UNIVERSIDADE TECNOL ´
OGICA FEDERAL DO PARAN´
A
DEPARTAMENTO ACADˆ
EMICO DE MATEM´
ATICA
Campus Apucarana
Prof. Dr. M´arcio Hiran Sim˜oes
Apostila de C´alculo Diferencial e Integral 3
Sequˆencias e S´eries
Apucarana - PR
2017
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Sequencias e Series.pdf, Manuais, Projetos, Pesquisas de Matemática
AULAS DE MATEMÁTICA, Sequencias e Series
Tipologia: Manuais, Projetos, Pesquisas
2020
1 / 83
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UNIVERSIDADE TECNOL OGICA FEDERAL DO PARAN ´ A´
DEPARTAMENTO ACADEMICO DE MATEM ˆ ATICA´
Campus Apucarana
Prof. Dr. M´arcio Hiran Sim˜oes
Apostila de C´alculo Diferencial e Integral 3 Sequˆencias e S´eries
Apucarana - PR 2017
S´eries Infinitas
Um processo infinito que intrigou os matem´aticos por s´eculos foi a soma de s´eries infinitas. Algumas vezes uma soma infinita de termos resultava em um n´umero, como em 1 2
(Vocˆe pode verificar isso pela adi¸c˜ao das ´areas indicadas no quadrado unit´ario ”infinitamente dividido ao meio”.) Entretanto, algumas vezes a soma infinita era infinita, como em 1 1
(embora isso esteja longe de ser ´obvio), e algumas vezes era imposs´ıvel definir a soma infinita, como em 1 − 1 + 1 − 1 + 1 − 1 +...
(E 0? ´ E 1? N˜´ ao ´e nenhum dos dois?) Apesar disso, matem´aticos como Gauss e Euler usaram com sucesso s´eries infinitas para obter resultados anteriormente inalcan¸c´aveis. Laplace usou s´eries infinitas para provar a estabilidade do sistema solar. Passaram-se muito anos at´e que analistas cuidadosos como Cauchy desenvolvessem o fundamento te´orico para c´alculos de s´eries, mandando muitos matem´aticos (inclusive Laplace) de volta para a escrivaninha para verificar seus resultados. S´eries infinitas formam a base para uma t´ecnica not´avel que nos permite expressar muitas fun¸c˜oes como ”polinˆomios infinitos”e, ao mesmo tempo, calcular o erro quando truncamos esses polinˆomios para torn´a-los finitos. Al´em de produzir aproxima¸c˜oes polinomiais eficazes de fun¸c˜oes diferenci´aveis, esses polinˆomios infinitos (chamados s´eries de potˆencias) tem muitas outras utilidades. As s´eries infinitas fornecem uma maneira eficiente para avaliar integrais n˜ao elementares e resolvem equa¸c˜oes diferen- ciais que nos permitem compreender o fluxo de calor, a vibra¸c˜ao, a difus˜ao qu´ımica e a transmiss˜ao de sinais.
Geralmente o n-´esimo termo da sequˆencia ´e dado quando os elementos aparecem em ordem. Assim, os elementos da sequˆencia (1.1.1) podem ser escritos como
1 3
n 2 n + 1
Como o dom´ınio de toda sequˆencia ´e o mesmo, a nota¸c˜ao {f (n)} pode ser usada para denotar a sequˆencia. Assim sendo, (1.1.1) pode ser denotada por { (^2) nn+1 }. A nota¸c˜ao {an} ´e tamb´em usada para denotar a sequˆencia para a qual f (n) = an. Dizemos que a sequˆencia
a 1 , a 2 , a 3 ,... , an,...
´e igual `a sequˆencia b 1 , b 2 , b 3 ,... , bn,...
se, e somente se, ai = bi para todo i inteiro positivo. Lembre-se que uma sequˆencia consiste em uma ordena¸c˜ao de elementos. Dessa forma, ´e poss´ıvel duas sequˆencias terem os mesmos elementos e n˜ao serem iguais. Por exemplo,
Exemplo 1.1.
A sequˆencia { 1 /n} tem como elementos os rec´ıprocos dos n´umeros inteiros posi- tivos. 1 ,
n
A sequˆencia para a qual
f (n) =
1 se n for ´ımpar
2 n + 2 se n for par
tem como elementos 1 ,
Os elementos das sequˆencias (1.1.2) e (1.1.3) s˜ao os mesmos, contudo, as sequˆencias s˜ao diferentes. Esbo¸cos dos gr´aficos das sequˆencia (1.1.2) e (1.1.3) s˜ao dados nas
figuras abaixo, respectivamente.
