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CAMPOS VETORIAIS
Dada uma região D do espaço, podemos associar a cada ponto de D uma grandeza escalar (temperatura, pressão, densidade, distância, ...) ou uma grandeza vetorial ( força velocidade, aceleração posição, deslocamento, ...). Dizemos, então, que está definido sobre D um campo escalar ou um campo vetorial, respectivamente. Geralmente identificamos um campo escalar ou vetorial com a função escalar ou vetorial que o define.
Definição: Seja f uma função escalar definida em um a região D do espaço-2D ou espaço-3D. A região D juntamente com as grandezas escalares, imagem de cada ponto de D pela f, é chamada um campo escalar. Dizemos também, que f define um campo escalar sobre D.
Exemplos:
- Se D é um sólido no espaço e d é a densidade em cada ponto (x, y, z) de D , d define um campo escalar em D.
- Uma piscina P na forma de um paralelepípedo com base quadrangular de lado medindo 3m e de altura medindo 1.8m esta cheia. Cada partícula da água em P está sujeita a uma pressão que é proporcional à distância desta partícula até a superfície da água. Desta forma, definimos uma função escalar p da água de P em IR obtendo, conseqüentemente, um campo escalar. Como exercício, usando coordenadas cartesianas escreva a função p e caracterize seu domínio.
- D é uma chapa metálica na forma de círculo com raio r cuja temperatura em cada um de seus pontos é inversamente proporcional à uma unidade somada com sua distância até o centro do círculo. Isto define uma função escalar T (que associa a cada ponto da chapa a sua temperatura) e um campo escalar. Escreva a função T e o seu domínio.
Definição: Seja F uma função vetorial definida de uma região D do espaço-2D ou espaço-3D no próprio espaço. A região D juntamente com as grandezas vetoriais, imagem de cada ponto de D pela F , é chamada um campo vetorial. Dizemos também, que F define um campo vetorial sobre D.
Exemplos:
- Consideremos a função vetorial V que associa a cada ponto da atmosfera terrestre D a velocidade do vento neste ponto. V define um campo vetorial em D, chamado campo de velocidade.
- Consideremos D como o espaço ocupado pela água em um riacho. A função que associa a velocidade de cada partícula de D em certo instante, também define um campo de velocidade em D.
- A partir da Lei da Gravitação universal de Newton a terra exerce uma força de atração para o seu centro sobre qualquer corpo em sua atmosfera. A função que associa essa força a cada ponto da atmosfera D define um campo vetorial em D
chamado campo de força. No caso, esse campo de força é o famoso campo gravitacional da terra.
Representação gráfica de campos vetoriais.
A função vetorial dada por F (x, y) = ( M(x,y), N(x, y) ) define um campo vetorial no espaço-2D. Para representá-lo, introduzimos um sistema de coordenadas no plano XOY e selecionamos alguns pontos (x, y) do plano e desenhamos os vetores a eles associados preferencialmente com a origem do vetor no próprio ponto. É conveniente lembrar que os vetores de um campo vetorial são infinitos e que não podemos representar todos. Assim, a seleção dos pontos deve ser tal que nos dê informações sobre o comportamento do campo em geral.
Exemplo: Consideremos o campo vetorial F dado por F (x, y) = (-y, x) e selecionado alguns pontos temos
(x, y) (1, 1) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 3) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1)
F (x, y) (-1, 1) (-1, -1) (1, -1) (1, 1) (-3, 1) (-1, -3) (3, -1) (1, 3)
Os vetores deste campo vetorial representam um campo de velocidade de uma roda em movimento.
Sendo r (x, y) = (x, y) a função vetorial que nos dá o vetor posição do ponto (x, y) do espaço-2D, temos r (x, y) e F (x, y) são ortogonais em cada ponto (x, y), pois (x, y). (-y, x) = x (-y) + y x = 0.
que está definido por uma função vetorial constante e cuja representação está esboçada ao lado.
