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ExercÌcios Complementares 2.
2.2A O que signiÖca uma sÈrie
P^1
n=
an ser divergente?
2.2B Falso ou Verdadeiro? JustiÖque. (a) se (^) nlim!1 an = 0, ent„o
P^1
n=
an converge;
(b) se
P^1
n=
an diverge, ent„o (^) nlim!1 an 6 = 0;
(c) se
P^1
n=
an converge e an 0 ; 8 n; ent„o
P^1
n=
pa n converge;
(d) se
P^1
n=
an diverge, ent„o
P^1
n=
a^2 n diverge;
(e) se
P^1
n=
an e
P^1
n=
bn divergem, ent„o
P^1
n=
(an + bn) diverge;
(f) se
P^1
n=
an diverge e an 6 = 0; 8 n; ent„o
P^1
n=
an^ converge;
(g) se fang È uma seq¸Íncia constante, ent„o
P^1
n=
an converge;
(h) se
P^1
n=
an converge, ent„o
P^1
n=
an converge.
2.2C Por observaÁ„o do limite do termo geral, veriÖque que as sÈries abaixo s„o divergentes:
(a)
P^1
n=
p n +
p n + 1
(b)
P^1
n=
[1 + ( 1)n] (c)
P^1
n=
n^3 n^3 + n^2 + 4
(d)
P^1
n=
n cos n (e)^
P^1
n=
n sen
n
(f)
P^1
n=
n! 2 n^ :
2.2D Encontre uma sÈrie cuja n-Èsima soma vem dada por:
(a) Sn =
2 n 3 n + 1 (b)^ Sn^ =^
n^2 n + 1 (c)^ Sn^ =^
2 n
2.2E Em cada sÈrie abaixo, calcule a n-Èsima soma parcial e o valor da soma da sÈrie no caso
de ela convergir.
S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 11
(a)
P^1
n=
n (b)
P^1
n=
n (c)
P^1
n=
9 n^2 + 3n 2
(d)
P^1
n=
ln
n n + 1
(e)
P^1
n=
2 n + 1 n^2 (n + 1)^2 (f)^
P^1
n=
2 n ^2 ^
3 n+
(g)
P^1
n=
2 n^
+^1
3 n
(h)
P^1
n=
4 n^2 1
(i)
P^1
n=
(4n 3) (4n + 1)
(j)
P^1
n=
ln
(n + 1)^2 n (n + 2)
(k)
P^1
n=
2 n+ 32 n^
(l)
P^1
n=
2 n^ sen (n + =2) 32 n ^2
2.2F Encontre os valores de x que tornam a sÈrie
P^1
n=
x^2 n^ convergente e calcule o valor da
soma. Idem para a sÈrie 1 2
2 8
n 2 n+^
2.2G Expresse cada decimal periÛdica como uma sÈrie e ache a fraÁ„o ordin·ria que ela
representa:
(a) 0 ; 232323 : : : (b) 5 ; 146146146 : : : (c) 3 ; 2394394 : : : (d) 2 ; 718288288 : : : :
2.2H Deixa-se cair uma bola de borracha de uma altura de 10 metros. A bola repica apro-
ximadamente metade da dist‚ncia apÛs cada queda. Use uma sÈrie geomÈtrica para aproximar o
percurso total feito pela bola atÈ o repouso completo.
2.2I A extremidade de um pÍndulo oscila ao longo de um arco de 24 centÌmetros em sua
primeira oscilaÁ„o. Se cada oscilaÁ„o È aproximadamente 5 = 6 da oscilaÁ„o precedente, use uma
sÈrie geomÈtrica para obter uma aproximaÁ„o da dist‚ncia total percorrida pelo pÍndulo atÈ entrar
em repouso total.
2.2J Administra-se a um indivÌduo uma dose de Q unidades de um certo remÈdio. A quanti-
dade que permanece na corrente sang¸Ìnea ao Önal de t minutos È Qe kt, onde k È uma constante
positiva. Admitindo que a mesma dose seja administrada em intervalos sucessivos de T minutos,
mostre que a quantidade de remÈdio R (n) imediatamente apÛs a n-Èsima dose vem dada por:
R (n) =
nX 1
j=
Qe jkT^ :
Encontre uma cota superior para a quantidade de remÈdio na corrente sang¸Ìnea apÛs um n˙mero
arbitr·rio de doses e ache o menor tempo entre as doses, de modo que a quantidade de remÈdio
R (n) n„o exceda um nÌvel de risco M , M > Q.
S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 13
(a)
P^1
n=
n^4 + n^2 + 1
(b)
P^1
n=
n 3 n^
(c)
P^1
n=
p n n^2 + 1
(d)
P^1
n=
2 + cos n n^2
(e)
P^1
n=
arctg n n (f)^
P^1
n=
ln n n^3 (g)^
P^1
n=
n + 5 n 2 n^ (h)^
P^1
n=
ln
2 n
(i)
P^1
n=
sen
n^2
(j)
P^1
n=
n! (k)^
P^1
n=
2 n + n^2 n^3 + 1 (l)^
P^1
n=
3 p 5 n (^2) + 1
(m)
P^1
n=
p^1 4 n^3 5 n
(n)
P^1
n=
pn n + 4 (o)^
P^1
n=
1 + 2n 1 + 3n^ (p)^
P^1
n=
n + 5 n 2 n
(q)
P^1
n=
(n 1)^2
(r)
P^1
n=
ln n n^2 (s)^
P^1
n=
nn^ (t)^
P^1
n=
p^ n n^2 + 1 2.4B VeriÖque que a funÁ„o que estende o n-Èsimo termo de cada sÈrie dada abaixo, atende
‡s hipÛteses do Teste da Integral e em seguida decida sobre a convergÍncia da sÈrie:
(a)
P^1
n=
n(ln n)^2 (b)^
P^1
n=
(2n + 3)^2 (c)^
P^1
n=
n(n 1) (d)^
P^1
n=
2 n^2 n^3 + 1 (e)
P^1
n=
n^2 1
(f)
P^1
n=
n 3
n
) (g)
P^1
n=
arctg n n^2 + 1
(h)
P^1
n=
n
p n^2 1
2.4C Determine todos os n˙meros reais e que tornam as sÈries
P^1
n=
2 n + n^2 n (ln n) e^
P^1
n=
n ln n convergentes.
2.4D Observando a demonstraÁ„o do Teste da Integral, veriÖque a relaÁ„o:
ln (n + 1) < 1 +^1 2
+^1
+ +^1
n
< 1 + ln n:
Usando esse fato, estime o n˙mero de termos da sÈrie harmÙnica
P^1
n=
n que devem ser somados
para que se tenha Sn > 100 :
resposta: n > e^100 1 ' 2 : 688 1043
2.4E Em cada caso abaixo, determine o menor n˙mero de termos que devem ser somados
para aproximar a soma da sÈrie com um erro menor do que E:
(a)
P^1
n=
n^2
; E = 0: 001 (b)
P^1
n=
n^3
; E = 0: 01 (c)
P^1
n=
n (ln n)^2
; E = 0: 01 :
2.4F Se fang È uma seq¸Íncia de termos positivos e (^) nlim!1 npan = l > 0 ; prove que a sÈrie P^1
n=
an converge se p > 1 e diverge se 0 < p 1 :
2.4G Se
P^1
n=
an e
P^1
n=
bn s„o sÈries de termos positivos convergentes, mostre que
P^1
n=
anbn È
tambÈm convergente.
14 S…RIES NUM…RICAS CAP. 2
2.4H Falso ou Verdadeiro? JustiÖque:
(a) se an > 0 ; 8 n; e
P^1
n=
an È convergente, ent„o
P^1
n=
an^ diverge;
(b) se an > 0 ; 8 n; e
P^1
n=
an È convergente, ent„o
P^1
n=
pa nan+1 È convergente;
(c) se an > 0 ; 8 n; e (^) nlim!
p nan = 1, ent„o a sÈrie
P^1
n=
an diverge;
(d) se an > 0 , 8 n; e (^) nlim!1 an = 0, ent„o a sÈrie
P^1
n=
p^ an n converge;
(e) se
P^1
n=
an e
P^1
n=
bn s„o sÈries de termos positivos divergentes, ent„o a sÈrie
P^1
n=
(an + bn)
tambÈm diverge;
(f) se an > 0 ; 8 n; e (^) nlim!1^ an+ an
= 1, ent„o a sÈrie
P^1
n=
an diverge.
2.4I A sÈrie
P^1
n=
n^2 + n
ln n n + 1
È convergente ou divergente?
2.4J Mostre que
4 ^
P^1
n=
n^2 + 1 ^
2 +^
ExercÌcios Complementares 2.
2.6A Aproxime a soma da sÈrie pela soma parcial S 4 : Estime o erro.
(a)
P^1
n=
( 1)n+ n 3 n^
(b)
P^1
n=
( 1)n^ n (2n)! (c)^
P^1
n=
( 1)n n^2 (d)^
P^1
n=
( 1)n+ n^2 + n 2.6B Use a Estimativa do Erro para aproximar a soma da sÈrie com quatro casas decimais e
com erro menor do que E = 5 10 ^1. Diga em cada caso quando a aproximaÁ„o È por falta ou por
excesso:
(a)
P^1
n=
( 1)n n^2 (b)^
P^1
n=
( p1)n+ n
(c)
P^1
n=
( 1)n nn^ (d)^
P^1
n=
( 1)n ^1 n^3 + 1 :
2.6C VeriÖque que as sÈries abaixo atendem ‡s condiÁıes do CritÈrio de Leibniz e conclua que
elas s„o convergentes:
(a)
P^1
n=
( 1)n n^2 + 7
(b)
P^1
n=
( 1)n^ n 2 n^
(c)
P^1
n=
( 1)n^ n^2 n^3 + 2
(d)
P^1
n=
( 1)n^ n n^2 + n
2.6D Determine os valores inteiros de p que faz com que cada sÈrie abaixo seja convergente.
16 S…RIES NUM…RICAS CAP. 2
(b) Se
P
an converge absolutamente, mostre que
P
a+ n e
P
a n convergem;
(c) Se
P
an converge condicionalmente, mostre que
P
a+ n e
P
a n divergem.
2.8D EstratÈgia para testar a convergÍncia. Nos fundamentos teÛricos estabelecemos v·rios
critÈrios para testar a convergÍncia ou divergÍncia de uma sÈrie numÈrica; a diÖculdade È: qual o
teste adequado a uma determinada sÈrie. Essa diÖculdade tambÈm surge quando se integra funÁıes.
N„o h· regra que estabeleÁa qual critÈrio se aplica a qual sÈrie. Como sugest„o, apresentamos um
roteiro que poder· ajudar na investigaÁ„o.
- Se lim an 6 = 0 ou a seq¸Íncia fang È divergente o critÈrio do n-Èsimo termo deve ser usado
para concluir que a sÈrie
P
an diverge;
- Se a sÈrie È da forma
P
rn ^1 ela È uma sÈrie geomÈtrica, que converge para = (1 r) se
jrj < 1 e diverge se jrj 1 ;
- Se a sÈrie È da forma
P
(bn bn+1) ela È uma sÈrie de encaixe, que converge para b 1 lim bn;
se fbng convergir. Se fbng divergir a sÈrie de encaixe tambÈm diverge;
- Se a sÈrie È da forma
P
1 =np^ ela È uma p-sÈrie e ser· convergente apenas quando p > 1 ;
- Tente o Teste da Raz„o seguindo o esquema:
l < 1 !
P^1
n=
an converge abs. ! Fim
%
l = lim an a+ n
! l > 1 ou l = 1 !
P^1
n=
an diverge ! Fim
&
l = 1 !? !
P^1
n=
janj ! CritÈrios ComparaÁ„o / Integral
& Alternada ! CritÈrio de Leibniz
Teste a convergÍncia das sÈries:
S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 17
(a)
P^1
n=
n! nn^
(b)
P^1
n=
( 1)n^2 n n!
(c)
P^1
n=
n^2 n!
(d)
P^1
n=
(2n^ + 3n)^1 =n n
(e)
P^1
n=
(n!)^2 (2n)! (f)^
P^1
n=
p^3 n n^3 + 1
(g)
P^1
n=
n 32 n 5 n ^1 (h)^
P^1
n=
( 1)n^ cos n n^2
(i)
P^1
n=
p n n^2 + 2 (j)^
P^1
n=
(ln n )n^ (k)^
P^1
n=
n
n n! (l)
P^1
n=
( 1)n n (n + 2)
2.8E Escreva os cinco primeiros termos e em seguida teste a convergÍncia das sÈries:
(a)
P^1
n=
1 3 5 : : : (2n 1) n! (b)^
P^1
n=
2 4 6 : : : (2n) 1 4 7 : : : (3n 2) :
S…RIES E EQUA«’ES DIFERENCIAIS MPMATOS 19
ExercÌcios 2.
2.6A (a) 8 ; 23 10 ^4 (b) 1 ; 3 10 ^6 (c) 4 10 ^2 (d) 3 ; 3 10 ^2
ExercÌcios 2.
2.6A (a) F (b) V (c) F (d) F (e) F (f) V (g) F (h) F (i) V
2.6C (a) C (b) C Abs (c) C Abs (d) D (e) C Abs (f) D (g) D (h) C Abs (i) C
Abs (j) C Abs (k) C Abs (l) C Abs
2.6D (a)
P^1
n=
1 3 5 : : : (2n 1) n! = 1 +
24 +^ ^ :^ (divergente, porque^ lim^ an^ =^1 )
(b)
P^1
n=
2 4 6 : : : (2n:) 1 4 7 : : : (3n 2)
= 2 +^8
+^48
+^384
- . (convergente, porque lim an a+1n = 23 )