Vamos colocar agora, num eixo horizontal, os ponto correspondentes aos sucessivos elementos de uma sequˆencia. Isso foi feito na pr´oxima figura para a sequˆencia (1.1.1)
que ´e
n 2 n + 1
. Observe que os sucessivos elementos da sequˆencia est˜ao cada vez
mais pr´oximos de 12 , muito embora nenhum elemento da sequˆencia assuma o valor 12. Intuitivamente, vemos que ´e poss´ıvel obter um elemento da sequˆencia t˜ao pr´oximo de 1 2 quanto desejarmos, bastando para isso tomar o n´umero de elementos suficientemente
grande. Ou, expressando-se de outra forma,
∣∣^ n 2 n + 1
∣∣ pode-se tornar menor que
qualquer n´umero positivo , contanto que n seja suficientemente grande. Por isso,
dizemos que o limite da sequˆencia
n 2 n + 1
´e 12.
Em geral, se existe um n´umero L tal que |an − L| seja arbitrariamente pequeno para n suficientemente grande, dizemos que a sequˆencia {an} tem o limite L. Segue
Exemplo 1.1.
Considere a sequˆencia
(−1)n+ n
. Note que o n-´esimo elemento dessa sequˆencia
´e (−1)n+ n , e (−1)n+1^ ´e igual a +1 quando n for ´ımpar e igual a − 1 quando n for par. Assim sendo, podemos escrever os elementos da sequˆencia da seguinte forma:
(−1)n+ n
Na figura abaixo foram colocados os pontos correspondentes a sucessivos ele- mentos dessa sequˆencia. Na figura, a 1 = 1, a 2 = −^12 , a 3 = 13 , a 4 = −^14 , a 5 = 15 , a 6 = −^16 , a 7 = 17 , a 8 = −^18 , a 9 = 19 , a 10 = − 101. O limite dessa sequˆencia ´e 0 , e os elementos oscilam em torno de 0.
Compare a defini¸c˜ao de limite de sequˆencias com a defini¸c˜ao de limite de fun¸c˜oes com x tendendo ao infinito. As duas defini¸c˜oes s˜ao quase idˆenticas; contudo, quando estabelecemos que lim x→+∞ f (x) = L, a fun¸c˜ao f ´e definida para todos os n´umeros reais
maiores do que um certo real r, enquanto que quando consideramos (^) n→lim+∞ an, n est´a
restrito aos n´umeros inteiros positivos. Por´em, o teorema abaixo estabelece uma rela¸c˜ao bastante clara entre os dois limites. Teorema 1.1.
Se (^) x→lim+∞ f (x) = L e f estiver definida para todo inteiro positivo, ent˜ao tamb´em
n→^ lim+∞ f^ (n) =^ L^ quando^ n^ for um inteiro positivo qualquer.
Exemplo 1.1.
Vamos verificar o teorema anterior para a sequˆencia do Exemplo 1.1.1, para a qual f (n) = n 2 n + 1
. Assim, f (x) = x 2 x + 1 e
x→^ lim+∞
x 2 x + 1 = (^) x→lim+∞
2 + (^1) x
Segue, ent˜ao, do Teorema 1.1.1, que (^) n→lim+∞ f (n) =
quando n for qualquer inteiro positivo. Isso est´a de acordo com a solu¸c˜ao dada no Exemplo 1.1.1.
Defini¸c˜ao 1.1.
Se a sequˆencia {an} tiver um limite, dizemos que ela ´e convergente, e an con- verge para o limite. Se a sequˆencia n˜ao for convergente, ela ser´a divergente.
Exemplo 1.1.
Determine se a sequˆencia
4 n^2 2 n^2 + 1
´e convergente ou divergente.
Solu¸c˜ao:
Exemplo 1.1.
Determine se a sequˆencia
n sin π n
´e convergente ou divergente.
Solu¸c˜ao:
Existem teoremas de limites para sequˆencias an´alogos aos que foram dados para fun¸c˜oes. No enunciado desses teoremas ´e usada a terminologia de sequˆencias. Teorema 1.1.
Se {an} e {bn} forem sequˆencias convergentes e c for uma constante, ent˜ao (i) a sequˆencia constante {c} tem c como seu limite;
(ii) (^) n→lim+∞ can = c (^) n→lim+∞ an;
(iii) (^) n→lim+∞(an ± bn) = (^) n→lim+∞ an ± (^) n→lim+∞ bn;
(iv) (^) n→lim+∞ anbn =
n→^ lim+∞ an
n→^ lim+∞ bn
(v) (^) n→lim+∞ an bn
n→lim+∞ an n→^ lim+∞ bn
, se (^) n→lim+∞ bn 6 = 0 e todo bn 6 = 0.
