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C´alculo 1^1
Continuidade 26 de agosto de 2019
0.1 Fun¸c˜oes cont´ınuas
Defini¸c˜ao 0.1.1. Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em um n´umero a se
xlim→a f^ (x) =^ f^ (a) Na defini¸c˜ao acima implicitamente requer trˆes coisas para a continuidade de f em a:
- f (a) est´a definida (isto ´e, a est´a no dom´ınio de f );
- lim x→ 0 f (x) existe;
- lim x→a f (x) = f (a)
Defini¸c˜ao 0.1.2. Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua `a direita em um n´umero a se
xlim→a+^ f^ (x) =^ f^ (a)
e f ´e cont´ınua `a esquerda de a se
xlim→a−^ f^ (x) =^ f^ (a)
Exemplo 0.1.1. Encontre os pontos nos quais f ´e descont´ınua. Em qual desses pontos f ´e cont´ınua a direita,a esquerda ou nenhum deles? Esboce o gr´afico de f. A descontinuidade ´e remov´ıvel?
a) f (x) = x^2 x−−x 2 −^2
b) f (x) =
x^2 x−−x 2 − 2 se x 6 = 2 1 se x = 1
c) f (x) =
x^12 se x^6 = 0 1 se x = 0
d) f (x) =
x 24 sin( (^2) x ) se x 6 = 0 1 se x = 0
Defini¸c˜ao 0.1.3. Uma fun¸c˜ao f ´e cont´ınua em um intervalo se for cont´ınua em todos os n´umeros do intervalo.(Se f ´e definida somente de um lado da extremidade do intervalo, entendemos continuidade como continuidade a direita oua esquerda.) Exemplo 0.1.2. Mostre que a fun¸c˜ao f (x) = 1 − √ 1 − x^2 ´e cont´ınua no intervalo [− 1 , 1].
Teorema 0.1.1. Se f e g forem cont´ınuas em a e se c ´e uma constante, ent˜ao as seguintes fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas em a:
- f + g 2. f − g 3. cf 4. f g 5.fg se g(a) 6 = 0
Teorema 0.1.2.
(a) Qualquer polinˆomio ´e cont´ınuo em toda a parte, ou seja, ´e cont´ınuo em R = (−∞, ∞).
(b) Qualquer fun¸c˜ao racional ´e cont´ınua em todo o seu dom´ınio.
Exemplo 0.1.3. Encontre (^) xlim→− 2 x
(^3) + 2x (^2) − 1 5 − 3 x.
Teorema 0.1.3. Os seguintes tipos de fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas em todo o seu dom´ınio: Po- linˆomios, fun¸c˜oes racionais, fun¸c˜oes ra´ızes, fun¸c˜oes trigonom´etricas, fun¸c˜oes trigonom´etricas inversas, fun¸c˜oes exponenciais, fun¸c˜oes logar´ıtmicas.
Exemplo 0.1.7. Encontre os valores de m e n de modo que f (x) =
cos(πx)) se x < 1 mx^2 + 3x + n se 1 ≤ x < 2 mx + n sex ≥ 2
Exemplo 0.1.8. Analise a continuidade da fun¸c˜ao f (x) = √x (^2) + 4 −√x^2 +7 e verifique se as desconti- nuidades s˜ao remov´ıveis.
Exemplo 0.1.9. Calcule: a) lim x→ 1 arcsin
( 1 − √x 1 − x
b) lim x→ 0 cos
[π tan(3x) x
]
Teorema 0.1.4. Se g for cont´ınua em a e f for cont´ınua em g(a), ent˜ao a fun¸c˜ao composta f ◦ g ´e cont´ınua em a.
Exemplo 0.1.10. Onde as seguintes fun¸c˜oes s˜ao cont´ınuas? (a) h(x) = sin(x^2 ) (b) F (x) = ln(1 + cos(x))
Teorema 0.1.5. (Teorema do Valor Intermedi´ario) Suponha que f seja cont´ınua em um intervalo fechado [a, b] e seja N um n´umero qualquer entre f (a) e f (b), em que f (a) 6 = f (b). Ent˜ao existe um n´umero c em (a, b) tal que f (c) = N
Exemplo 0.1.11. Mostre que existe uma ra´ız da equa¸c˜ao
4 x^3 − 6 x^2 + 3x − 2 = 0 entre 1 e 2.
