Rotacional Propriedade, Provas de Engenharia Elétrica

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Universidade Federal do Cear´a

Engenharia de Teleinform´atica Noturno

Eletromagnetismo Aplicado - Noturno Andr´e Washington Morais de Freitas 0322979

Provar propriedade do rotacional : ∇X(AXB) = (∇· B)A − (∇ · A)B + (B· ∇)A − (A· ∇)B

1 o^ Fazer o produto vetorial de (A X B) :

AXB =

i j k Ax Ay Az Bx By Bz

 (^) = (AyBz−AZbY )i+(AzBx−AxBz)j+(AxBy−AyBx)k

Fazendo agora o rotacionlao com este vetor:

∇X(AXB) =

i j k ∂ ∂x

∂y

∂z AyBz − AzBy AzBx − AxBz AxBy − AyBx

Resolvendo essa matriz, temos :

i

∂y (AxBy − AyBx) −

∂z (AzBx − AxBz)

j

∂z

(AyBz − AzBy) −

∂x

(AxBy − AyBx)

k

∂z (AzBx − AxBz) −

∂x (AyBz − AzBy)

Nas componentes i, j e k, reorganizar os termos resulta:

Ax

∂By ∂y

∂Bz ∂z

−Bx

∂Ay ∂y

∂Az ∂z

+Ax

By

∂y − Bz

∂z

−Bx

Ay

∂y

• Az

∂z

Ay

∂Bz ∂z

∂Bx ∂x

−By

∂Az ∂z

∂Ax ∂x

+Ay

Bz

∂z

− Bx

∂x

−By

Az

∂z

• Ax

∂z

Az

∂Bx ∂x

∂By ∂y

−Bz

∂Ax ∂x

∂Ay ∂y

+Az

Bx

∂x − By

∂y

−Bz

Ax

∂x

• Ay

∂y

Assim, temos:

Ax

∂By ∂y

∂Bz ∂z

• Ay

∂Bz ∂z

∂Bx ∂x

• Az

∂Bx ∂x

∂By ∂y

(V etorAvesesoDivergentedeB)

Bx

∂Ay ∂y

∂Az ∂z

− By

∂Az ∂z

∂Ax ∂x

Bz

∂Ax ∂x

∂Ay ∂y

(V etorBvesesoDivergentedeA)