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Resumo sobre Polinômios
Definição: Lembrando que estamos estudando funções reais de variáveis reais, um polinômio ou função polinomial é uma função do tipo: P(x) = anxn^ + a (^) n-1xn-1^ + ... a1xn^ + a (^) o, onde x é a variável; cada parcela é denominada monômio; a (^) n, an-1 , ..., a1, a (^) o são números reais chamados coeficientes; e n é um número natural que define o grau do polinômio. Das funções já vistas, pode-se considerar as funções afim polinômios (na verdade, binômios de primeiro grau) e as funções quadráticas, polinômios de segundo grau. Ex.1: y = 5x^3 – 2x^4 + 3x – 6 é um polinômio de grau 4 (Gr(y) = 4) com a 4 = -2, a 3 = 5, a 2 = 0, a 1 = 3, a 0 = -6.
- Valor de um polinômio: Assim como para as outras funções, o valor de um polinômio é o resultado obtido quando a variável é substituída por algum valor. Ex.2: Se desejarmos saber o valor do polinômio do exemplo 1 em x = 2, substituímos x por 2 e calculamos: y = 5(2)^3 – 2(2) 4 + 3(2) – 6 = 5(8) – 2(16) + 3(2) – 6 = 40 – 32 + 6 – 6 = 8. Logo, y(2) = 8.
- Raiz de um polinômio: Se substituímos a variável por um número e o valor do polinômio é nulo, dizemos que o referido número é raiz do polinômio. Ex.3: Se calcularmos o valor do polinômio dado no ex. 1 em x = 1: y(1) = 5(1)^3 – 2(1) 4 + 3(1) – 6 = 5 – 2 + 3 – 6 = 0. Logo, x = 1 é raiz do polinômio.
- Operações com polinômios: Dados 2 ou mais polinômios, podemos fazer operações básicas com eles. 4.1) Soma ou subtração: Soma-se ou subtrai-se os termos semelhantes, ou seja, os monômios de mesmo grau. Coloca-se a parte literal em evidência e faz-se a operação (soma ou subtração) com os coeficientes. Ex.4: Dados P(x) = 5x^3 – 2x 4 + 3x – 6 e Q(x) = 3x 5 – x 3 + 2x 2 – 1, a soma dos polinômios será um polinômio de grau 5: O coeficiente do monômio de grau 5 será 3 pois apenas Q(x) possui um monômio deste grau; o coeficiente do monômio de grau 4 será -2, pois apenas P(x) tem um termo deste grau; o coeficiente do monômio de grau 3 será 4 (5 - 1 = 4); o monômio de grau 2 terá coeficiente 2; o monômio de grau 1 terá coeficiente 3; e o termo independente será -7. Logo: P(x) + Q(X) = 3x^5 – 2x^4 + 4x 3 + 2x^2 + 3x – 7. 4.2) Multiplicação: Dados dois polinômios, multiplica-se cada termo de um polinômio por todos os monômios do outro. Após, somam-se os monômios de mesmo grau.