Exemplo 1.1.
Use o teorema 1.1.2 para provar que a sequˆencia
n^2 2 n + 1 sin π n
´e convergente e ache o seu limite.
Solu¸c˜ao:
1.1.1. Lista de exerc´ıcios
Nos exerc´ıcios de 1 a 12, escreva os quatro primeiros elementos da sequˆencia e deter- mine se ela ´e convergente ou divergente. Caso seja convergente, ache o seu limite.
n + 1 2 n − 1
2 n^2 + 1 3 n^2 − n
n^2 + 1 n
3 n^3 + 1 2 n^2 + n
3 − 2 n^2 n^2 − 1
e^2 n
ln n n^2
n n + 1 sin nπ 2
n^2 + 1 − n
n + 1 −
n
- {cos nπ}
3 n
)n} ( Sugest˜ao: use lim x→ 0 (1 + x)^1 /x^ = e
13- Mostre que as sequˆencias
n^2 n − 3
e
n^2 n + 4
divergem, por´em, a sequˆencia { n^2 n − 3
n^2 n + 4
´e convergente.
14- Prove que se a sequˆencia {an} for convergente e (^) n→lim+∞ an = L, ent˜ao a sequˆencia
{a^2 n} tamb´em ser´a convergente e lim n→+∞ a^2 n = L^2.
Defini¸c˜ao 1.2.
Uma sequˆencia {an} ´e limitada superiormente se existir um n´umero M tal que an ≤ M, para todo n, e ´e limitada inferiormente se existir um n´umero m tal que
an ≥ m, para todo n.
Se ela for limitada superiormente e inferiormente, ent˜ao {an} ´e uma sequˆencia limitada.
Exemplo 1.2.
(a) A sequˆencia 1 , 2 , 3 ,... , n,... n˜ao ´e limitada superiormente, mas ´e limitada inferiormente por m = 1. (b) A sequˆencia 12 , 23 , 34 ,... , (^) nn+1 ,... ´e limitada superiormente por M = 1 e inferi- ormente por m = 12. (c) A sequˆencia − 1 , 2 , − 3 , 4 ,... , (−1)nn,... n˜ao ´e limitada nem superiormente e nem inferiormente. Observe que nem toda sequˆencia limitada ´e convergente pois, por exemplo, a sequˆencia {(−1)n} ´e limitada (− 1 ≤ an ≤ 1), mas ´e divergente. Al´em disso, nem toda sequˆencia mon´otona converge, pois a sequˆencia 1, 2 , 3 ,... , n,... dos n´umeros naturais ´e mon´otona, mas diverge. Se, entretanto, uma sequˆencia ´e tanto limitada quanto mon´otona, ent˜ao ela deve convergir. Isto ´e o que diz o seguinte teorema. Teorema 1.2.
Toda sequˆencia mon´otona e limitada ´e convergente.
Exemplo 1.2.
A sequˆencia
n n + 1
´e convergente pois ela ´e crescente e limitada inferiormente por m = 0 e superiormente por M = 1.
Solu¸c˜ao:
Exemplo 1.2.
A sequˆencia
2 n n!
´e convergente.
Solu¸c˜ao:
Exemplo 1.2.
Investigue a sequˆencia {an} definida pela rela¸c˜ao de recorrˆencia,
a 1 = 2, an+1 =
(an + 6) para n = 1, 2 , 3 , 4 ,...
Solu¸c˜ao:
1.3. S´eries Infinitas
Uma parte importante do estudo do C´alculo envolve a representa¸c˜ao de fun¸c˜oes como “somas infinitas”. Isso requer que a opera¸c˜ao usual de adi¸c˜ao em conjuntos finitos de n´umeros seja estendida para conjuntos infinitos. Para tanto, usamos um processo de limite atrav´es de sequˆencias. Associemos `a sequˆencia u 1 , u 2 ,... , un,...
uma ”soma infinita”denotada por
u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un +...