Definição: Um campo vetorial F é conservativo numa região D do espaço-2D ou do espaço-3D se F = f para alguma função escalar f definida em D_._ Nesse caso, a função f é chamada função potencial de F na região D e a imagem de um ponto de D pela f é o potencial neste ponto.
Exemplo: O campo vetorial dado por F (x, y, z) = ( 4x + 5yz, 5xz, 5xy ) é um campo conservativo pois a função escalar f (x, y, z ) = 2x 2 + +5xyz é tal que
f (x, y, z ) = ( 4x + 5yz, 5xz, 5xy ) = F (x, y, z).
Como verificar se um campo vetorial é conservativo?
Por enquanto para saber se um campo vetorial dado é conservativo temos que verificar se ele possui função potencial. Dado campo vetorial F (x, y, z) = ( 10xz + y sen(xy), x sen(xy), 5x 2 ), F será conservativo se encontrarmos uma função escalar f tal que
F (x, y, z) = f (x, y, z) = ( fx (x, y, z),^ fy (x, y, z),^ fz (x, y, z) )
Assim, f (^) x (x, y, z) = 10xz + y sen(xy) (1) fy (x, y, z) = x sen(xy) (2) f z (x, y, z) = 5x^2 (3) Daí, f (x, y, z) = f (^) x (x, y, z) dx = [10xz + y sen(xy)] dx = 5x 2 z – cos(xy) + C1, onde C 1 é uma constante em relação a^ x.^ Porém, C^1 pode depender de y ou z; isto é C 1 = g ( y, z ) e f (x, y, z) = 5x 2 z – cos(xy) + g (y, z) (4)
Derivando (4) em relação a y e comparando com (2) temos:
x sen(xy) + g (^) y (y, z) = fy (x, y, z = x sen(xy) g (^) y (y, z) = 0 Daí, g (y, z) = gy (y, z) dy = 0 dy = C (^) 2, onde C 2 é constante em relação a x e a y. Porém,
C 2 pode depender de z. Ou seja, C 2 =^ h^ (z) e^ g^ (y, z) =^ h^ (z) que substituindo em (4) vem f (x, y, z) = 5x 2 z – cos(xy) + h (z) (5)
Derivando (5) em relação a z e comparando com (3) temos:
5x 2 + h (^) z (z) = fz (x, y, z) = 5x 2 hz (z) = 0 h (^) z (z) = h (^) z (z) dz = 0 dz = C
Substituindo em (5) obtemos a função potencial f (x, y, z) = 5x 2 z – cos(xy) + C para^ F. Logo, F é um campo conservativo.
Afirmação: “ Todo campo vetorial quadrado inverso é conservativo.”
Como exercício, mostre a afirmação acima, considerando F um campo vetorial quadrado inverso no espaço-2D.
DIVERGÊNCIA E ROTACIONAL
O operador diferencial vetorial no espaço-3D é
Aplicando o operador sobre uma função escalar f (de três variáveis) obtemos o campo gradiente de f
Aplicando o operador sobre uma função vetorial F podemos obter o rotacional de F ou a divergência de F.
Definição: Seja a função vetorial F (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k , onde M, N e P são funções escalares com derivadas parciais em alguma região D. A divergência de F, denotada por div F ou. F é a função escalar definida por
div F =. F =
Exemplo : Se F (x, y, z) = (x 2 z, y 2 x, y +2z), então
div F (x, y, z) =. F (x, y, z) = (x 2 z) + ( y 2 x) + ( y +2z) = 2xz + 2yx + 2
Definição:
Seja a função vetorial F (x, y, z) = M (x, y, z) i + N (x, y, z) j + P (x, y, z) k , onde M, N e P são funções escalares com derivadas parciais em alguma região D. O rotacional de F, denotado por rot F ou x F é a função vetorial definida por
rot F = x F = i + j + k.
Podemos escrever a expressão do rotacional de F na forma de um determinante,
rot F = x F =
Exemplo: Se F (x, y, z) = (x 2 z, y 2 x, y +2z), então
rot F (x, y, z) = x F (x, y, z) = = i +
j + k. = i + x 2 j + y 2 k