Ex.5: Dados P(x) = 2x^3 – x 2 + 3x – 3 e Q(x) = 2x^2 + 4x – 1, P(x).Q(x) = 2x 3 (2x 2 + 4x – 1) – x 2 (2x 2 + 4x – 1) + 3x(2x^2 + 4x – 1) – 3(2x 2 + 4x – 1) = (4x^5 + 8x 4 - 2x^3 ) – (2x^4 + 4x^3 – x^2 ) + (6x 3 + 12x^2 - 3x)
- (6x 2 + 12x - 3) = 4x^5 + (8 – 2)x 4 + (- 2 - 4 + 6)x^3 + (1 + 12 – 6)x 2 + (-3 -12)x + 3. Logo: P(x).Q(x) = 4x^5 + 6x 4 + 7x 2 – 15x + 3. 4.3) Divisão: A divisão de um polinômio P(x), chamado dividendo, por um polinômio de grau menor D(x), chamado divisor, resultando num polinômio Q(x), o quociente, e, eventualmente, um resto R(x) assemelha-se à divisão entre números. Inicialmente, dividem-se os monômios de maior grau; o resultado é multiplicado por D(x) e subtraído de P(x); prossegue-se até obter R(x) com grau menor que D(x) ou, caso a divisão seja exata, zero. Ex.6: Dados P(x) = 2x^3 – x 2 + 3x – 4 e D(x) = 2x^2 + x – 1, para calcular P(x)/D(x) monta-se como se fosse uma divisão numérica: 2x^3 – x 2 + 3x – 4 |2x^2 + x – 1 ; dividindo 2x 3 por 2x 2 obtém-se x que é o primeiro termo de Q(x); multiplicando x por D(x) obtém-se 2x^3 + x 2 – x que é subtraído de P(x): 2x^3 – x^2 + 3x – 4 |2x 2 + x – 1 -(2x 3 + x^2 – x) x - 1 -2x 2 + 4x – 4 A seguir divide-se -2x^2 por 2x 2 e se obtém -1(o 2º termo -(-2x 2 – x + 1) de Q(x)); repetindo-se o procedimento anterior chega-se a 5x – 5 R(x) = 5x – 5 que tem grau menor do que D(x). 4.4) Briot-Ruffini: Quando D(x) é um binômio do tipo x – r (onde r F 0C E ℝ), a divisão pode ser feita seguindo o algoritmo: a) Ordenam-se os coeficientes de P(x) na ordem decrescente do grau; b) separa-se r dos coeficientes por uma barra vertical; c) Inicia-se a segunda linha repetindo, abaixo do mesmo, o primeiro coeficiente; d) multiplica-se este coeficiente por r; e) soma-se o resultado com o segundo coeficiente; f) o novo resultado é colocado sob o segundo coeficiente; g) repetem-se os passos d, e, f até obter um número sob o último coeficiente (o resto da divisão). h) Os outros números da segunda linha são, na ordem decrescente do grau, os coeficientes de Q(x); sendo que Q(x) terá o grau uma unidade menor do que D(x) Obs.: Se o resto é nulo, r é raiz do polinômio. Ex.7: Seja P(x) = 5x^3 – 2x^4 + 3x – 6. Se dividirmos por x – 1 usando o algoritmo, teremos: a 4 = -2, a 3 = 5, a 2 = 0, a 1 = 3, a 0 = -6; r = 1
É fácil de calcular os valores: P(0) = -6 e P(1) = 2. Como têm sinais opostos, há pelo menos uma raiz real entre x = 0 e x = 1. Calcula-se, então, P(0,5) = - 5,9375. Como o valor é negativo, a raiz está entre 0,5 e 1. Calculando em x = 0,8: P(0,8) = -3,8432. Como P(0,8) < 0, a raiz está entre 0,8 e 1 (pois P(1) > 0). Calculando em x = 0,9: P(0,9) < 0. Então a raiz está entre 0,9 e 1. P(0,96) > 0. Agora a troca de sinal ocorre entre 0,9 e 0,96. Tomando x = 0,94: P(0,94) < 0. Escolhe-se, então, um valor entre 0,94 e 0,96. P(0,95) < 0. Há uma raiz, ao menos, entre 0,95 e 0,96. Como P(0,954) > 0, a raiz está entre 0,95 e 0,954. Portanto, podemos afirmar que x F 04 0 0,95 é raiz.
- Crescimento e decrescimento: Vimos que para uma função afim do tipo y = ax + b, a função era crescente se a > 0; e, para uma função quadrática, o comportamento da função mudava no vértice. Para os polinômios, em geral, não é assim tão simples. Às vezes o comportamento de um polinômio pode variar bastante num intervalo relativamente pequeno. Dado um polinômio podemos escolher x 1 e x 2 e determinar os valores do polinômio P(x (^) 1) e P(x2). O quociente P(x2) – P(x (^) 1) / (x 2 – x1), chamado taxa de variação média indica se o valor do polinômio aumentou ou diminuiu de x 1 para x (^) 2. No entanto, o comportamento pode não ser uniforme no intervalo. Considere, por exemplo, o polinômio do exemplo 9: P(0) = -2 e P(1) = 0. Portanto, de x = 0 até x = 1 o valor do polinômio aumentou. Calcule, agora, seu valor em x = 0,6: P(0,6) = -2,912. Seu valor, então, diminuiu antes de aumentar. Mas em x = 1/3 temos P(1/3) = 0. Então, o valor da função aumentou, diminui e depois aumentou de novo. Como fazer para determinar se na vizinhança imediata de determinado ponto a função aumenta ou diminui? A ideia é considerar pontos cada vez mais próximos daquele desejado. Indica-se essa operação matemática, denominada derivada, como: dP = lim P(x + ∆x) – P(x). dx ∆x→ 0 ∆x Graficamente, a derivada corresponde à inclinação da reta tangente à curva que representa o polinômio no ponto. Na figura a seguir, a taxa de variação média indica a inclinação da reta que liga os pontos P e Q. À media que os pontos ficam mais próximos, a inclinação tende à da tangente em P.
Se a derivada da função é positiva no ponto, a função é crescente na vizinhança imediata; se é negativa, a função é decrescente. Se a derivada é nula, o ponto pode ser como o vértice de uma parábola (um ponto de máximo ou mínimo local) ou um ponto de inflexão.
Para um monômio do tipo a.xn^ a derivada é uma função calculada como: n.a.x n-1^ e, para calcular a derivada de um polinômio, calcula-se a soma das derivadas de todos os monômios. A derivada de um polinômio de grau n será, portanto, um polinômio com grau n – 1. Se derivarmos novamente o polinômio (segunda derivada) teremos um polinômio com grau n – 2... Nos casos em que a primeira derivada é nula num ponto, verifica-se o sinal da segunda derivada no mesmo ponto para determinar que tipo de ponto temos: se o sinal da segunda derivada é positivo, ponto é de mínimo local; se é negativo, é um máximo local; se é nulo, então é um ponto de inflexão. Ex.11: P(x) = x^5 – 4x^4 + x 3 + 10x 2 – 4x – 8. Primeiramente, determinamos as raízes: 1 -4 1 10 -4 -8 | 2 1 -2 -3 4 4 0 Dividindo por x – 2 novamente: 1 -2 -3 4 4 | 2 1 0 -3 -2 0 E mais uma vez: 1 0 -3 -2 | 2 1 2 1 0 Portanto, x = 2 é uma raiz com multiplicidade 3: P(x) = (x – 2)^3 (x 2 + 2x + 1) = (x - 2)^3 (x + 1) 2 E x = -1 é uma raiz com multiplicidade 2. Quando x é muito grande ou muito pequeno, o comportamento é dominado pelo monômio de maior grau. Então, quando x é muito grande (x → F 0A 5 ), o valor do polinômio também é (P → F 0A 5 ); e, quando x é muito pequeno (x → - F 0A 5 ), o mesmo acontece com o valor do polinômio (P → - F 0A 5 ). Calculamos, então, a primeira derivada do polinômio: P’(x) = 5x^4 – 16x^3 + 3x 2 + 20x – 4. Testando, vemos que x = 2 também é raiz: 5 -16 3 20 -4 | 2 5 -6 -9 2 0 Testando de novo: 5 -6 -9 2 | 2 5 4 -1 0 As outras raízes são as raízes da função quadrática 5x^2 + 4x -1, ou seja, -1 e 0,2. Ou seja: P’(x) = 5 (x + 1)(x – 0,2) (x – 2)^2 Como 5x^4 → F 0A 5 quando x → - F 0A 5 , sabemos que no intervalo ]-F 0A 5 , -1[ a primeira derivada é positiva, ou seja, a função é crescente. O que acontece em x = -1? Para saber, calculamos a segunda derivada: P”(x) = 20x 3 – 48x 2 + 6x + 20. Vê- se que a segunda derivada é negativa em -1: P”(-1) = -54. Então, x = -1 é um máximo local onde a função para de crescer e começa a decrescer. Até quando ela decresce?