Mas, qual ´e o significado de tal express˜ao? Isto ´e, o que queremos denotar com a “soma”de um n´umero infinito de termos e em quais circunstˆancias essa soma existe? Para termos uma ideia intuitiva do conceito dessa soma, consideremos um peda¸co de fio com 2 m de comprimento e suponhamos que ele seja cortado ao meio. Uma das partes ´e deixada de lado, enquanto que a outra ´e novamente dividida ao meio. Um dos peda¸cos com 1/2 m de comprimento ´e posto de lado, enquanto que o outro ´e cortado ao meio, e ent˜ao obtemos dois peda¸cos com 1/4 m de comprimento cada um. Tomando apenas um deles e dividindo-o ao meio, obtemos dois peda¸cos com 1/8 m de comprimento. Novamente, cortamos um dos peda¸cos ao meio. Se esse processo continuar indefinidamente, o n´umero de metros na soma dos comprimentos dos peda¸cos separados pode ser considerado como a soma infinita
1 +
2 n−^1
Como come¸camos com um fio com 2 m de comprimento, nossa intui¸c˜ao indica que a soma infinita (1.3.1) deve ser 2. Mais adiante demonstraremos que realmente ´e o que ocorre. No entanto, precisamos primeiro de algumas defini¸c˜oes preliminares. Da sequˆencia u 1 , u 2 , u 2 ,... , un,...
vamos formar uma nova sequˆencia {sn} adicionando os sucessivos elementos de {un}:
s 1 = u 1 s 2 = u 1 + u 2 s 3 = u 1 + u 2 + u 3 s 4 = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 .. . sn = u 1 + u 2 + u 3 + u 4 + · · · + un
A sequˆencia {sn} obtida dessa maneira ´e chamada de s´erie infinita.
Defini¸c˜ao 1.3.
Se {un} for uma sequˆencia e
sn = u 2 + u 2 + u 3 + · · · + un
ent˜ao a sequˆencia {sn} ser´a chamada de s´erie infinita, a qual ´e denotada por
∑^ +∞
n=
un = u 1 + u 2 + u 3 + · · · + un +...
Os n´umeros u 1 , u 2 , u 3 ,... , un,... s˜ao chamados de termos da s´erie infinita. Os n´umeros s 1 , s 2 , s 3 ,... , sn,... s˜ao chamados de somas parciais da s´erie infinita.
Exemplo 1.3.
Considere a sequˆencia {un}, onde un =
2 n−^1
2 n−^1
A partir dela vamos formar uma sequˆencia de somas parciais:
s 1 = 1 ⇔ s 1 = 1 s 2 = 1 + 12 ⇔ s 2 = (^32) s 3 = 1 + 12 + 14 ⇔ s 3 = (^74) s 4 = 1 + 12 + 14 + 18 ⇔ s 4 = (^158) s 5 = 1 + 12 + 14 + 18 + 161 ⇔ s 5 = (^3116) .. . sn = 1 + 12 + 14 + 18 + 161 + · · · + (^2) n^1 − 1
O m´etodo de resolu¸c˜ao do exemplo acima aplica-se somente a casos particulares. Em geral, n˜ao ´e poss´ıvel obter tal express˜ao para sn.
Defini¸c˜ao 1.3.
Seja
∑^ +∞
n=
un uma dada s´erie infinita, e seja {sn} a sequˆencia das somas parciais que definem a s´erie. Ent˜ao, se (^) n→lim+∞ sn existir e for igual a S, dizemos que a s´erie dada ser´a convergente, sendo S a soma da s´erie infinita dada. Se lim n→+∞ sn n˜ao existir, a s´erie ser´a divergente e n˜ao ter´a soma.
Essencialmente a defini¸c˜ao acima estabelece que uma s´erie infinita ser´a convergente se e somente se a sequˆencia de somas parciais correspondentes for convergente. Se uma s´erie infinita tiver uma soma S, dizemos tamb´em que a s´erie converge para S. Exemplo 1.3.
A s´erie infinita do Exemplo 1.3.1 ´e
∑^ +∞
n=
2 n−^1
2 n−^1
e a sequˆencia das somas parciais ´e {sn} onde
sn = 1 +
2 n−^1
Para determinar se a s´erie infinita dada por (1.3.2) tem uma soma, precisamos calcular lim n→+∞ sn. Em primeiro lugar, encontremos uma f´ormula para sn. De (1.3.3), temos que 1 2 sn =
2 n^
Fazendo sn −
sn obtemos
1 2 sn = 1 −
2 n^ =⇒ sn = 2
2 n
Como (^) n→lim+∞
2 n^ = 0 obtemos
n→lim+∞ sn^ = 2 Assim sendo, a s´erie infinita (1.3.2) tem soma 2.
Exemplo 1.3.
Determine se a s´erie infinita do Exemplo 1.3.2 ´e convergente.
Solu¸c˜ao:
Exemplo 1.3.
Determine a s´erie infinita que tem a seguinte sequˆencia de somas parciais:
sn =
2 n
Tamb´em determine se a s´erie infinita ´e convergente ou divergente; se for conver- gente obtenha a soma.
Solu¸c˜ao: