de objetos. É fundamental para resolver problemas que envolvem a determinação do número de maneiras de organizar ou escolher elementos de um conjunto.

1. Princípios Fundamentais de Contagem

Princípio Fundamental da Contagem (Princípio Multiplicativo)

Se um evento pode ocorrer de m maneiras diferentes e, para cada uma dessas maneiras, um segundo evento pode ocorrer de n maneiras diferentes, então os dois eventos podem ocorrer conjuntamente de m × n maneiras diferentes.

Exemplo: Para formar um código de 3 algarismos onde o primeiro pode ser qualquer algarismo de 1 a 9 e os outros dois podem ser qualquer algarismo de 0 a 9:

1º algarismo: 9 possibilidades

2º algarismo: 10 possibilidades

3º algarismo: 10 possibilidades

Total: 9 × 10 × 10 = 900 códigos

Princípio Aditivo

Se dois eventos são mutuamente exclusivos, o número total de maneiras de um ou outro evento ocorrer é a soma das maneiras de cada evento ocorrer separadamente.

ou : adição

e: multiplicação

2. Fatorial

O fatorial de um número natural n (representado por n!) é o produto de todos os números naturais de 1 até n.

Definição:

n! = n × (n-1) × (n-2) × ... × 2 × 1

0! = 1 (por convenção)

Exemplos:

3! = 3 × 2 × 1 = 6

5! = 5 × 4 × 3 × 2 × 1 = 120

3. Arranjos

Um arranjo é uma seleção ordenada de elementos de um conjunto.

Arranjos Simples

Número de arranjos de n elementos tomados p a p: A(n,p) = n!/(n-p)!

Características: A ordem importa; Não há repetição de elementos; p ≤ n

Exemplo: Quantas maneiras há de escolher 3 pessoas de um grupo de 8 para ocupar os cargos de presidente, vice- presidente e secretário? A(8,3) = 8!/(8-3)! = 8!/5! = 8 × 7 × 6 = 336

Arranjos com Repetição

Quando é permitida a repetição de elementos: AR(n,p) = n^p

Exemplo: Quantos números de 4 algarismos podem ser formados usando os algarismos 1, 2, 3? AR(3,4) = 3^4 = 81

4. Permutações

Uma permutação é um arranjo de todos os elementos de um conjunto (caso especial de arranjo onde p = n). õ i l

p ç j j p j p Permutações Simples

Número de permutações de n elementos: P(n) = n!

Exemplo: De quantas maneiras 5 pessoas podem se sentar em uma fila? P(5) = 5! = 120

Permutações com Repetição

Quando há elementos repetidos: P(n; n₁, n₂, ..., nₖ) = n!/(n₁! × n₂! × ... × nₖ!)

onde n₁, n₂, ..., nₖ são as quantidades de cada tipo de elemento repetido.

Exemplo: Quantos anagramas tem a palavra "BANANA"?

6 letras total: 1 B, 3 A, 2 N

P(6; 1, 3, 2) = 6!/(1! × 3! × 2!) = 720/(1 × 6 × 2) = 60

5. Combinações

Uma combinação é uma seleção de elementos onde a ordem não importa.

Combinações Simples

Número de combinações de n elementos tomados p a p: C(n,p) = n!/(p! × (n-p)!)

Também representado como (n p) ou "n escolhe p".

Características: A ordem não importa; Não há repetição de elementos; p ≤ n

Exemplo: De quantas maneiras podemos escolher 3 pessoas de um grupo de 8? C(8,3) = 8!/(3! × 5!) = (8 × 7 × 6)/(3 × 2 × 1) = 56

Propriedades das Combinações

C(n,p) = C(n,n-p)

C(n,0) = C(n,n) = 1

C(n,1) = C(n,n-1) = n